高中数学 章末综合测评2 圆锥曲线与方程 新人教A版选修21.doc

章末综合测评(二)圆锥曲线与方程(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1双曲线3x2y29的焦距为()a b2c2d4d方程化为标准方程为1，a23，b29，c2a2b212，c2，2c4.2抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是() 【导学号：46342125】a b c1 db抛物线y24x的焦点为(1,0)，到双曲线x21的渐近线xy0的距离为，故选b3已知椭圆1(ab0)的左、右顶点分别为a，b，左、右焦点分别为f1，f2，若|af1|，|f1f2|，|f1b|成等差数列，则此椭圆的离心率为()a b c d2a由题意可得2|f1f2|af1|f1b|，即4cacac2a，故e.4双曲线1(mn0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则mn的值为()a b c da抛物线的焦点为(1,0)，由题意知2.即m，则n1，从而mn.5已知f1，f2为椭圆1(ab0)的两个焦点，过f2作椭圆的弦ab，若af1b的周长为16，椭圆的离心率e，则椭圆的方程是()a1 b1c1 d1d由椭圆的定义知|af1|bf1|ab|4a16，a4.又e，c2，b242(2)24，椭圆的方程为1.6过抛物线y28x的焦点，作倾斜角为45的直线，则被抛物线截得的弦长为()a8 b16 c32 d64b抛物线中2p8，p4，则焦点坐标为(2,0)，过焦点且倾斜角为45的直线方程为yx2，由得x212x40，则x1x212(x1，x2为直线与抛物线两个交点的横坐标)从而弦长为x1x2p12416.7已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为()a1 b1c1 d1d由双曲线的渐近线yx过点(2，)，可得2. 由双曲线的焦点(，0)在抛物线y24x的准线x上，可得. 由解得a2，b，所以双曲线的方程为1.8已知定点a(2,0)，它与抛物线y2x上的动点p连线的中点m的轨迹方程为()ay22(x1)by24(x1)cy2x1dy2(x1)d设p(x0，y0)，m(x，y)，则所以由于yx0，所以4y22x2，即y2(x1)9已知是abc的一个内角，且sin cos ，则方程x2sin y2cos 1表示() 【导学号：46342126】a焦点在x轴上的双曲线b焦点在y轴上的双曲线c焦点在x轴上的椭圆d焦点在y轴上的椭圆dsin cos ，sin cos .为abc的一个内角，sin 0，cos cos 0，0，方程x2sin y2cos 1是焦点在y轴上的椭圆10设圆锥曲线的两个焦点分别为f1，f2.若曲线上存在点p满足|pf1|f1f2|pf2|432，则曲线的离心率等于()a或 b或2c或2 d或a设圆锥曲线的离心率为e，由|pf1|f1f2|pf2|432，知若圆锥曲线为椭圆，则由椭圆的定义，得e；若圆锥曲线为双曲线，则由双曲线的定义，得e.综上，所求的离心率为或.故选a11已知点m(3,0)，n(3,0)，b(1,0)，动圆c与直线mn相切于点b，过m，n与圆c相切的两直线相交于点p，则点p的轨迹方程为()ax21(x1)bx21(x0)dx21(x1)a设圆与直线pm，pn分别相切于e，f，则|pe|pf|，|me|mb|，|nb|nf|.|pm|pn|pe|me|(|pf|nf|)|mb|nb|422，点p的轨迹是以m(3,0)，n(3,0)为焦点的双曲线的右支，且a1，c3，b28.故双曲线的方程是x21(x1)12已知椭圆c：1(ab0)的离心率为，双曲线x2y21的渐近线与椭圆c有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为()a1 b1c1 d1d因为椭圆的离心率为，所以e，c2a2a2b2，所以b2a2，即a24b2.双曲线的渐近线方程为yx，代入椭圆方程得1，即1，所以x2b2，xb.所以yb，则在第一象限，双曲线的渐近线与椭圆c的交点坐标为，所以四边形的面积为4bbb216，所以b25，所以椭圆c的方程为1，选d二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13设f1，f2为椭圆1的两个焦点，点p在椭圆上，若线段pf1的中点在y轴上，则的值为_因为线段pf1的中点在y轴上，所以pf2与x轴垂直，且点p的坐标为，所以|pf2|，则|pf1|2a|pf2|，.14如图1所示，已知抛物线c：y28x的焦点为f，准线l与x轴的交点为k，点a在抛物线c上，且在x轴的上方，过点a作abl于b，|ak|af|，则afk的面积为_. 【导学号：46342127】图18由题意知抛物线的焦点为f(2,0)，准线l为x2，k(2,0)，设a(x0，y0)(y00)，过点a作abl于b，b(2，y0)，|af|ab|x0(2)x02，|bk|2|ak|2|ab|2，x02，y04，即a(2,4)，afk的面积为|kf|y0|448.15如图2等边三角形oab的边长为8，且其三个顶点均在抛物线e：x22py(p0)上，则抛物线e的方程为_图2x24y依题意知，|ob|8，boy30.