湖南省各市中考数学分类解析 专题3 方程（组）和不等式（组）.doc

湖南各市2012年中考数学试题分类解析汇编专题3：方程（组）和不等式（组）1、 选择题1. （2012湖南长沙3分）一个不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示，则下列符合条件的不等式组为【 】a b c d【答案】c。【考点】在数轴上表示不等式组的解集。【分析】不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个。在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示。因此，由图示可看出，从1出发向右画出的折线且表示1的点是实心圆，表示x1；从2出发向左画出的折线且表示2的点是空心圆，表示x2，所以这个不等式组的解集为1x2，即：。故选c。2. （2012湖南益阳4分）如图，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集【 】abcd【答案】b。【考点】在数轴上表示不等式的解集。【分析】不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个。在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示。因此，由数轴上不等式解集的表示方法得出此不等式组的解集为：x3。a、不等式组的解集为x3，故本选项错误；b、不等式组的解集为x3，故本选项正确；c、不等式组的解集为x3，故本选项错误；d、不等式组的解集为3x5，故本选项错误。故选b。3. （2012湖南常德3分）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是【 】 a. b. c. d.【答案】b。【考点】一元二次方程根的判别式。【分析】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围： 一元二次方程有实数解，=b24ac=224m0，解得：m1。m的取值范围是m1。故选b。4. （2012湖南郴州3分）不等式x21的解集是【 】ax1 bx3 cx3 dx1【答案】b。【考点】解一元一次不等式。【分析】根据一元一次不等式的解法，移项、合并即可得解：x21，x12，x3。故选b。5. （2012湖南怀化3分）已知，下列式子不成立的是【 】 a. b. c. d.如果【答案】d。【考点】不等式的性质【分析】根据不等式的性质逐项作出判断：a、不等式两边同时加上1，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意；b、不等式两边同时乘以3，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意；c、不等式两边同时乘以 ，不等号方向改变，故本选项正确，不符合题意；d、不等式两边同时乘以负数c，不等号方向改变，故本选项错误，符合题意。故选d。6. （2012湖南娄底3分）不等式组的解集在数轴上表示为【 】a b c d 【答案】b。【考点】解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集。【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。因此， 解得x1；解得x2。2x1。不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个。在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示。因此，2x1在数轴上表示为：。故选b。7. （2012湖南娄底3分）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是【 】a289（1x）2=256 b 256（1x）2=289 c 289（12x）=256 d 256（12x）=289【答案】a。【考点】由实际问题抽象出一元二次方程（增长率问题）。【分析】由平均每次的降价率为x，则第一降价后的价格是289（1x），第二降价后的价格是289（1x）（1x）=289（1x）2，根据关键语句“连续两次降价后为256元，”可得方程289（1x）2=256。故选a。8. （2012湖南衡阳3分）为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购羽毛球拍和乒乓球拍，若购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍，若设每副羽毛球拍为x元，每副乒乓球拍为y元，列二元一次方程组得【 】a b c d【答案】b。【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组。【分析】根据等量关系：购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，得；根据用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍，得，联立可得出方程组。