甘肃省嘉峪关市酒钢三中高二数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年甘肃省嘉峪关市酒钢三中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，共125=60分）1已知f1（3，0），f2（3，0），动点m满足|mf1|+|mf2|=5，则点m的轨迹是（）a双曲线b椭圆c线段d不存在2中心在原点的双曲线，一个焦点为，一个焦点到最近顶点的距离是，则双曲线的方程是（）abcd3过抛物线y2=8x的焦点且倾斜角为45直线l，交抛物线于a，b两点，则弦ab的长为（）a8b16c24d324已知空间四边形abcd的每条边和对角线的长都等于1，点e、f分别是ab、ad的中点，则等于（）abcd5在下列命题中：若、共线，则、所在的直线平行；若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面；若、三向量两两共面，则、三向量一定也共面；已知三向量、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为=x+y+z其中真命题的个数为（）a0b1c2d36下列命题中是真命题的是（）“若x2+y20，则x，y不全为零”的否命题；“正多边形都相似”的逆命题；“若m0，则x2+xm=0有实根”的逆否命题；“xr，x2+x+20”的否定abcd7已知正方形abcd的顶点a，b为椭圆的焦点，顶点c，d在椭圆上，则此椭圆的离心率为（）abcd8设p是双曲线=1（a0，b0）上的点，f1、f2是焦点，双曲线的离心率是，且f1pf2=90，f1pf2面积是9，则a+b=（）a4b5c6d79四棱柱abcda1b1c1d1的底面abcd为矩形，ab=2，ad=4，aa1=6，a1ab=a1ad=60，则ac1的长为（）ab46cd3210已知p在抛物线y2=4x上，那么点p到点q（2，1）的距离与点p到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点p的坐标为（）a（，1）b（，1）c（1，2）d（1，2）11过原点的直线l与双曲线有两个交点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）abcd12设抛物线y2=4x的焦点为f，过点m（2，0）的直线与抛物线相交于a，b两点，与抛物线的准线相交于点c，则bcf与acf的面积的比值为（）a1：4b1：5c1：6d1：7二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13一条渐近线方程为且过点（4，1）的双曲线的方程为14已知a（2，2，4），b（2，5，1），c（1，4，1），则直线ab与直线bc的夹角为15已知椭圆x2+ky2=3k（k0）的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该椭圆的离心率是16方程表示的曲线为c，则给出的下面四个命题：（1）曲线c不能是圆（2）若1k4，则曲线c为椭圆（3）若曲线c为双曲线，则k1或k4（4）若曲线c表示焦点在x轴上的椭圆，则其中正确的命题是（填序号）三、解答题（6小题共70分，请在指定位置写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17已知命题p：|4x|6，q：x22x+1a20（a0），若非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围18如图，已知三棱锥oabc的侧棱oa，ob，oc两两垂直，且oa=1，ob=oc=2，e是oc的中点（1）求异面直线eb与ac所成角的余弦值；（2）求直线eb和平面abc的所成角的正弦值（3）求点e到面abc的距离19已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为求抛物线的方程20过定点p（1，2）的直线l交双曲线于a，b两点，线段ab的中点坐标为（2，4），双曲线的左顶点到右焦点的距离为求曲线c的方程21如图，在四棱锥pabcd中，pd底面abcd，底面abcd为正方形，pd=dc，e、f分别在ab、pb上，且be：ae=1：2，pf：bf=2：1（1）求平面def与平面pbc所成钝二面角的余弦值；（2）在平面pad内是否存在一点g，使gf平面pcb？