辽宁省沈阳市同泽高中高三数学上学期第三次模拟试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年辽宁省沈阳市同泽高中高三（上）第三次模拟数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合a=x|y=lnx，集合b=2，1，1，2，则ab=（）a（1，2）b1，2c1，2d（0，+）2等比数列an中，a3=6，前三项和s3=4xdx，则公比q的值为（）a1bc1或d1或3不等式|2x+5|7成立的一个必要不充分条件是（）ax1bx6cx1或x6dx04已知函数f（x）=，若，则的值为（）a（其中kz）b（其中kz）c（其中kz）d（其中kz）5执行如图所示的程序框图，若输出的k=5，则输入的整数p的最大值为（）a7b15c31d636设a0，若关于x的不等式x+5在x（1，+）恒成立，则a的最小值为（）a16b9c4d27平面内有三个向量，其中与夹角为120，与的夹角为30，且，若，（，r）则（）a=4，=2bcd8向量，的夹角为，则称为，的积，定义=|tan，若|=5，|=1， =3，则等于（）abc4d49已知数列an是等差数列，an0，若2lga2=lga1+lga4，则的值是（）ab1或cd1或10函数的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g（x）=acosx的图象，只需将f（x）的图象（）a向左平移个单位b向右平移个单位c向左平移个单位d向右平移个单位11函数y=的图象大致为（）abcd12已知点p（x，y）满足条件点a（2，1），且的最大值为，则a的值是（）a2blc1d2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13已知，则tan2x=14已知函数f（x）=，若f（x）kx有三个零点，则k的取值范围为15如图是函数的图象的一部分，若图象的最高点的纵坐标为，则b+c=16在abc中，d为bc边上一点，bc=3bd，ad=，adb=135若ac=ab，则bd=三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知向量=（sin，1），=（cos，cos2），f（x）=（1）若f（x）=1，求cos（x+）的值；（2）在abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c且满足acosc+c=b，求函数f（b）的取值范围18已知5名发热感冒患者中，有1人被h7n9禽流感病毒感染，需要通过化验血液来确定谁是h7n9禽流感患者，血液化验结果呈阳性的即为普通感冒患者，呈阴性的即为禽流感患者，下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，知道能确定禽流感患者为止；方案乙：先任选3人，将他们的血液混在一起化验，若结果呈阴性，则表明禽流感患者在他们3人之中，然后再逐个化验，直到确定禽流感患者为止；若结果呈阳性，则在另外2人中任选1人化验（1）求依方案乙所需化验次数恰好为2的概率；（2）试比较两种方案，哪种方案有利于尽快查找到禽流感患者19如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为正方形，pa=pd，pa平面pdc，e为棱pd的中点（）求证：pb平面eac；（）求证：平面pad平面abcd；（）求二面角eacb的余弦值20数列an的前n项和sn=，已知a1=，a2=（1）求数列an的前n项和sn；（2）求数列an的通项公式；（3）设bn=，求数列bn的前n项和tn21已知函数f（x）=x2+2lnx（）求函数f（x）的最大值；（）若函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，（i）求实数a的值；（ii）若对于“x1，x2，3，不等式1恒成立，求实数k的取值范围【选修4-4：坐标系与参数方程】22已知椭圆c： =1，直线l：（t为参数）（）写出椭圆c的参数方程及直线l的普通方程；（）设 a（1，0），若椭圆c上的点p满足到点a的距离与其到直线l的距离相等，求点p的坐标【选修4-5：不等式选讲】23设函数f（x）=|xa|（）当a=2，解不等式f（x）4|x1|；（）若f（x）1的解集为x|0x2， +=a（m0，n0）求证：m+2n42015-2016学年辽宁省沈阳市同泽高中高三（上）第三次模拟数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合a=x|y=lnx，集合b=2，1，1，2，则ab=（）a（1，2）b1，2c1，2d（0，+）【考点】交集及其运算【专题】计算题【分析】集合a表示的是对数函数的定义域，令真数大于0求出a，利用交集的定义求出ab【解答】解：a=x|y=lnx=x|x0又b=2，1，1，2，ab=1，2故选b【点评】本题考查求对数函数的定义域、考查利用交集的定义求集合的交集2等比数列an中，a3=6，前三项和s3=4xdx，则公比q的值为（）a1bc1或d1或【考点】定积分；等比数列的前n项和【专题】