湖南省长沙市高三数学第5次月考 理（含解析）.doc

高三年级月考数学试题（5）理 科一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 指数函数且在上是减函数，则函数在r上的单调性为（ ）a.单调递增 b.单调递减 c.在上递增，在上递减 d .在上递减，在上递增 【答案】b【解析】由已知有，显然函数在r上单调递减.2. 已知集合，且，则的可取值组成的集合为（ ）a. b. c. d.【答案】d【解析】，满足条件 时，由或得， 故的可取值组成的集合为3. 向量均为单位向量，其夹角为，则命题“”是命题“”的（ ）条件.a.充分非必要条件 b.必要非充分条件 c.充分必要条件 d.非充分非必要条件【答案】b【解析】 从而，反之不成立。4. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ）a. b. c. d.【答案】c【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为， 由已知有：， 则所成的角为5. 一个样本a,3,5,7的平均数是b，且分别是数列的第2和第4项，则这个样本的方差是( )a3 b4 c5 d6【答案】c【解析】由已知， 则6. 已知锐角a，b满足,则的最大值为（ ）a. b. c. d.【答案】d【解析】， 又，则 则. 【注】直接按和角公式展开也可.7. 已知椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（ ）a. b. c. d.【答案】d【解析】双曲线的渐近线方程为，由可得， 椭圆方程为，而渐近线与椭圆的四个交点为顶点的四边形为正方形， 设在一象限的小正方形边长为，则，从而点（2,2）在椭圆上， 即： 于是。椭圆方程为，答案应选d。8. 如果一个位十进制数的数位上的数字满足“小大小大小大”的顺序，即满足：，我们称这种数为“波浪数”；从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中任取一个五位数，这个数为“波浪数”的概率是（ ）a. b. c. d.【答案】a【解析】显然中必有一个数字为5，由对称性，不妨先设，则. 若，则是的任意排列都满足，即种； 若，则是1,2的任意排列，且，即2种； 则满足条件的概率是： 2、 填空题：（本大题共7小题, 每小题5分, 共35分.把答案填在答题纸的相应位置）9. 复数满足（其中为虚单位），则 .【答案】【解析】10. 的展开式中，系数最大的项为第_项.【答案】3或5【解析】的展开式中系数与二项式系数只有符号差异，又中间项的二项式系数最大，中间项为第4项其系数为负，则第3，5项系数最大. 11. 阅读下面算法语句：i=1while i*(i+1)20 i=i+1wendprint “i=”；iend则执行图中语句的结果是输出 .【答案】i=4【解析】这是当型循环语句，输出结果不是数字4，而是i=4.提醒学生注意细节.12. 设x，y满足约束条件，向量，且 则的最小值为 .【答案】【解析】不等式对应的可行域是顶点为的三角形及其内部，由，得，可知在处有最小值13. 已知随机变量服从正态分布，且，则等于 .【答案】0.3【解析】，则，又分布图像关于直线， ，则， 14. 正四面体abcd中，ao平面bcd，垂足为，设是线段上一点，且是直角，则的值为 .【答案】1【解析】如图，联结，设正四面体的棱长为，则 , 故：,则.15.我们把形如的函数称为“莫言函数”，并把其与轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”，以“莫言点”为圆心凡是与“莫言函数”有公共点的圆，皆称之为“莫言圆”，则当，时，（1） 莫言函数的单调增区间为：（2） 所有的“莫言圆”中，面积的最小值为_解析(1)由图1易知x=1与x=-1是函数图像的渐近线所以，单调增区间为：(2)如图2显然圆心c(0,-1),由图当圆c与“莫言眉毛”相切时，圆面积最小。在上任取一点p(x,y),则r2=令t=r2=, 面积的最小值为3 三、解答题(本大题6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 16. （本小题满分12分）设abc的三内角a、b、c的对边长分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且（）求角b的大小； 20070316 （）设向量，当取最小值时，判断abc的形状.