人教A版选修21 2.4.2抛物线的综合问题及应用 课时作业.doc

习题课抛物线的综合问题及应用a组1.设ab为过抛物线y2=2px(p0)的焦点的弦,则|ab|的最小值为()a.b.pc.2pd.无法确定解析：由抛物线定义可求得,垂直于对称轴的通径最短,即当x=,y=p时,|ab|min=2p.答案：c2.以抛物线y2=2px(p0)的焦半径|mf|为直径的圆与y轴的位置关系是()a.相交b.相切c.相离d.不确定解析：由抛物线定义知|mf|=xm+,所以半径r=,而圆心为mf的中点,圆心到y轴的距离为=r,故该圆与y轴相切.答案：b3.已知f为抛物线y2=8x的焦点,过点f且斜率为1的直线交抛物线于a,b两点,则 fa|-|fb 的值等于() a.8b.8c.4d.4解析：依题意f(2,0),所以直线方程为y=x-2,联立得消去y得x2-12x+4=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则 af|-|bf =|(x1+2)-(x2+2)|=|x1-x2|=8.答案： a4.已知f是抛物线y2=x的焦点,a,b是该抛物线上的两点,|af|+|bf|=3,则线段ab的中点到y轴的距离为()a.b.1c.d.解析：设a(x1,y1),b(x2,y2),由|af|+|bf|=3,得x1+x2+=3,所以x1+x2=,所以线段ab的中点到y轴的距离为.答案：c5.如图所示,抛物线的顶点在坐标原点,焦点为f,过抛物线上一点a(3,y)向准线作垂线,垂足为b,若abf为等边三角形,则抛物线的标准方程是()a.y2=xb.y2=xc.y2=2xd.y2=4x解析：设抛物线方程为y2=2px,取ab的中点为d,由a(3,y),b,得d.因为abf为等边三角形,所以fdab.又f,所以,解得p=2,故抛物线方程为y2=4x.答案：d6.过抛物线y2=2px(p0)的焦点f作倾斜角为45的直线交抛物线于a,b两点,若线段ab的长为8,则p=.解析：直线y=x-,则所以x2-3px+=0,|ab|=8=x1+x2+p,所以4p=8,p=2.答案：27.设f为抛物线y2=4x的焦点,a,b,c为该抛物线上三点,若=0,则|+|+|=.解析：由y2=4x,得f(1,0),准线方程为x=-1.又=0,可知f是abc的重心,设a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3),所以=1,即x1+x2+x3=3,由抛物线定义可得|=x1+1,|=x2+1,|=x3+1,所以|+|+|=x1+x2+x3+3=3+3=6.答案：68.已知直线l与抛物线y2=4x交于a,b两点,o为坐标原点,若=-4,则直线l恒过的定点m的坐标是.解析：设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1x2+y1y2=-4.当直线l的斜率不存在时,设其方程为x=x0(x00),则-4x0=-4,解得x0=2;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+b,由得ky2-4y+4b=0,得y1y2=,则x1x2=,得=-4,所以=-2,即b=-2k,直线y=kx-2k=k(x-2)恒过定点(2,0).又直线x=2也恒过定点(2,0),得点m的坐标为(2,0). 答案：(2,0)9.过抛物线y2=8x的焦点作直线l,交抛物线于a,b两点,若线段ab中点的横坐标为3,求|ab|的值.解由抛物线y2=8x知,p=4.设a(x1,y1),b(x2,y2),根据抛物线定义知,|af|=x1+,|bf|=x2+,所以|ab|=|af|+|bf|=x1+x2+=x1+x2+p,所以x1+x2=|ab|-p.由条件知=3,则x1+x2=6,所以|ab|-p=6.又因为p=4,所以|ab|=10.综上可知,|ab|的值是10.10.设抛物线y2=2px(p0)的焦点为f,经过点f的直线交抛物线于a,b两点,点c在抛物线的准线上,且bcx轴.证明:直线ac经过坐标原点o.证明抛物线的焦点为f.设直线ab的方程为x=my+,代入抛物线方程,得y2-2pmy-p2=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则y1y2=-p2. bcx轴,且点c在准线上,c,则kco=.