人教A版选修21 第二章 2.3.2　双曲线的简单几何性质 学案.docx

2.3.2双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的几何性质学习目标1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题知识点一双曲线的性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xaya或ya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标a1(a,0)，a2(a,0)a1(0，a)，a2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中ca，b，c间的关系c2a2b2(ca0，cb0)知识点二等轴双曲线思考求下列双曲线的实半轴长、虚半轴长，并分析其共同点(1)x2y21；(2)4x24y21.答案(1)的实半轴长1，虚半轴长1(2)的实半轴长，虚半轴长.它们的实半轴长与虚半轴长相等梳理实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率为.(1)双曲线1与1(a0，b0)的形状相同()(2)双曲线1与1(a0，b0)的渐近线相同()(3)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关()(4)离心率是的双曲线为等轴双曲线()类型一双曲线的性质例1求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程求a，b，c及渐近线解双曲线的方程化为标准形式是1，a29，b24，a3，b2，c.又双曲线的焦点在x轴上，顶点坐标为(3,0)，(3,0)，焦点坐标为(，0)，(，0)，实轴长2a6，虚轴长2b4，离心率e，渐近线方程为yx.引申探究求双曲线nx2my2mn(m0，n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程解把方程nx2my2mn(m0，n0)化为标准方程为1(m0，n0)，由此可知，实半轴长a，虚半轴长b，c，焦点坐标为(，0)，(，0)，离心率e ，顶点坐标为(，0)，(，0)，所以渐近线方程为y x，即yx.反思与感悟由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值(3)由c2a2b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质跟踪训练1求双曲线9y216x2144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程求a，b，c及渐近线解把方程9y216x2144化为标准方程为1.由此可知，实半轴长a4，虚半轴长b3；c5，焦点坐标是(0，5)，(0,5)；离心率e；渐近线方程为yx.类型二由双曲线的性质求标准方程例2(1)已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为()a.1 b.1c.1 d.1考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程求a，b，c及渐近线答案b解析由已知，得双曲线的焦点在y轴上，从而可设双曲线的方程为1(a0，b0)一个顶点为(0,2)，a2.又实轴长与虚轴长之和等于焦距的倍，2a2b2c.又a2b2c2，b24，所求双曲线的方程为1.(2)求与双曲线1有共同的渐近线，并且经过点a(2，3)的双曲线的方程考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程求a，b，c及渐近线解双曲线1的渐近线方程为yx.当所求双曲线的焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为1(a0，b0)因为，所以ba.因为点a(2，3)在所求双曲线上，所以1.联立得方程组无解当所求双曲线的焦点在y轴上时，设所求双曲线的方程为1(a0，b0)，因为，所以ab.因为点a(2，3)在所求双曲线上，所以1.由，得a2，b24，所以所求双曲线的方程为1.反思与感悟(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为1(a0，b0)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为1(a0，b0)与双曲线1共焦点的双曲线方程可设为1(0，b20，b0)的离心率e，过点a(0，b)和b(a,0)的直线与原点的距离为，求此双曲线的标准方程考点由双曲线的简单几何性质求方程题点已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程解(1)设所求双曲线的方程为(0)点m(3，2)在双曲线上，即2.双曲线的标准方程为1.(2)e，a23b2.