计算题【分析】根据题意，直接找出被积函数4x的原函数，直接计算在区间0，3上的定积分即可得s3，再结合等比数列的性质求得公比q的值即可【解答】解：s3=034xdx=18，2q2q1=0q=1或，故选c【点评】本题考查等比数列的前n项和、定积分的基本运算，求定积分关键是找出被积函数的原函数，本题属于基础题3不等式|2x+5|7成立的一个必要不充分条件是（）ax1bx6cx1或x6dx0【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】不等式的解法及应用【分析】根据绝对值不等式的解法，可得|2x+5|7的解集，进而依次分析选项，判断选项所给的不等式与解集的关系，可判断选项【解答】解：由于|2x+5|7x1或x6根据题意，欲找不等式|2x+5|7成立的一个必要不充分条件，即找出真包含集合x|x1或x6的集合即可，分析选项可得，x|x0x|x1或x6故选d【点评】本题考查充分、必要条件的判断，涉及绝对值不等式的解法；解题的关键要掌握充分、必要条件定义4已知函数f（x）=，若，则的值为（）a（其中kz）b（其中kz）c（其中kz）d（其中kz）【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】根据函数表达式，将方程化简为=再由余弦函数的图象与性质，解出=（kz），得=（kz），得到本题答案【解答】解：函数表达式为f（x）=，当x=时，2x21=0，得f（x）=e0=1因此，若，则=+2k（kz）或=+2k（kz）综合可得=（kz），得=（kz）故选：c【点评】本题给出含有指数的函数f（x），求满足的值着重考查了指数函数的基本性质、余弦函数的图象与性质等知识，属于基础题5执行如图所示的程序框图，若输出的k=5，则输入的整数p的最大值为（）a7b15c31d63【考点】程序框图【专题】算法和程序框图【分析】由框图可知：该程序的作用是利用循环计算变量s的值，并输出满足退出循环条件时的k值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环 s k循环前/0 1第一圈 是 1 2第二圈 是 3 3第三圈 是 7 4第四圈 是 15 5第五圈 是 31 6第六圈 否故s=15时，满足条件sps=31时，不满足条件sp故p的最大值15故选b【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，即可得出所求问题的结论，是基础题6设a0，若关于x的不等式x+5在x（1，+）恒成立，则a的最小值为（）a16b9c4d2【考点】函数恒成立问题【专题】计算题；不等式的解法及应用【分析】利用基本不等式，确定x+的最小值，即可求得a的最小值【解答】解：a0，x1，x+=（x1）+12+1关于x的不等式x+5在x（1，+）恒成立，4a4a的最小值为4故选c【点评】本题考查恒成立问题，考查基本不等式的运用，正确求最值是关键7平面内有三个向量，其中与夹角为120，与的夹角为30，且，若，（，r）则（）a=4，=2bcd【考点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量的基本定理及其意义【专题】平面向量及应用【分析】如图所示，过点c作cdob，交直线oa与点d，由题意可得ocd=90在rtocd中，利用边角关系求得|=2，|=4，再由|=|，且|=|，求得、的值【解答】解：如图所示，过点c作cdob，交直线oa与点d中与夹角为120，与的夹角为30，ocd=90在rtocd中，|=|tan30=2=2，|=4，由=，可得|=|，且|=|，即 4=2，且2=解得 =2，且=，故选：c【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，熟练掌握向量的三角形法则和向量共线定理是解题的关键，属于中档题8向量，的夹角为，则称为，的积，定义=|tan，若|=5，|=1， =3，则等于（）abc4d4【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；新定义；转化思想；平面向量及应用【分析】通过向量的数量积求出cos，然后求出sin，tan，利用新定义求解即可【解答】解：由已知得=3=|cos=5cos，所以cos=，所以sin=，tan=，根据定义，知=|tan=5=故选：a【点评】本题考查向量的数量积的应用，新定义的应用，基本知识的考查9已知数列an是等差数列，an0，若2lga2=lga1+lga4，则的值是（）ab1或cd1或【考点】等差数列的性质【专题】等差数列与等比数列【分析】由条件求得 a1=d，或d=0，利用等差数列的通项公式代入要求的式子化简可得结果【解答】解：数列an是等差数列，an0若2lga2=lga1+lga4，=a1a4，即=a1（a1+3d），化简可得 a1=d，或d=0当 a1=d 时， =当d=0时， =1总上可得， = 