若存在，求出它的坐标，若不存在说明理由22已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过点m（1，0）的直线l与椭圆交于p、q两点（1）若直线l的斜率为1，且，求椭圆的标准方程；（2）若（1）中椭圆的右顶点为a，直线l的倾斜角为，问为何值时，取得最大值，并求出这个最大值2015-2016学年甘肃省嘉峪关市酒钢三中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，共125=60分）1已知f1（3，0），f2（3，0），动点m满足|mf1|+|mf2|=5，则点m的轨迹是（）a双曲线b椭圆c线段d不存在【考点】椭圆的定义【分析】直接由椭圆的定义得答案【解答】解：f1（3，0），f2（3，0），|f1f2|=6，又|mf1|+|mf2|=56，点m的轨迹不存在故选：d2中心在原点的双曲线，一个焦点为，一个焦点到最近顶点的距离是，则双曲线的方程是（）abcd【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意知，双曲线的焦点在y轴，c=，a=1，从而可得其标准方程【解答】解：中心在原点的双曲线，一个焦点为f（0，），其焦点在y轴，且半焦距c=；又f到最近顶点的距离是1，a=1，b2=c2a2=31=2该双曲线的标准方程是y2=1故选a3过抛物线y2=8x的焦点且倾斜角为45直线l，交抛物线于a，b两点，则弦ab的长为（）a8b16c24d32【考点】抛物线的简单性质【分析】求得抛物线的焦点，设出直线ab的方程，代入抛物线的方程，运用韦达定理和抛物线的定义，即可得到所求值【解答】解：抛物线y2=8x的焦点f为（2，0），设直线ab的方程为y0=（x2），即为y=x2，代入抛物线的方程，可得x212x+4=0，设a（x1，y1），b（x2，y2），则x1+x2=12，由抛物线的定义可得，|ab|=x1+x2+p=12+4=16故选：b4已知空间四边形abcd的每条边和对角线的长都等于1，点e、f分别是ab、ad的中点，则等于（）abcd【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意作图，可得所求数量积为，由已知易得其模长和夹角，由数量积的定义可得答案【解答】解：如图连接空间四边形abcd的对角线ac，bd，由空间四边形abcd的每条边和对角线的长都等于1，可知底面abc为等边三角形，故bdc=60，又点e、f分别是ab、ad的中点，所以，故=，故选b5在下列命题中：若、共线，则、所在的直线平行；若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面；若、三向量两两共面，则、三向量一定也共面；已知三向量、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为=x+y+z其中真命题的个数为（）a0b1c2d3【考点】命题的真假判断与应用【分析】若、共线，则、所在的直线平行或重合；若、所在的直线是异面直线，则、一定共面；若、三向量两两共面，则、三向量不一定共面；已知三个不共面的向量、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为=x+y+z，即可判断出【解答】解：若、共线，则、所在的直线平行或重合，因此不正确；若、所在的直线是异面直线，则、一定共面，因此不正确；若、三向量两两共面，则、三向量不一定共面，不正确；已知三个不共面的向量、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为=x+y+z，可知不正确综上可知：都不正确故选：a6下列命题中是真命题的是（）“若x2+y20，则x，y不全为零”的否命题；“正多边形都相似”的逆命题；“若m0，则x2+xm=0有实根”的逆否命题；“xr，x2+x+20”的否定abcd【考点】四种命题【分析】先写出否命题，然后判断写出命题的逆命题，然后判断写出命题的逆否命题，然后判断写出命题的否定，然后判断【解答】解：原命题的否命题为：“若x2+y2=0，则x，y全为零，”所以正确；“正多边形都相似”的逆命题是：相似的多边形都是正多边形，所以错误；“若m0，则x2+xm=0中=1+4m0，方程有实根”，命题的逆否命题是真命题，所以正确；“xr，x2+x+20”的否定是：xr，x2+x+20，是真命题所以正确故选：b7已知正方形abcd的顶点a，b为椭圆的焦点，顶点c，d在椭圆上，则此椭圆的离心率为（）abcd【考点】椭圆的简单性质【分析】设椭圆方程为（ab0），可得正方形边长ab=2c，再根据正方形的性质，可计算出2a=ac+bc=2c+2c，最后可得椭圆的离心率e=【解答】解：设椭圆方程为，（ab0）正方形abcd的顶点a，b为椭圆的焦点，焦距2c=ab，其中c=0bcab，且bc=ab=2cac=2c根据椭圆的定义，可得2a=ac+bc=2c+2c椭圆的离心率e=故选a8设p是双曲线=1（a0，b0）上的点，f1、f2是焦点，双曲线的离心率是，且f1pf2=90，f1pf2面积是9，则a+b=（）a4b5c6d7【考点】双曲线的简单性质【分析】利用双曲线的定义、勾股定理，f1pf2面积是9，可得c2a2=9，结合双曲线的离心率是=，求出a，c，可得b，即可求出a+b的值【解答】解：设|pf1|=m，|pf2|=n，则|mn|=