【解析】（）因为a、b、c成等比数列，则由正弦定理得 又，所以因为sinb0，则 4分因为b（0，），所以b或 5分又，则或，即b不是abc的最大边，故 6分（）因为， 7分所以. 9分所以当时，取得最小值.此时（），于是. 11分又，从而abc为锐角三角形. 12分17.（本小题满分12分）为调查某社区年轻人的周末生活状况，研究这一社区年轻人在周末的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区年轻人80人，得到下面的数据表：性别 休闲方式 逛街上网合计男105060女101020合计206080（）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的年轻男性，设调查的3人在这一时间段以上网为休闲方式的人数为随机变量x，求x的分布列和数学期望；（）根据以上数据，能否有99%的把握认为“周末年轻人的休闲方式与性别有关系”？参考公式：参考数据：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635【解析】（）依题意，随机变量x的取值为0，1，2，3，且每个男性在周末以上网为休闲方式的概率为 2分解法一：.6分x的分布列为：x0123p .8分解法二：根据题意可得， .4分 6分 8分（）提出假设h0：休闲方式与性别无关.根据样本提供的22列联表得： 10分因为当h0成立时，的概率约为0.01，所以我们有99%的把握认为“周末年轻居民的休闲方式与性别有关系”. .12分18.（本小题满分12分）某研究性学习小组设计了一种计算装置，装置有一数据入口a和一个数据出口b，执行某种运算程序：当从a口输入自然数1时，从b口得到实数，记为, 当从a口输入自然数n()时，在b口得到的结果是前一结果的倍.（）当从a口输入2,3,4时，求从b口分别得到什么数？试猜想f(n)的表示式，并用数学归纳法证明你的结论； （）记为数列的前n项的和，当从b口得到时，求对应的的值.【解析】（）由已知得当n=2时，同理可得 -（2分）猜想 （*）-（4分）下面用数学归纳法证明（*）成立当n=1，2，3，4时，由上面的计算结果知（*）成立-（5分）假设n=k（k4，kn*）时，（*）成立，即，那么当n=k+1时，当n=k+1时，（*）也成立-（7分）综合所述，对nn*， 成立-（8分）（）由，得从a口输入的自然数-（9分）因为-（10分）所以-（12分）19.（本小题满分13分）某处理中心拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为4.设该容器的建造费用为千元.（）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（）求该容器的建造费用最小时的值.【解析】（）因为容器的体积为立方米，所以,解得,所以圆柱的侧面积为=，(3分)两端两个半球的表面积之和为,(4分)所以+, (6分) 由 得。 定义域为.(7分)（）因为+=,所以令得，(8分)令则所以。当即时，易知是函数的极小值点，也是最小值点。(10分)当即时，是函数的最小值点。(12分)综上，当时，建造费用最小时；当时，建造费用最小时米. (13分)20、（本小题满分13分）在直角坐标平面内轴右侧的一动点到点的距离比它到轴的距离大.（）求动点的轨迹方程；（）将曲线上每个点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）得到曲线d的图象，设为曲线d上的一个动点，点、在轴上，若为圆的外切三角形，求面积的最小值.【解析】（）由题知点到点的距离与它到直线的距离相等，所以点的轨迹是抛物线，方程为； 5分（）依题意，曲线d的方程是 6分设，则即由直线是圆的切线知即同理，所以是方程的两根 9分又由题知令，则当即时， “”成立面积的最小值为 13分21、（本小题满分13分）已知函数，（）.（）若，在上恒成立，求的取值范围.（）设数列，为数列的前项和，求证（iii）设函数的图象与函数的图象交于点，过线段的中点作轴的垂线分别交，于点，问是否存在点，使在m处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（）时，设，则. （1分）若显然不满足题意；若，则时，恒成立，在上为减函数，有在上恒成立.若，则时，时，所以在上单调递增.，时，不满足题意.综