人教A版 选修222.3 数学归纳法 学案.docx

2.3 数学归纳法学习目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题知识点 数学归纳法对于一个与正整数有关的等式n(n1)(n2)(n50)0.思考1 验证当n1，n2，n50时等式成立吗？答案 成立思考2 能否通过以上等式归纳出当n51时等式也成立？为什么？答案 不能，上面的等式只对n取1至50的正整数成立梳理 (1)数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0n*)时命题成立；(归纳递推)假设当nk(kn0，kn*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立这种证明方法叫做数学归纳法(2)数学归纳法的框图表示1与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法( )2数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.( )3数学归纳法的两个步骤缺一不可( )类型一 用数学归纳法证明等式例1 用数学归纳法证明：1427310n(3n1)n(n1)2，其中nn*.考点 用数学归纳法证明等式题点 利用数学归纳法证明等式证明 (1)当n1时，左边144，右边1224，左边右边，等式成立(2)假设当nk(k1，kn*)时等式成立，即1427310k(3k1)k(k1)2，那么当nk1时，1427310k(3k1)(k1)3(k1)1k(k1)2(k1)3(k1)1(k1)(k24k4)(k1)(k1)12，即当nk1时等式也成立根据(1)和(2)可知等式对任何nn*都成立反思与感悟 用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从nk到nk1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明nk1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝nk1证明目标的表达式变形跟踪训练1 求证：1(nn*)考点 用数学归纳法证明等式题点 利用数学归纳法证明等式证明 (1)当n1时，左边1，右边，左边右边(2)假设当nk(k1，kn*)时等式成立，即1，则当nk1时，.即当nk1时，等式也成立综合(1)，(2)可知，对一切nn*，等式成立类型二 用数学归纳法证明不等式例2 求证：(n2，nn*)考点 用数学归纳法证明不等式题点 利用数学归纳法证明不等式证明 (1)当n2时，左边，故左边右边，不等式成立(2)假设当nk(k2，kn*)时，命题成立，即，则当nk1时，.(*)方法一 (分析法)下面证(*)式，即0，只需证(3k2)(3k3)(3k1)(3k3)(3k1)(3k2)3(3k1)(3k2)0，只需证(9k215k6)(9k212k3)(9k29k2)(27k227k6)0，只需证9k50，显然成立所以当nk1时，不等式也成立方法二 (放缩法)(*)式，所以当nk1时，不等式也成立由(1)(2)可知，原不等式对一切n2，nn*均成立引申探究 把本例改为求证：(nn*)证明 (1)当n1时，左边，不等式成立(2)假设当nk(k1，kn*)时，不等式成立，即，则当nk1时，0，当nk1时，不等式成立由(1)(2)知对于任意正整数n，不等式成立反思与感悟 用数学归纳法证明不等式的四个关键(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若nk(k为正整数)，则n0k1.(2)证明不等式的第二步中，从nk到nk1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时成立得nk1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等跟踪训练2 在数列an中，已知a1a(a2)，an1n(nn*)，用数学归纳法证明：an2(nn*)考点 用数学归纳法证明不等式题点 利用数学归纳法证明不等式证明 当n1时，a1a2，命题成立；假设当nk(k1，kn*)时，命题成立，即ak2，则当nk1时，ak12k20，当nk1时，命题也成立由得，对任意正整数n，都有an2. 类型三 归纳猜想证明例3 已知数列an满足关系式a1a(a0)，an(n2，nn*)，(1)用a表示a2，a3，a4；(2)猜想an的表达式(用a和n表示)，并用数学归纳法证明考点 数学归纳法证明数列问题题点 利用数学归纳法证明数列通项问题解 (1)a2，a3，a4.(2)因为a1a，a2，猜想an.下面用数学归纳法证明当n1时，因为a1a，所以当n1时猜想成立假设当nk(k1，kn*)时猜想成立，即ak，所以当nk1时，ak1，所以当nk1时猜想也成立根据与可知猜想对一切nn*都成立反思与感悟 “归纳猜想证明”的一般步骤跟踪训练3 考察下列各式2213441345681355678161357你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？考点 用数学归纳法证明等式题点 等式中的归纳，猜想、证明解 由题意得，221,34413,4568135,5678161357，猜想：(n1)(n2)(n3)2n2n135(2n1)，下面利用数学归纳法进行证明(1)当n1时，猜想显然成立；(2)假设当nk(k1，kn*)时，猜想成立，即(k1)(k2)(k3)2k2k135(2k1)，那么当nk1时，(k11)(k12)(k13)2(k1)(k1)(k2)2k(2k1)22k135(2k1)(2k1)22k1135(2k1)2k11352(k1)1所以当nk1时猜想成立根据(1)(2)可知对任意正整数猜想均成立. 