又直线ab的方程为bxayab0，d，即4a2b23(a2b2)解组成的方程组，得a23，b21.双曲线的标准方程为y21.类型三求双曲线的离心率例3已知f1，f2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，pq是经过f1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果pf2q90，求双曲线的离心率考点双曲线的离心率与渐近线题点求双曲线的离心率解设f1(c,0)，将xc代入双曲线的方程得1，那么y.由|pf2|qf2|，pf2q90，知|pf1|f1f2|，所以2c，所以b22ac，所以c22aca20，所以2210，即e22e10，所以e1或e1(舍去)，所以双曲线的离心率为1.反思与感悟求双曲线离心率的三种方法：(1)若可求得a，c，则直接利用e求解(2)若已知a，b，可直接利用e求解(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2qacra20(p，q，r为常数，且p0)，则转化为关于e的方程pe2qer0求解跟踪训练3设双曲线1(ba0)的焦距为2c，直线l过点a(a,0)，b(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为_考点双曲线的离心率与渐近线题点求双曲线的离心率答案2解析如图所示，在oab中，|oa|a，|ob|b，|oe|c，|ab|c.因为|ab|oe|oa|ob|，所以ccab，即(a2b2)ab，两边同除以a2，得20，解得或(舍去)，所以e 2.1已知双曲线方程为x28y232，则()a实轴长为4，虚轴长为2b实轴长为8，虚轴长为4c实轴长为2，虚轴长为4d实轴长为4，虚轴长为8考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程求a，b，c答案b解析双曲线方程x28y232化为标准方程为1，可得a4，b2，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4.2下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为yx的是()ax21 by21cx21 dy21考点由双曲线的简单几何性质求方程题点已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程答案d解析从选项知，焦点在y轴上的双曲线有x21与y21，而x21的渐近线方程是y2x，y21的渐近线方程是yx，故选d.3若双曲线1(a0，b0)的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为()a. b. c. d.考点双曲线的离心率与渐近线题点渐近线与离心率的关系答案d解析双曲线1的一条渐近线经过点(3，4)，3b4a，9(c2a2)16a2，e，故选d.4设双曲线的渐近线方程为yx，则该双曲线的离心率e_.考点双曲线的离心率与渐近线题点渐近线与离心率的关系答案或解析当焦点在x轴上时，所以e211，所以e；当焦点在y轴上时，所以e21145，所以e.5已知f是双曲线c：x21的右焦点，p是c的左支上一点，a(0,6)当apf周长最小时，该三角形的面积为_考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程研究其他问题答案12解析设左焦点为f1，|pf|pf1|2a2，|pf|2|pf1|，apf的周长为|af|ap|pf|af|ap|2|pf1|，apf周长最小即为|ap|pf1|最小，当a，p，f1在一条直线上时最小，过af1的直线方程为1，与x21联立，解得p点坐标为(2,2)，此时s12.1随着x和y趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点；由渐近线方程可确定a与b或b与a的比值，但无法确定焦点位置2求渐近线的方程，常把双曲线的方程右边的常数写成0，分解因式即得渐近线方程，若已知渐近线方程mxny0，求双曲线的方程，常将双曲线的方程设为(0)求解3与双曲线1(a0，b0)有共同渐近线的双曲线系的方程可设为(0，a0，b0).一、选择题1双曲线2x2y28的实轴长是()a2 b2 c4 d4考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程求a，b，c及渐近线答案c解析将双曲线化成标准形式为1，得2a4.2若双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()ay2x byxcyx dyx考点双曲线的离心率与渐近线题点渐近线与离心率的关系答案b解析由e ，得22.故渐近线方程为yx，故选b.3设f1，f2是双曲线c：1(a0，b0)的两个焦点，p是c上一点，若|pf1|pf2|6a，且pf1f2的最小内角为30，则c的离心率为()a. b.c. d.