2a由f1pf2=90，可得m2+n2=4c2，则2得：2mn=4a24c2，mn=2c22a2，f1pf2面积是9，c2a2=9，双曲线的离心率是=，c=5，a=4，b=3，a+b=7故选：d9四棱柱abcda1b1c1d1的底面abcd为矩形，ab=2，ad=4，aa1=6，a1ab=a1ad=60，则ac1的长为（）ab46cd32【考点】棱柱的结构特征【分析】画出图形，将，两边平方求值，然后开方求线段长度【解答】解：如图因为，并且ab=2，ad=4，aa1=6，a1ab=a1ad=60，所以=4+16+36+0+226+24=92，所以ac1=；故选c10已知p在抛物线y2=4x上，那么点p到点q（2，1）的距离与点p到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点p的坐标为（）a（，1）b（，1）c（1，2）d（1，2）【考点】抛物线的简单性质【分析】如图所示，过点p作pml，垂足为m，连接fm，利用抛物线的定义可得|pm|=|fp|可知当pqx轴时，点p、q、m三点共线，因此|pm|+|pq|取得最小值|qm|，求出即可【解答】解：设准线为l：x=1，焦点为f（1，0）如图所示，过点p作pml，垂足为m，连接fm，则|pm|=|fp|故当pqx轴时，|pm|+|pq|取得最小值|qm|=2（1）=3设点p（x，1），代入抛物线方程12=4x，解得，故选b11过原点的直线l与双曲线有两个交点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）abcd【考点】双曲线的简单性质【分析】设过原点的直线方程为y=kx，与双曲方程联立，得：x2（3k21）9=0，因为直线与双曲有两个交点，所以=36（3k21）0，由此能求出k的范围，再由直线的斜率公式可得倾斜角的范围【解答】解：双曲线，即为=1，设过原点的直线方程为y=kx，与双曲方程联立，得：x2（3k21）9=0，因为直线与双曲有两个交点，所以=36（3k21）0，k2，解得k，或k由直线的斜率公式k=tan（0，且），可得（，）（，）；当=时，直线为y轴，显然与双曲线有两个交点故选：b12设抛物线y2=4x的焦点为f，过点m（2，0）的直线与抛物线相交于a，b两点，与抛物线的准线相交于点c，则bcf与acf的面积的比值为（）a1：4b1：5c1：6d1：7【考点】抛物线的简单性质【分析】利用三角形面积公式，可把bcf与acf的面积之比转化为bc长与ac长的比，再根据抛物线的焦半径公式借助|bf|=求出b点坐标，得到ab方程，代入抛物线方程，解出a点坐标，就可求出bc与ac的长度之比，得到所需问题的解【解答】解：抛物线方程y2=4x的焦点为f坐标为（1，0），准线方程为x=1设a（x1，y1），b（x2，y2），则|bf|=x2+1=，x2=把x2=代入抛物线y2=4x得y=，不妨取y2=，即b（，）为例进行研究直线ab过点m（2，0）与b（，）方程为y=（x2），代入抛物线方程，解得，x1=8，|ae|=8+1=9，在aec中，bnae，bcf与acf的面积的比值为=，故选：c二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13一条渐近线方程为且过点（4，1）的双曲线的方程为=1【考点】双曲线的简单性质【分析】由渐近线方程为，可设双曲线的方程为y2x2=（0），代入点（4，1），解方程即可得到所求双曲线的方程【解答】解：由一条渐近线方程为，可设双曲线的方程为y2x2=（0），代入点（4，1），可得=116=3，即有双曲线的方程为y2x2=3，即为=1故答案为：=114已知a（2，2，4），b（2，5，1），c（1，4，1），则直线ab与直线bc的夹角为60【考点】空间向量的数量积运算【分析】先求出cos=的值，由此能求出直线ab与直线bc的夹角【解答】解：a（2，2，4），b（2，5，1），c（1，4，1），=（0，3，3），=（1，1，0），cos=，直线ab与直线bc的夹角为60，故答案为：6015已知椭圆x2+ky2=3k（k0）的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该椭圆的离心率是【考点】圆锥曲线的共同特征；椭圆的简单性质【分析】先将椭圆方程转化为标准方程，由“一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合”得到焦点的x轴上，从而确定a2，b2，再由“c2=a2b2”建立k的方程求解，最后求得该椭圆的离心率【解答】解：抛物线y2=12x的焦点（3，0）方程可化为焦点（3，0）在x轴上，a2=3k，b2=3，又c2=a2b2=9，a2=12，解得：k=4=故答案为：16方程表示的曲线为c，则给出的下面四个命题：（1）曲线c不能是圆（2）若1k4，则曲线c为椭圆（3）若曲线c为双曲线，则k1或k4（4）若曲线c表示焦点在x轴上的椭圆，则