1已知f(n)1(nn*)，计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，由此推算：当n2时，有( )af(2n)(nn*)bf(2n)(nn*)cf(2n)(nn*)df(2n)(nn*)考点 利用数学归纳法证明不等式题点 不等式中的归纳、猜想、证明答案 d解析 f(4)2改写成f(22)；f(8)改写成f(23)；f(16)3改写成f(24)；f(32)改写成f(25)，由此可归纳得出：当n2时，f(2n)(nn*)2用数学归纳法证明“1aa2a2n1(a1)”在验证n1时，左端计算所得项为( )a1a b1aa2c1aa2a3 d1aa2a3a4考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第一步：归纳奠基答案 c解析 将n1代入a2n1得a3，故选c.3若命题a(n)(nn*)在nk(kn*)时成立，则有nk1时命题成立现知命题对nn0(n0n*)时成立，则有( )a命题对所有正整数都成立b命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立c命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立d以上说法都不正确考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第二步：归纳递推答案 c解析 由已知，得nn0(n0n*)时命题成立，则nn01时命题成立，在nn01时命题成立的前提下，又可推得，n(n01)1时命题也成立，依此类推，可知选c.4用数学归纳法证明12222n12n1(nn*)的过程如下：(1)当n1时，左边1，右边2111，等式成立(2)假设当nk(kn*)时等式成立，即12222k12k1，则当nk1时，12222k12k2k11.所以当nk1时，等式也成立由此可知对于任何nn*，等式都成立上述证明，错误是_考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第二步：归纳递推答案 未用归纳假设解析 本题在由nk成立证明nk1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符5用数学归纳法证明：(nn*)考点 用数学归纳法证明等式题点 利用数学归纳法证明等式证明 当n1时，左边，右边，左边右边，等式成立假设当nk(k1，kn*)时，等式成立即，当nk1时，左边，右边，左边右边，等式成立即对所有nn*，原式都成立在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.(2)递推是关键：正确分析由nk到nk1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.一、选择题1在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步应验证n等于( )a1 b2c3 d4考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第一步：归纳奠基答案 c解析 由凸多边形的性质，应先验证三角形，故选c.2某个命题与正整数有关，如果当nk(kn*)时，该命题成立，那么可推得当nk1时，该命题也成立现在已知当n5时，该命题成立，那么可推导出( )a当n6时命题不成立b当n6时命题成立c当n4时命题不成立d当n4时命题成立考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳第二步：归纳递推答案 b3设sk，则sk1为( )ask bskcsk dsk考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第二步：归纳递推答案 c解析 因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由sk，得sk1.由，得sk1sk.故sk1sk.4一个与正整数n有关的命题中，当n2时命题成立，且由nk时命题成立，可以推得nk2时命题也成立，则( )a该命题对于n2的自然数n都成立b该命题对于所有的正偶数都成立c该命题何时成立与k取值无关d以上答案都不对考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第二步：归纳递推答案 b解析 由nk时命题成立，可以推出nk2时命题也成立，且使命题成立的第一个正偶数n02.故对所有的正偶数都成立5设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )a若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立b若f(5)25成立，则当k5时，均有f(k)k2成立c若f(7)49成立，则当k8时，均有f(k)n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是_考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第一步：归纳奠基答案 109证明：假设当nk(kn*)时等式成立，即242kk2k，那么242k2(k1)k2k2(k1)(k1)2(k1)，即当nk1时等式也成立因此对于任何nn*等式都成立以上用数学归纳法证明“242nn2n(nn*)”的过程中的错误为_考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第二步：归纳递推答案 缺少步骤归纳奠基10已知f(n)1，nn*，用数学归纳法证明f(2n)时，f(2n1)f(2n)_.考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第二步：归纳递推答案 三、解答题11用数学归纳法证明(n2，nn*)考点 用数学归纳法证明等式题点 利用数学归纳法证明等式证明 (1)当n2时，左边1，右边，所以左边右边，所以当n2时等式成立(2)假设当nk(k2，kn*)时等式成立，即，那么当nk1时，即当nk1时，等式成立综合(1)(2)知，对任意n2，nn*，等式恒成立12用数学归纳法证明：1(n2，nn*)考点 用数学归纳法证明不等式题点 利用数学归纳法证明不等式证明 (1)当n2时，左式，右式1.因为，所以不等式成立(2)假设当nk(k2，kn*)时，不等式成立，即1，则当nk1时，11111，所以当nk1时，不等式也成立综上所述，对任意n2的正整数，不等式都成立四、探究与拓展13用数学归纳法证明“34n152n2(nn*)能被14整除”时，当nk1时，34(k1)152(k1)2应变形为_考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第二步：归纳递推答案 34(34k152k2)52k2144解析 34(k1)152(k1)23434k15252k23434k13452k25252k23452k234(34k152k2)52k2(3452)34(34k152k2)