或1，故选b【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的通项公式，属于中档题10函数的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g（x）=acosx的图象，只需将f（x）的图象（）a向左平移个单位b向右平移个单位c向左平移个单位d向右平移个单位【考点】函数y=asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的图像与性质【分析】由题意可得，函数的周期为，由此求得=2，由g（x）=acosx=sin2（x+）+，根据y=asin（x+）的图象变换规律得出结论【解答】解：由题意可得，函数的周期为，故=，=2要得到函数g（x）=acosx=sin2（x+）+的图象，只需将f（x）=的图象向左平移个单位即可，故选a【点评】本题主要考查y=asin（x+）的图象变换规律，y=asin（x+）的周期性，属于中档题11函数y=的图象大致为（）abcd【考点】函数的图象【专题】函数的性质及应用【分析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化规律即可得到答案【解答】解：函数f（x）=，f（x）=f（x），f（x）为奇函数，故图象关于原点对称，故排除a，当x从右趋向于0时，f（x）趋向于+，当x趋向于+时，f（x）趋向于0，故排除bc，故选：d【点评】本题考查了函数图象的识别，常用的方法利用函数的奇偶性，单调性，特殊值，属于中档题12已知点p（x，y）满足条件点a（2，1），且的最大值为，则a的值是（）a2blc1d2【考点】简单线性规划；向量在几何中的应用【专题】计算题；平面向量及应用【分析】先根据约束条件画出可行域，利用向量的数量积将的转化成 设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点m时，从而得到的最大值即可求a【解答】解： =（x，y），=（2，1）=在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域（如图），令z=2x+y，则y=2x+z，即z表示直线y=2x+z在y轴上的截距，由图形可知，当直线经过可行域中的点b（2+a，a）时，z取到最大值，这时z=4+3a， =2a=2故选d【点评】本题主要考查了向量的数量积、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13已知，则tan2x=【考点】同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正切函数【专题】计算题【分析】先利用二倍角公式求得cos2x，进而根据x的范围求得sin2x，则tan2x的值可得【解答】解：cos2x=2cos2x1=2x（，0）sin2x=tan2x=故答案为：【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用应熟练掌握同角三角函数关系中平方关系，倒数关系和商数关系等关系14已知函数f（x）=，若f（x）kx有三个零点，则k的取值范围为【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】综合题；导数的综合应用【分析】由题意画出图象，利用导数对x分x=0、x0、x0三种情况各有一个零点时的k的取值范围求出来，再求交集即可【解答】解：由题意画出图象：（1）当x=0时，f（0）=ln1=0，k0=0，0是函数f（x）kx的一个零点；（2）由函数的图象和单调性可以看出，当x0和x0时，分别有一个零点当x0时，由，化为0，解得；当x0时，只考虑即可，令g（x）=ln（x+1）kx，则，a当k1时，则g（x）0，即g（x）在（0，+）上单调递减，g（x）g（0）=0，g（x）无零点，应舍去；b当时，g（x）=，令g（x）=0，解得，列表如下：由表格可知：当时，g（x）取得极大值，也是最大值，当且仅当时，g（x）才有零点，=klnk1下面证明h（k）=klnk10，=，h（k）在上单调递减， =h（k）h（1）=1ln11=0，因此0在时成立综上可知：当且仅当时，函数f（x）kx有三个零点【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值和最值的方法及数形结合、分类讨论的思想方法是解题的关键15如图是函数的图象的一部分，若图象的最高点的纵坐标为，则b+c=2【考点】函数的图象【专题】计算题；压轴题；数形结合【分析】根据函数的最高点的纵坐标为，从而y=x2bx+c在x=处取最小值，建立a、b的等量关系，解之即可，从而求出所求【解答】解：函数的最高点的纵坐标为，y=x2bx+c在x=处取最小值即解得b=c=1b+c=2故答案为：2【点评】本题主要考查了根据函数的图象求函数的解析式，解题的关键就是抓住最高点进行求解，属于基础题16在abc中，d为bc边上一点，bc=3bd，ad=，adb=135若ac=ab，则bd=2+【考点】余弦定理【专题】计算题；压轴题【分析】先利用余弦定理可分别表示出ab，ac，把已知条件代入整理，根据bc=3bd推断出cd=2bd，进而整理 ac2=cd2+22cd 得ac2=4bd2+24bd把ac=ab，代入整理，最后联立方程消去ab求得bd的方程求得bd【解答】用余弦定理求得ab2=bd2+ad22adbdcos135ac2=cd2+ad22adcdcos45即 