其中正确的命题是（3）（4）（填序号）【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据曲线方程的特点，结合圆、椭圆、双曲线的标准方程分别判断即可【解答】解：方程表示的曲线为c，对于（1），曲线c，当4k=k10，解得k=时，方程表示圆，（1）不正确；对于（2），当1k4且k，此时曲线表示椭圆，故（2）不正确；对于（3），若曲线c表示双曲线，则（4k）（k1）0，可得k1或k4，故（3）正确；对于（4），若曲线c表示焦点在x轴上的椭圆，此时4kk10，故（4）正确；故答案为：（3）（4）三、解答题（6小题共70分，请在指定位置写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17已知命题p：|4x|6，q：x22x+1a20（a0），若非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法；绝对值不等式的解法【分析】先解不等式分别求出p和q，再由非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围【解答】解：p：|4x|6，x10，或x2，a=x|x10，或x2q：x22x+1a20，x1+a，或x1a，记b=x|x1+a，或x1a而pq，ab，即，0a318如图，已知三棱锥oabc的侧棱oa，ob，oc两两垂直，且oa=1，ob=oc=2，e是oc的中点（1）求异面直线eb与ac所成角的余弦值；（2）求直线eb和平面abc的所成角的正弦值（3）求点e到面abc的距离【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出=（2，1，0），=（0，2，1），利用计算cos，可得异面直线eb与ac所成角的余弦值；（2）求出平面abc的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线eb和平面abc的所成角的正弦值（3）利用e点到面abc的距离，即可求点e到面abc的距离【解答】解：（1）以o为原点，ob、oc、oa分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系则有a（0，0，1）、b（2，0，0）、c（0，2，0）、e（0，1，0）=（2，1，0），=（0，2，1）cos，= 异面直线eb与ac所成角的余弦值为（2）设平面abc的法向量为=（x，y，z），则，可取=（1，1，2），故be和平面abc的所成角的正弦值为（3）e点到面abc的距离e点到面abc的距离为19已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为求抛物线的方程【考点】抛物线的简单性质；抛物线的标准方程【分析】设抛物线的方程为x2=2py，与直线y=2x+1联立，利用弦长公式，即可求抛物线的方程【解答】解：设直线与抛物线交于a（x1，y1），b（x2，y2），设抛物线的方程为x2=2py，与直线y=2x+1联立，消去y得x24px2p=0，则x1+x2=4p，x1x2=2p|ab|=|x1x2|=，化简可得16p2+8p3=0，p=或，x2=y或x2=y20过定点p（1，2）的直线l交双曲线于a，b两点，线段ab的中点坐标为（2，4），双曲线的左顶点到右焦点的距离为求曲线c的方程【考点】双曲线的简单性质【分析】设a（x1，y1），b（x2，y2），代入双曲线的方程，运用作差法和中点坐标公式、直线的斜率公式，可得b=2a，再由a+c=1+，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程【解答】解：设a（x1，y1），b（x2，y2），则，相减得：，由中点坐标公式可得x1+x2=4，y1+y2=8，且直线l的斜率为k=2，即有，得b2=4a2又且a2+b2=c2，解得a2=1，b2=4，故双曲线的方程为：21如图，在四棱锥pabcd中，pd底面abcd，底面abcd为正方形，pd=dc，e、f分别在ab、pb上，且be：ae=1：2，pf：bf=2：1（1）求平面def与平面pbc所成钝二面角的余弦值；（2）在平面pad内是否存在一点g，使gf平面pcb？若存在，求出它的坐标，若不存在说明理由【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（1）以d为原点，da为x轴，dc为y轴，dp为z轴，建系dxyz，利用向量法能求出平面def与平面pbc所成的钝二面角的余弦值（2）设在平面pad内存在一点gg（a，0，b），使gf平面pcb，则由此能求出结果【解答】解：（1）以d为原点，da为x轴，dc为y轴，dp为z轴，建系dxyz，设ab=3则d（0，0，0），e（3，2，0），f（2，2，1），p（0，0，3），b（3，3，0），c（0，3，0），=（3，2，0），