设b(x，y)，则x|ob|sin 304，y|ob|cos 3012.因为点b(4，12)在抛物线e：x22py(p0)上，所以(4)22p12，解得p2.故抛物线e的方程为x24y.16如图3，f1和f2分别是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，a和b是以o为圆心，|of1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且f2ab是等边三角形，则双曲线的离心率为_图31如图，连接af1，由f2ab是等边三角形，知af2f130.易知af1f2为直角三角形，则|af1|f1f2|c，|af2|c，2a(1)c，从而双曲线的离心率e1.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知直线yx4被抛物线y22mx(m0)截得的弦长为6，求抛物线的标准方程解设直线与抛物线的交点为(x1，y1)，(x2，y2)由得x22(4m)x160，所以x1x22(4m)，x1x216，所以弦长为2.由26.解得m1或m9.经检验，m1或m9均符合题意所以所求抛物线的标准方程为y22x或y218x.18(本小题满分12分)已知f1，f2分别为椭圆1(0b10)的左、右焦点，p是椭圆上一点(1)求|pf1|pf2|的最大值；(2)若f1pf260，且f1pf2的面积为，求b的值. 【导学号：46342128】解(1)|pf1|pf2|100(当且仅当|pf1|pf2|时取等号)，|pf1|pf2|的最大值为100.(2)sf1pf2|pf1|pf2|sin 60，|pf1|pf2|， 由题意知：3|pf1|pf2|4004c2. 由得c6，b8.19(本小题满分12分)在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在x轴上，半径为4的圆c位于y轴右侧，且与y轴相切(1)求圆c的方程；(2)若椭圆1的离心率为，且左、右焦点为f1，f2.试探究在圆c上是否存在点p，使得pf1f2为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由解(1)依题意，设圆的方程为(xa)2y216(a0)圆与y轴相切，a4，圆的方程为(x4)2y216.(2)椭圆1的离心率为，e，解得b29.c4，f1(4,0)，f2(4,0)，f2(4,0)恰为圆心c，()过f2作x轴的垂线，交圆于点p1，p2(图略)，则p1f2f1p2f2f190，符合题意；()过f1可作圆的两条切线，分别与圆相切于点p3，p4，连接cp3，cp4(图略)，则f1p3f2f1p4f90，符合题意综上，圆c上存在4个点p，使得pf1f2为直角三角形20(本小题满分12分)已知椭圆c：1(ab0)的离心率为，点(2，)在c上(1)求c的方程；(2)直线l不过原点o且不平行于坐标轴，l与c有两个交点a，b，线段ab的中点为m.证明：直线om的斜率与直线l的斜率的乘积为定值解(1)由题意，得，又点(2，)在c上，所以1，两方程联立，可解得a28，b24.所以c的方程为1.(2)证明：设直线l：ykxb(k0，b0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(xm，ym)将ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b280.故xm，ymkxmb.所以直线om的斜率kom，所以komk.故直线om的斜率与直线l的斜率的乘积为定值21(本小题满分12分)已知抛物线c：y22px过点p(1,1)过点作直线l与抛物线c交于不同的两点m，n，过点m作x轴的垂线分别与直线op，on交于点a，b，其中o为原点(1)求抛物线c的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：a为线段bm的中点解(1)由抛物线c：y22px过点p(1,1)，得p.所以抛物线c的方程为y2x.抛物线c的焦点坐标为，准线方程为x.(2)证明：由题意，设直线l的方程为ykx(k0)，l与抛物线c的交点为m(x1，y1)，n(x2，y2)由得4k2x2(4k4)x10，则x1x2，x1x2.因为点p的坐标为(1,1)，所以直线op的方程为yx，点a的坐标为(x1，x1)直线on的方程为yx，点b的坐标为.因为y12x10，所以y12x1，故a为线段bm的中点22(本小题满分12分)从椭圆1(ab0)上一点m向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点f1，且它的长轴的一个端点a，短轴的一个端点b的连线ab平行于om.(1)求椭圆的离心率；(2)设q是椭圆上任一点，f2是椭圆的右焦点，求f1qf2的取值范围. 【导学号：46342129】解