又由=2px1,得kao=,故kco=kao,即直线ac经过坐标原点o.b组1.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于a,b两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线()a.不存在b.有无穷多条c.有且仅有一条d.有且仅有两条解析：因为抛物线通径长度为4,而过焦点弦长度为5+2=74,所以这样的直线有两条.答案：d2.已知抛物线y2=-2px(p0)与直线x-y-1=0相切于点a,该抛物线的焦点坐标为f,则|af|等于()a.1b.2c.4d.2解析：由得x2-2(1-p)x+1=0,由题意可得4(1-p)2-4=0,解得p=2或p=0(舍去),代入可得x=-1,则|af|等于点a到准线的距离,故|af|=1+1=2.答案：b3.过点(0,-2)的直线与抛物线y2=8x交于a,b两点,若线段ab中点的横坐标为2,则|ab|等于()a.2b.c.2d.解析：设直线方程为y=kx-2,a(x1,y1),b(x2,y2).由得k2x2-4(k+2)x+4=0.因为直线与抛物线交于a,b两点,所以=16(k+2)2-16k20,即k-1.又=2,所以k=2或k=-1(舍去).故|ab|=|x1-x2|=2.答案：c4.已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线c:y2=8x相交于a,b两点,f为c的焦点.若|fa|=2|fb|,则k等于()a.b.c.d.解析：设a(x1,y1),b(x2,y2),易知x10,x20,由得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,所以x1x2=4,根据抛物线的定义得,|fa|=x1+2,|fb|=x2+2.因为|fa|=2|fb|,所以x1=2x2+2,由得x2=1,所以b(1,2),代入y=k(x+2),得k=.答案：d5.已知抛物线x2=2y,过点p(0,1)的直线与抛物线相交于a(x1,y1),b(x2,y2)两点,则y1+y2的最小值是.解析：显然当直线的斜率不存在时不符合题意,所以设直线方程为y-1=kx,由得x2-2kx-2=0,于是得x1+x2=2k,所以y1+y2=k(x1+x2)+2=2k2+2.因为kr,所以2k2+22,即最小值等于2.答案：26.如图所示,直线y=x-2与圆x2+y2-4x+3=0及抛物线y2=8x依次交于a,b,c,d四点,则|ab|+|cd|=.解析：依题意,直线y=x-2恰好经过圆的圆心和抛物线的焦点.由得x2-12x+4=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x2=12,于是|ad|=x1+x2+p=12+4=16,而|bc|=2r=2,故|ab|+|cd|=|ad|-|bc|=16-2=14.答案：147.导 号60234051(2016河北邯郸高二期末)曲线c上的动点m到定点f(1,0)的距离和它到定直线x=3的距离之比是1.(1)求曲线c的方程;(2)过点f(1,0)的直线l与c交于a,b两点,当abo面积为时,求直线l的方程.解(1)设m(x,y),由题意可得,整理得=1,则曲线c的方程为=1.(2)当l斜率不存在时,l方程为x=1,此时l与c的交点分别为a,b,即有|ab|=,则sabo=1.由直线l斜率存在,设l方程为y=k(x-1),由(2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0,得x1+x2=,x1x2=,|ab|=4.设o到l的距离为d,则d=,sabo=4=2,解得k=1.综上所述,当abo面积为时,l的方程为y=x-1或y=-x+1.8.导 号60234052已知抛物线的顶点在原点,准线方程为x=1,f是焦点,过点a(-2,0)的直线与抛物线交于p(x1,y1),q(x2,y2)两点,直线pf,qf分别交抛物线于点m,n.(1)求抛物线的方程及y1y2的值;(2)若直线pq,mn的斜率都存在,记直线pq,mn的斜率分别为k1,k2,证明:为定值.(1)解依题意,设抛物线方程为y2=-2px(p0),由准线x=1,