ab2=bd2+2+2bd ac2=cd2+22cd 又bc=3bd所以 cd=2bd所以 由（2）得ac2=4bd2+24bd（3）因为 ac=ab所以 由（3）得 2ab2=4bd2+24bd （4）（4）2（1）bd24bd1=0求得 bd=2+故答案为：2+【点评】本题主要考查了余弦定理的应用考查了学生创造性思维能力和基本的推理能力三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知向量=（sin，1），=（cos，cos2），f（x）=（1）若f（x）=1，求cos（x+）的值；（2）在abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c且满足acosc+c=b，求函数f（b）的取值范围【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数的化简求值【专题】计算题【分析】（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）的解析式，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由f（x）=1，得出sin（+）的值，最后将所求的式子中的角提取2，利用二倍角的余弦函数公式化简后，将sin（+）的值代入即可求出值；（2）利用余弦定理表示出cosc，代入已知的等式，整理后代入利用余弦定理表示出的cosa中，得出cosa的值，由a为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出a的度数，进而确定出b的范围，得出+的范围，利用正弦函数的图象与性质得出此时正弦函数的值域，即为f（b）的范围【解答】解：（1）=（sin，1），=（cos，cos2），f（x）=sincos+cos2=sin+cos+=sin（+）+，又f（x）=1，sin（+）=，cos（x+）=cos2（+）=12sin2（+）=；（2）cosc=，acosc+c=b，a+c=b，即b2+c2a2=bc，cosa=，又a（0，），a=，又0b，+，f（b）（1，）【点评】此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键18已知5名发热感冒患者中，有1人被h7n9禽流感病毒感染，需要通过化验血液来确定谁是h7n9禽流感患者，血液化验结果呈阳性的即为普通感冒患者，呈阴性的即为禽流感患者，下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，知道能确定禽流感患者为止；方案乙：先任选3人，将他们的血液混在一起化验，若结果呈阴性，则表明禽流感患者在他们3人之中，然后再逐个化验，直到确定禽流感患者为止；若结果呈阳性，则在另外2人中任选1人化验（1）求依方案乙所需化验次数恰好为2的概率；（2）试比较两种方案，哪种方案有利于尽快查找到禽流感患者【考点】进行简单的合情推理；离散型随机变量及其分布列【专题】应用题；概率与统计；推理和证明【分析】（1）分两类讨论先化验3人，结果为阴性，先化验3人，结果为阳性；（2）分别求出方案甲和方案乙的分布列和均值，通过对比得出结论【解答】解：（1）用方案乙，化验2次出结果，有两种可能：先化验3人，结果为阴性，再从这3人中逐个化验，则恰好一次验中的概率为p1=，先化验3人，结果为阳性，再从其他2人中任选1人化验，并且无论第二次是否验中均结束，其概率为p2=；所以，用方案乙化验2次出结果的概率为p=p1+p2=+=；（2）设方案甲化验的次数为，则根据题意，可取1，2，3，4，有四种情况，概率如下：p（=1）=，p（=2）=，p（=3）=，p（=4）=，所以的均值（期望）为e=，设用方案乙化验次数为，可取2或3，且p（=2）=，p（=3）=，所以的均值（期望）为e=，由于ee，所以，用方案乙化验次数的均值较小，更有利于尽快查到禽流感患者【点评】本题主要考查了随机事件概率的计算，以及离散型随机变量的分布列的均值与方差，属于中档题19如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为正方形，pa=pd，pa平面pdc，e为棱pd的中点（）求证：pb平面eac；（）求证：平面pad平面abcd；（）求二面角eacb的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法【专题】计算题；空间位置关系与距离；空间角【分析】（）连接bd与ac相交于点o，连接eo可得eo是pbd的中位线，所以pbeo，结合线面平行的判定定理，即可证出pb平面eac；（）由pa平面pdc，得到pacd，结合正方形中adcd，证出cd平面pad根据平面abcd经过平面pad的垂线，即可得到平面pad平面abcd；（）取ad中点m，bc中点n，连接pm，mn根据（ii）证出的位置关系，可得mp、ma、mn两两垂直，因此分别以ma、mn、mp为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系设ab=4，可得a、b、c、d、p、e各点的坐标，利用垂直向量数量积为0的方法，列方程组解出平面eac的法向量为=（1，1，3）再根据平面abcd的法向量为=（0，0，1），利用向量的夹角公式算出与夹角余弦之值，即可得到二面角eacb的余弦值【解答】解：（）连接bd与ac相交于点o，连接eo四边形abcd为正方形，o为bd中点e为棱pd中点eo是pbd的中位线，可得pbeo