（教师用书）高考数学大一轮复习 第三章 三角函数.doc

第三章三角函数第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数考情展望1.利用三角函数的定义求三角函数值.2.考查三角函数值符号的确定一、角的有关概念1从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角2从终边位置来看，可分为象限角与轴线角3若与是终边相同的角，则用表示为2k(kz)二、弧度与角度的互化11弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角2角的弧度数如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么，角的弧度数的绝对值是|.3角度与弧度的换算1rad；1 rad.4弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为(rad)，半径为r，则lr，扇形的面积为slrr2.角度制与弧度制不可混用角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用三、任意角的三角函数1定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点p(x，y)，那么sin y，cos x，tan .2几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)三角函数值符号记忆口诀记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦(为正)即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正1给出下列四个命题：是第二象限角；是第三象限角；400是第四象限角；315是第一象限角其中正确的命题有()a1个b2个c3个d4个【答案】c2已知角的终边过点p(1,2)，则sin ()a. b. c d.【答案】b3若sin 0且tan 0，则是()a第一象限角b.第二象限角c第三象限角d.第四象限角【答案】c4弧长为3，圆心角为135的扇形半径为_，面积为_【答案】465(2012江西高考)下列函数中，与函数y定义域相同的函数为()ayb.ycyxexd.y【答案】d6(2014大纲全国卷)已知角的终边经过点(4，3)，则cos ()a.b.cd.【答案】d考向一 047角的集合表示及象限角的判定(1)写出终边在直线yx上的角的集合；(2)已知是第三象限角，求所在的象限【尝试解答】(1)当角的终边在第一象限时，角的集合为，当角的终边在第三象限时，角的集合为，故所求角的集合为.(2)2k2k(kz)，kk(kz)当k2n(nz)时，2n2n，是第二象限角，当k2n1(nz)时，2n2n，是第四象限角，综上知，当是第三象限角时，是第二或第四象限角,规律方法11.若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2k(02)(kz)的形式，然后再根据所在的象限予以判断2利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角对点训练若k18045(kz)，则在()a第一或第三象限b第一或第二象限c第二或第四象限d.第三或第四象限【答案】a考向二 048扇形的弧长及面积公式已知扇形的圆心角是，半径为r，弧长为l.(1)若60，r10 cm，求扇形的弧长l.(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若，r2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积【尝试解答】(1)l10(cm)(2)由已知得：l2r20，所以slr(202r)r10rr2(r5)225，所以r5时，s取得最大值25，此时l10，2 rad.(3)设弓形面积为s弓由题知lcm，s弓s扇s222sin (cm2)规律方法21.利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度2本题把求扇形面积最大值的问题，转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决，这是解决此类问题的常用方法3在解决弧长问题和扇形面积问题时，要注意合理地利用圆心角所在的三角形对点训练已知半径为10的圆o中，弦ab的长为10，(1)求弦ab所对的圆心角的大小；(2)求所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积s.【解】(1)在aob中，aboaob10，aob为等边三角形因此弦ab所对的圆心角.(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得lr10，s扇形rlr2.又saoboaobsin 25.弓形的面积ss扇形saob50.考向三 049三角函数的定义(1)已知角的终边经过点p(m，3)，且cos ，则m等于()ab.c4d4【答案】c(2)已知角的终边在直线3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值【尝试解答】在直线3x4y0上任取一点p(4t，3t)(t0)，则x4t，y3t，r|po|5|t|，当t0时，r5t，sin ，cos ，tan ；当t0时，r5t，sin ，cos ，tan .综上可知，当t0时，sin ，cos ，tan .当t0时，sin ，cos ，tan .,规律方法3定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角终边上一点p的坐标，则可先求出点p到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解(2)已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值对点训练设90180，角的终边上一点为p(x，)，且cos x，求4sin 3tan 的值【解】r，cos ，从而x，解得x0或x.90180，x0，因此x.则r2，sin ，tan .故4sin 3tan .易错易误之六|a|a三角函数定义求值中引发的分类讨论1个示范例已知角的终边上一点p(3a,4a)(a0)，则sin _.【解析】x3a，y4ar5|a|此处在求解时，常犯r5a的错误，出错的原因在于去绝对值时，没有对a进行讨论(1)当a0时，r5a，sin .