新人教B版选修22 数学归纳法作业.docx

数学归纳法作业一、单选题1已知数列an，bn满足a1=，an+bn=1，bn+1=，则b2011=（ ）a. b. c. d.2利用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）（n+n）=2n13（2n1），nn*”时，从“n=k”变到“n=k+1”时，左边应增乘的因式是（ ）a.2k+1 b. c. d.3用数学归纳法证明123(2n1)(n1)(2n1)时，从nk到nk1，左边需增添的代数式是()a2k2 b2k3c2k1 d(2k2)(2k3)4用数学归纳法证明不等式1+12+14+12n-112764(nn*)成立，其的初始值至少应为 ( )a. 7 b. 8 c. 9 d. 105在用数学归纳法证明凸n边形内角和定理时,第一步应验证()(a)n=1时成立 (b)n=2时成立(c)n=3时成立 (d)n=4时成立6已知函数f(x)是定义在r上不恒为零的函数,且对于任意实数a,br,满足:f(ab)=af(b)+bf(a),f(2)=2,an=f(2n)n(nn*),bn=f(2n)2n(nn*).考察下列结论:f(0)=f(1);f(x)为偶函数;数列an为等比数列;数列bn为等差数列.其中正确的结论共有()(a)1个 (b)2个 (c)3个 (d)4个7已知数列an,若点(n,an)(nn*)在经过点(5,3)的定直线l上,则数列an的前9项和s9=()(a)9(b)10(c)18(d)278已知数列an的前n项和snn29n，第k项满足5ak时，f(2k1)f(2k)等于_10用数学归纳法证明1+12+13+12n-11)时,第一步应验证的不等式是.11设数列an中,a1=2,an+1=an+n+1,则通项an=.12对于数列an，定义数列an1an为数列an的“差数列”，若a12，an的“差数列”的通项为2n，则数列an的前n项和sn_.三、解答题13设同时满足条件：bn1(nn*)；bnm(nn*，m是与n无关的常数)的无穷数列bn叫“特界” 数列(1) 若数列an为等差数列，sn是其前n项和，a34，s318，求sn；(2) 判断(1)中的数列sn是否为“特界” 数列，并说明理由14已知，nn，an2n2，bn3n，试比较an与bn的大小，并加以证明15平面内有n(nn，n2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数f(n).试卷第1页，总2页参考答案1a【解析】试题分析：由an+bn=1，可求，由bn+1=，把n=1，2，3分别代入可求b2，b3，b4，根据规律猜想通项，然后用数学归纳法进行证明即可解：an+bn=1，bn+1=；=；猜想：下用数学归纳法进行证明：当n=1时，适合假设当n=k时满足条件，即当n=k+1时，=综上可得，对于任意正整数n都成立点评：本题主要考察了利用数列的递推公式求解数列的项，解题的关键是根据前几项的规律归纳出数列的通项及数学归纳法的应用2c【解析】试题分析：根据已知等式，分别考虑n=k、n=k+1时的左边因式，比较增加与减少的项，从而得解解：由题意，n=k 时，左边为（k+1）（k+2）（k+k）；n=k+1时，左边为（k+2）（k+3）（k+1+k+1）； 从而增加两项为（2k+1）（2k+2），且减少一项为（k+1），故选c点评：本题以等式为载体，考查数学归纳法，考查从“n=k”变到“n=k+1”时，左边变化的项，属于中档题3d【解析】当nk时，左边是共有2k1个连续自然数相加，即123(2k1)，所以当nk1时，左边是共有2k3个连续自然数相加，即123(2k1)(2k2)(2k3)，故选d.4b【解析】试题分析：因为1+12+14+12n-1=1-12n1-12=2n-12n-1，当n=8时，左边=25512812764.考点：数学归纳法.5c【解析】凸多边形至少有三边,所以应验证n=3时成立.6c【解析】根据所给的四个条件,逐条验证即可.注意中用特殊值验证,用定义判断.f(0)=f(00)=0,f(1)=f(11)=2f(1),f(1)=0,正确;又f(1)=f(-1)(-1)=-2f(-1),f(-1)=0,f(-2)=f(-12)=-f(2)+2f(-1)=-2f(2),故f(x)不是偶函数,故错;f(2n)=f(22n-1)=2f(2n-1)+2n-1f(2)=2f(2n-1)+2n,=+1,即bn=bn-1+1,bn是等差数列,正确;b1=1,bn=1+(n-1)1=n,f(2n)=2nbn=n2n,an=2n,故数列an是等比数列,正确.故选c.7d【解析】【思路点拨】(n,an)在直线上说明数列an为等差数列.解:点(n,an)(nn*)在经过点(5,3)的定直线l上,a5=3,根据等差数列性质得:s9=9a5=27.8b【解析】an=即an=因为n=1时也适合an=2n-10,所以an=2n-10.因为5ak8,所以52k-108,所以k9.又因为kn*,所以k=8.9【解析】f(2k1)1，f(2k)1，f(2k1)f(2k).101+2【解析】由条件知n的第一个值为2,所以第一步应验证的不等式是1+2.11+1【解析】a1=2,an+1=an+n+1,an=an-1+(n-1)+1,an-1=an-2+(n-2)+1,an-2=an-3+(n-3)+1,a3=a2+2+1,a2=a1+1+1,a1=2=1+1,将以上各式相加得:an=(n-1)+(n-2)+(n-3)+2+1+n+1=+n+1=+n+1=+1.122n12【解析】an1an2n，当n2时，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2222222n.当n1时，a12也适合上式，an2n(nn*)sn2n12.13（1）n29n（2）是“特界”数列【解析】(1) 设等差数列an的公差为d，则a12d4，3a13d18，解得a18，d2，snna1dn29n.(2) 由10，得sn1，故数列sn适合条件，而snn29n2 (nn*)，则当n4或5时，sn有最大值20.即sn20，故数列sn适合条件.综上，数列sn是“特界”数列14nn时，anbn成立【解析】当n1时：a12，b13，有a1b1；当n2时：a28，b29，有a2b2；当n3时：a318，b327，有a3b3.由上可归纳出当nn时，都有anbn.下面用数学归纳法证明(下面只证n2时成立)：(1)当n2时，由上可知不等式成立(2)假设nk(kn，且k1)时不等式成立，即2k22k22k22k2.由于2k24k (k2)，2k22，所以3k12k22k22k22k24k22(k1)2，这表明，当nk1时，不等式也成立综合(1)、(2)可知，nn，n2时，都有anbn成立综上可知nn时，an2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数f(k)k(k1)，那么，当nk1时，任