pb平面eac，eo平面eac，直线pb平面eac （）pa平面pdc，cd平面pdcpacd 正方形abcd中，adcd，pa、ad是平面pad内的相交直线cd平面pad cd平面abcd，平面pad平面abcd （）取ad中点m，bc中点n，连接pm，mn正方形abcd中，m、n分别是ad、bc的中点，mncd由（）可得mn平面padpa=pd，m是ad中点，pmad因此，mp、ma、mn两两垂直，分别以ma、mn、mp为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系 设ab=4，则可得a（2，0，0），b（2，4，0），c（2，4，0），d（2，0，0），p（0，0，2），e（1，0，1）所以=（3，0，1），=（4，4，0）设平面eac的法向量为=（x，y，z），则有，可得 取x=1，得y=1，z=3，所以=（1，1，3） 由题意，易得平面abcd的法向量为=（0，0，1） cos，= 结合图形，可得二面角eacb的平面角是钝角，因此，二面角eacb的余弦值为 【点评】本题给出四棱锥一个侧面为等腰直角三角形且该侧面与底面正方形平面互相垂直，求证线面平行、面面垂直并求二面角的大小着重考查了直线与平面平行的判定、线面垂直与面面垂直的判断与性质和二面角大小的求法等知识，属于基础题20数列an的前n项和sn=，已知a1=，a2=（1）求数列an的前n项和sn；（2）求数列an的通项公式；（3）设bn=，求数列bn的前n项和tn【考点】数列递推式；数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）利用数列an的前n项和，建立方程，求出a，b的值，即可求数列an的前n项和sn；（2）利用，再写一式，两式相减，即可求数列an的通项公式；（3）求得数列bn的通项，利用裂项法即可求数列bn的前n项和tn【解答】解：（1）由，得，由，得，解得，故； （2）当n2时，由于也适合 ； （3） 数列bn的前n项和= 【点评】本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题21已知函数f（x）=x2+2lnx（）求函数f（x）的最大值；（）若函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，（i）求实数a的值；（ii）若对于“x1，x2，3，不等式1恒成立，求实数k的取值范围【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题【专题】综合题；压轴题；导数的综合应用【分析】（）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的最大值；（）（）求导函数，利用函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，可得x=1是函数g（x）的极值点，从而可求a的值；（）先求出x1，3时，f（x1）min=f（3）=9+2ln3，f（x1）max=f（1）=1；x2，3时，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=，再将对于“x1，x2，3，不等式1恒成立，等价变形，分类讨论，即可求得实数k的取值范围【解答】解：（）求导函数可得：f（x）=2x+=（x0）由f（x）0且x0得，0x1；由f（x）0且x0得，x1f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+）上为减函数函数f（x）的最大值为f（1）=1（）g（x）=x+，g（x）=1（）由（）知，x=1是函数f（x）的极值点，又函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，x=1是函数g（x）的极值点，g（1）=1a=0，解得a=1（）f（）=2，f（1）=1，f（3）=9+2ln3，9+2ln321，即f（3）f（）f（1），x1，3时，f（x1）min=f（3）=9+2ln3，f（x1）max=f（1）=1由（）知g（x）=x+，g（x）=1当x，1）时，g（x）0；当x（1，3时，g（x）0故g（x）在，1）为减函数，在（1，3上为增函数，g（1）=2，g（3）=，而2，g（1）g（）g（3）x2，3时，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=当k10，即k1时，对于“x1，x2，3，不等式1恒成立，等价于kf（x1）g（x2）max+1f（x1）g（x2）f（1）g（1）=12=3，k2，又k1，k1当k10，即k1时，对于“x1，x2，3，不等式1恒成立，等价于kf（x1