故选b。9. （2012湖南株洲3分）已知关于x的一元二次方程x2bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=2，则b与c的值分别为【 】ab=1，c=2bb=1，c=2cb=1，c=2db=1，c=2【答案】d。【考点】一元二次方程根与系数的关系。【分析】关于x的一元二次方程x2bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=2，x1+x2=b=1+（2）=1，x1x2=c=1（2）=2。b=1，c=2。故选d。10.（2012湖南永州3分）下面是四位同学解方程过程中去分母的一步，其中正确的是【 】a2+x=x1 b2x=1 c2+x=1x d2x=x1【答案】d。【考点】解分式方程。【分析】去分母根据的是等式的性质2，方程的两边乘以最简公分母，即可将分式方程转化为整式方程：方程的两边同乘（x1），得2x=x1。故选d。二填空题1. （2012湖南张家界3分）已知m和n是方程2x25x3=0的两根，则= 【答案】。【考点】一元二次方程根与系数的关系，代数式化简。【分析】m和n是方程2x25x3=0的两根， 。2. （2012湖南岳阳3分）若关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k1=0有两个实数根，则k的取值范围是 【答案】k，且k0。【考点】一元二次方程根的判别式。【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式=b24ac0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围还要注意二次项系数不为0：a=k，b=2（k+1），c=k1，=2（k+1）24k（k1）=8k+60，解得：k。原方程是一元二次方程，k0。k的取值范围是：k，且k0。3. （2012湖南郴州3分）一元一次方程3x6=0的解是 【答案】x=2。【考点】解一元一次方程。【分析】根据一元一次方程的解法，移项，系数化为1即可得解：移项得，3x=6，系数化为1得，x=2。4. （2012湖南怀化3分）方程组的解是 .【答案】。【考点】解二元一次方程组。【分析】先用加减消元求出x的值，再用代入消元法求出y的值即可：两式相加得，8x=8，解得x=1；把x=1代入得，1+2y=5，解得y=3。故此方程组的解为：。5. （2012湖南衡阳3分）分式方程的解为x= 【答案】x=2。【考点】解分式方程。119281【分析】观察可得最简公分母是x（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解：去分母得：2（x+1）=3x，去括号得：2x+2=3x，移项得：2x3x=2，合并同类项得：x=2，把x的系数化为1得：x=2。检验：把x=2代入最简公分母x（x+1）=60。原分式方程的解为：x=2。6. （2012湖南湘潭3分）不等式组的解集为 【答案】2x3。【考点】解一元一次不等式组。【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。因此，由得，x2，故此不等式组的解集为：2x3。7. （2012湖南湘潭3分）湖南省2011年赴台旅游人数达7.6万人我市某九年级一学生家长准备中考后全家3人去台湾旅游，计划花费20000元设每人向旅行社缴纳x元费用后，共剩5000元用于购物和品尝台湾美食根据题意，列出方程为 【答案】200003x=5000。【考点】由实际问题抽象出一元一次方程。【分析】根据设每人向旅行社缴纳x元费用后，共剩5000元用于购物和品尝台湾美食，得出等式方程：200003x=5000。三、解答题1. （2012湖南长沙9分）以“开放崛起，绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于2012年5月20日在湖南长沙圆满落幕，作为东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共348个，其中境外投资合作项目个数的2倍比省内境外投资合作项目多51个（1）求湖南省签订的境外，省外境内的投资合作项目分别有多少个？（2）若境外、省内境外投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元，7.5亿元，求在这次“中博会”中，东道湖南省共引进资金多少亿元？【答案】解：（1）设境外投资合作项目个数为x个，则省外境内投资合作项目为348x个。根据题意得出：2x（348x）=51，解得：x=133，省外境内投资合作项目为：348133=215个。答：境外投资合作项目为133个，省外境内投资合作项目为215个.（2）境外、省内境外投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元，7.5亿元，湖南省共引进资金：1336+2157.5=2410.5亿元。答：东道湖南省共引进资金2410.5亿元。【考点】一元一次方程的应用，用样本估计总体。【分析】（1）方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：境外投资合作项目个数的2倍省内境外投资合作项目=51个2x （348x） =51。