考点双曲线的简单几何性质题点求双曲线的离心率答案c解析不妨设|pf1|pf2|，则|pf1|pf2|2a，又|pf1|pf2|6a，解得|pf1|4a，|pf2|2a，则pf1f2是pf1f2的最小内角，为30，|pf2|2|pf1|2|f2f1|22|pf1|f2f1|cos 30，(2a)2(4a)2(2c)224a2c，化为e22e30，解得e.4设双曲线1的渐近线方程为3x2y0，则a的值为()a4 b3 c2 d1考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程求a，b，c及渐近线答案a解析方程表示双曲线，a0，b0)的离心率为，则双曲线c的渐近线方程为()ayx byxcyx dyx考点双曲线的几何性质题点求双曲线的渐近线方程答案c解析已知双曲线c：1(a0，b0)的离心率为，故有，所以，解得.故双曲线c的渐近线方程为yx，故选c.7设f为双曲线c：1(a0，b0)的右焦点，过点f且斜率为1的直线l与双曲线c的两条渐近线分别交于a，b两点，若3，则双曲线c的离心率e等于()a. b. c. d.考点双曲线的简单几何性质题点求双曲线的离心率答案d解析设f(c,0)，则过双曲线：1(a0，b0)的右焦点f且斜率为1的直线l的方程为y(xc)，而渐近线方程是yx，由得b，由得a，由3，得3，则3，即ba，则ca，则e，故选d.二、填空题8已知双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，且经过点(，1)，则该双曲线的方程为_考点由双曲线的简单几何性质求方程题点已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程答案x2y21解析双曲线的渐近线方程是yx，ab，双曲线的方程为x2y2a2，又双曲线经过点(，1)，代入方程可得a21，故该双曲线的方程是x2y21.9已知双曲线y21(m0)的离心率e(1,2)，则m的取值范围是_考点双曲线的离心率与渐近线题点双曲线离心率的取值范围答案(0,3)解析由双曲线y21(m0)知，a1，b，所以e，又e(1,2)，所以12，解得0m3.10已知双曲线c：1(a0，b0)的左、右焦点分别为f1，f2，由f2向双曲线c的一条渐近线作垂线，垂足为h，若f1hf2的面积为b2，则双曲线c的渐近线方程为_考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程求a，b，c及渐近线答案yx解析设过f2(c,0)与渐近线bxay0垂直的直线为l，则l的方程为y(xc)，则的解就是h的坐标，可得h，又f1hf2的面积为b2，所以2cb2，解得ab，所以双曲线c的渐近线方程为yx.11过双曲线1(a0，b0)的左焦点f(c,0)(c0)作圆x2y2的切线，切点为e，延长fe交双曲线右支于点p，若()，则双曲线的离心率为_考点双曲线的简单几何性质题点求双曲线离心率答案解析如图，设双曲线的右焦点为m，连接pm.oepf，在rtoef中，|ef| .又()，e是pf的中点，|pf|2|ef|2 ，|pm|2|oe|a.由双曲线的定义知，|pf|pm|2a，2 a2a，e.三、解答题12已知双曲线的一条渐近线为xy0，且与椭圆x24y264有相同的焦距，求双曲线的标准方程考点由双曲线的简单几何性质求方程题点已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程解椭圆方程为1，可知椭圆的焦距为8.当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为1(a0，b0)，解得双曲线的标准方程为1；当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为1(a0，b0)，解得双曲线的标准方程为1.由可知，双曲线的标准方程为1或1.13已知点a(0,1)，点p在双曲线c：y21上(1)当|pa|最小时，求点p的坐标；(2)过点a的直线l与双曲线c的左、右两支分别交于m，n两点，o为坐标原点，若omn的面积为2，求直线l的方程考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程研究其他问题解(1)设p(x，y)，则|pa| ，当y时，|pa|最小，故所求点p的坐标为.(2)由题知直线l的斜率存在，故可设l的方程为ykx1，设m(x1，y1)，n(x2，y2)，与双曲线方程联立得(12k2)x24kx40，则16(1k2)0且0，即k2.由根与系数的关系得x1x2，x1x2，|x1x2|，somn1|x1x2|2，解得k2或k2(舍去)，即k，l的方程为x2y20或x2y20.四、探究与拓展14已知f1，f2分别是双曲线e：1(a0，b0)的左、右焦点，点m在e上，mf1与x轴垂直，sinmf2f1，则e的离心率为()a. b.c. d2考点双曲线的简单几何性质题点求双曲线的离心率答案a解析因为mf1与x轴垂直，所以|mf1|.又sinmf2f1，所以，即|mf2|3|mf1|.由双曲线的定义，得2a|mf2|mf1|2|mf1|，所以b2a2，所以c2b2a22a2，所以离心率e.15已知双曲线c：y21(a0)，直线l：xy1，双曲线