（2）根据用样本估计总体的思想，用境外、省内境外投资合作项目数与投资数的乘积相加即可。2. （2012湖南益阳8分）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进a、b两种树苗共17棵，已知a种树苗每棵80元，b种树苗每棵60元（1）若购进a、b两种树苗刚好用去1220元，问购进a、b两种树苗各多少棵？（2）若购买b种树苗的数量少于a种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用【答案】解：（1）设购进a种树苗x棵，则购进b种树苗（17x）棵，根据题意得：80x+60（17x ）=1220，解得：x=10。17x=7。答：购进a种树苗10棵，b种树苗7棵。（2）设购进a种树苗x棵，则购进b种树苗（17x）棵，根据题意得：17xx，解得：x8.5。购进a、b两种树苗所需费用为80x+60（17x）=20x+1020，是x的增函数，费用最省需x取最小整数9，此时17x=8，所需费用为209+1020=1200（元）。答：费用最省方案为：购进a种树苗9棵，b种树苗8棵，这时所需费用为1200元。【考点】一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的应用。【分析】（1）设购进a种树苗x棵，则购进b种树苗（17x）棵，利用购进a、b两种树苗刚好用去1220元，结合单价，得出等式方程求出即可；（2）结合（1）的解和购买b种树苗的数量少于a种树苗的数量，可找出方案。3. （2012湖南常德5分）解方程组： 【答案】解：+得：3x=6，解得 x=2， 将x=2代人得y=3， 方程组的解为。【考点】解二元一次方程组。【分析】用加减消元法或代入消元法均可。4. （2012湖南常德7分）某工厂生产a、b两种产品共50件，其生产成本与利润如下表： a种产品 b种产品 成本 （万元件） 0.6 0.9 利润 （万元件） 0.2 0.4若该工厂计划投入资金不超过40万元，且希望获利超过16万元，问工厂有哪几种生产方案？哪种生产方案获利润最大？最大利润是多少？【答案】解：设生产a种产品x件，则b种产品为50x件， 根据题意有： 不等式组的解集为： 。x为整数，x=17或18或19。 生产方案如下：生产a种产品17件，生产b种产品33件；生产a种产品18件，生产b种产品32件；生产a种产品19件，生产b种产品31件。 设利润为w，则， 0.20，w随x的增大而减小。当x=17时，。 答：工厂有三种生产方案：生产a种产品17件，生产b种产品33件；生产a种产品18件，生产b种产品32件；生产a种产品19件，生产b种产品31件。方案获利润最大，最大利润是16.6万元。【考点】一元一次不等式组和一次函数的应用。【分析】根据题目的已知条件建立不等式组的数学模型和一次函数的数学模型求解。6. （2012湖南岳阳6分）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来【答案】解：，由得2x2，即x1；由得x3。不等式的解集为：1x3。在数轴上表示为：【考点】解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集。【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个。在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示。7. （2012湖南岳阳8分）岳阳王家河流域综合治理工程已正式启动，其中某项工程，若由甲、乙两建筑队合做，6个月可以完成，若由甲、乙两队独做，甲队比乙队少用5个月的时间完成（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月的时间？（2）已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月）为了确保经费和工期，采取甲队做a个月，乙队做b个月（a、b均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？【答案】解：（1）设乙队需要x个月完成，则甲队需要（x5）个月完成，根据题意得： ，解得：x=15。经检验x=15是原方程的根。当x=15时，x5=10。答：甲队需要10个月完成，乙队需要15个月完成。（2）根据题意得：15a+9b141，解得：a4 b9。a、b都是整数，a=2，b=12或a=4，b=9。有2种施工方案：甲队做2个月，乙队做12个月；甲队做4个月，乙队做9个月。【考点】分式方程和一元一次不等式组的应用。【分析】（1）设乙队需要x个月完成，则甲队需要（x5）个月完成，根据两队合作6个月完成求得x的值即可。（2）根据费用不超过141万元列出一元一次不等式求解即可。8. （2012湖南永州6分）解方程：（x3）29=0【答案】解：移项得：（x3）2=9，开平方得：x3=3，则x3=3或x3=3，解得：x1=6，x2=0。【考点】直接开平方法解一元二次方程。【分析】这个式子先移项，变成（x3）2=9，从而把问题转化为求9的平方根（也可用因式分解法求解）。9. （2012湖南永州8分）某公司计划2010年在甲、乙两个电视台播放总时长为300分钟的广告，已知甲、乙两电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟该公司的广告总费用为9万元，预计甲、乙两个电视台播放该公司的广告能给该公司分别带来0.3万元/分钟和0.2万元/分钟的收益，问该公司在甲、乙两个电视台播放广告的时长应分别为多少分钟？预计甲、乙两电视台2012年为此公司所播放的广告将给该公司带来多少万元的总收益？10. （2012湖南郴州6分）解方程组 【答案】解： ，+得：3x=6，解得x=2。将x=2代入得：2y=1，解得y=1。原方程组的解为。【考点】解二元一次方程组。【分析】应用加减消元法两式相加，得到方程3x=6，求出x的值，把x的值代入得出一个关于y的方程，求出方程的解即可。11. （2012湖南郴州8分）某校为开展好大课间活动，欲购买单价为20元的排球和单价为80元的篮球共100个（1）设购买排球数为x（个），购买两种球的总费用为y（元），请你写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）如果购买两种球的总费用不超过6620元，并且篮球数不少于排球数的3倍，那么有哪几种购买方案？（3）从节约开支的角度来看，你认为采用哪种方案更合算？【答案】解：（1）设购买排球x个，购买篮球和排球的总费用y元，则y=20x80（100x）=800060x。 （2）设购买排球x个，则篮球的个数是（100x），根据题意得： ，解得：23x25。x为整数，x取23，24，25。有3种购买方案：当买排球23个时，篮球的个数是77个，当买排球24个时，篮球的个数是76个，当买排球25个时，篮球的个数是75个。（3）根据（2）得：当买排球23个，篮球的个数是77个，总费用是：23207780=6620（元），当买排球24个，篮球的个数是76个，总费用是：24207680=6560（元），当买排球25个，篮球的个数是75个，总费用是：2520+7580=6500（元）。采用买排球25个，篮球75个时更合算。【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。【分析】（1）设购买篮球x个，购买篮球和排球的总费用y元，根据某校计划购买篮球和排球共100个，已知篮球每个80元，排球每个20元可列出函数式。（2）先设出购买篮球x个，根据篮球的个数不少于排球个数的3倍和购买两种球的总费用及单价，列出不等式组，解出x的值，即可得出答案。（3）根据（2）得出的篮球和排球的个数，再根据它们的单价，即可求出总费用，再进行比较，即可得出更合算的方案。12. （2012湖南怀化6分）解分式方程：【答案】解：方程的两边同乘（3x）（x1），得2（x1）=x（3x），整理得，x2x2=0，即（x1）（x2）=0，解得x1=1，x2=2。检验：把x=1，x=2分别代入（3x）（x1），均不为0。原方程的解为：x=1或x=2。【考点】解分式方程。【分析】观察可得最简公分母是（3x）（x1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解。13. （2012湖南怀化10分）已知是一元二次方程的两个实数根.（1）是否存在实数a，使成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使为负整数的实数a的整数值.【答案】解：（1）成立。是一元二次方程的两个实数根，由根与系数的关系可知，；一元二次方程有两个实数根，=4a24（a6）a0，且a-60，解得，a0，且a6。由得，即。解得，a=240，且a60。存在实数a，使成立，a的值是24。（2），当为负整数时，a60，且a6是6的约数。a6=6，a6=3，a6=2，a6=1。a=12，9，8，7。使为负整数的实数a的整数值有12，9，8，7。【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，解分式方程。【分析】根据根与系数的关系求得；根据一元二次方程的根的判别式求得a的取值范围。（1）将已知等式变形为x1x2=4+（x2+x1），即，通过解该关于a的方程即可求得a的值；（2）根据限制性条件“（x1+1）（x2+1）为负整数”求得a的取值范围，然后在取值范围内取a的整数值。14. （2012湖南娄底8分）体育文化用品商店购进篮球和排球共20个，进价和售价如表，全部销售完后共获利润260元篮球排球进价（元/个）8050售价（元/个）9560（1）购进篮球和排球各多少个？（2）销售6个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？【答案】解：（1）设购进篮球x个，购进排球y个，由题意得：，解得：。答：购进篮球12个，购进排球8个。（2）设销售6个排球的利润与销售a个篮球的利润相等，由题意得：6（6050）=（9580）a，解得：a=4。答：销售6个排球的利润与销售4个篮球的利润相等。【考点】二元一次方程组的应用。【分析】（1）设购进篮球x个，购进排球y个，根据等量关系：篮球和排球共20个全部销售完后共获利润260元可的方程组，解方程组即可。（2）设销售6个排球的利润与销售a个篮球的利润相等，根据题意可得等