(2)当a0时，r5a，sin sin .【防范措施】1.对于|a|，在去掉绝对值号后，应分a0和a0两种情况讨论2已知角终边上任意一点p(x，y)，求三角函数值时，应用sin ，cos ，tan 求解1个防错练已知角的终边落在直线y2x上，则sin cos _.【解析】在角的终边上任取一点p(t,2t)(t0)，则r|op|t|(1)若t0，则sin ，cos ，sin cos .(2)若t0，则sin ，cos ，sin cos .综上所述，sin cos .【答案】课时限时检测(十七)任意角、弧度制及任意角的三角函数(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1如图311，在直角坐标系xoy中，射线op交单位圆o于点p，若aop，则点p的坐标是() 图311a(cos ，sin )b(cos ，sin )c(sin ，cos )d(sin ，cos )【答案】a2已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是()a2bsin 2c.d.2sin 1【答案】c3若k360，m360(k，mz)，则角与的终边的位置关系是()a重合b.关于原点对称c关于x轴对称d.关于y轴对称【答案】c4已知点p(tan ，cos )在第三象限，则角的终边在()a第一象限b.第二象限c第三象限d.第四象限【答案】b5已知角x的终边上一点坐标为，则角x的最小正值为()a.b. c.d.【答案】c6已知是第四象限角，则sin(sin )()a大于0b.大于等于0c小于0d.小于等于0【答案】c二、填空题(每小题5分，共15分)7若角120的终边上有一点(4，a)，则a的值是_【答案】48已知角的终边落在直线y3x(x0)上，则_.【答案】29点p从(1,0)出发，沿单位圆x2y21逆时针方向运动弧长到达q点，则q点的坐标为_【答案】三、解答题(本大题共3小题，共35分)10(10分)已知角的终边上有一点p(x，1)(x0)，且tan x，求sin cos 的值【解】的终边过点(x，1)(x0)，tan ，又tan x，x21，x1.当x1时，sin ，cos ，因此sin cos 0；当x1时，sin ，cos ，因此sin cos .11(12分)已知扇形aob的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长ab.【解】设扇形aob的半径为r，弧长为l，圆心角为，(1)由题意可得解得或或6.(2)2rl8，s扇lrl2r224，当且仅当2rl，即2时，扇形面积取得最大值4.r2，弦长ab2sin 124sin 1.12(13分)角终边上的点p与a(a,2a)关于x轴对称(a0)，角终边上的点q与a关于直线yx对称，求sin cos sin cos tan tan 的值【解】由题意得，点p的坐标为(a，2a)，点q的坐标为(2a，a)所以，sin ，cos ，tan 2，sin ，cos ，tan ，故有sin cos sin cos tan tan (2)1.第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式考情展望1.利用同角三角函数的基本关系求三角函数值.2.借助诱导公式化简三角函数式，进而求三角函数值一、同角三角函数的基本关系1平方关系：sin2cos21.2商数关系：tan (k，kz)二、六组诱导公式组数一二三四五六角2k(kz)正弦sin sin_sin_sin_cos_cos_余弦cos cos_cos_cos_sin_sin_正切tan tan_tan_tan_诱导公式记忆口诀对于角“”(kz)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”“符号看象限”是指“在的三角函数值前面加上当为锐角时，原函数值的符号”1已知cos()，且是第四象限角，则sin ()ab.c.d【答案】a2已知sin()cos(2)，|，则等于()a b. c. d【答案】d3sin 585的值为()a b. cd【答案】a4若cos 且，则tan ()a. b. c d.【答案】b5(2014大纲全国卷)设asin 33，bcos 55，ctan 35，则()aabcb.bcaccbad.cab【答案】c6(2013广东高考)已知sin，那么cos ()a b. c. d【答案】c考向一 050同角三角函数关系式的应用(1)已知5，则sin2sin cos 的值是()a.bc2d2(2)已知，tan 2，则cos _.【答案】(1)a(2),规律方法11.利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互化，利用tan 可以实现角的弦切互化2注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.对点训练(1)若tan 2，则的值为()a0b.c1d.(2)若，且sin ，则tan _.【答案】(1)b(2)考向二 051诱导公式的应用(1)sin 600tan 240的值等于()ab.c.d.(2)若sin，则cos等于()a b. c. d(3)已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2xy0上，则()a2b.2 c0d【答案】(1)b(2)c(3)b,规律方法21.利用诱导公式应注意已知角或函数名称与所求角或函数名称之间存在的关系，选择恰当的公式，向所求角和三角函数进行化归2诱导公式的应用原则：负化正、大化小、小化锐、锐求值考向三 052sin cos 与sin cos 的关系已知x0，sin xcos x.(1)求sin xcos x的值；(2)求的值【尝试解答】(1)法一：由sin xcos x，平方得sin2x2sin xcos xcos2x，整理得2sin xcos x.(sin xcos x)212sin xcos x.又x0，sin x0，又sin xcos x0，cos x0，sin xcos x0，故sin xcos x.法二：由法一可知sin xcos x0，又x0，所以sin x0，cos x0，联立得所以sin xcos x.(2).规律方法31.第(1)问应注意x的范围对sin xcos x的符号的影响事实上根据条件可进一步判定x.2对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求，转化公式为(sin cos )212sin cos ，体现了方程思想的应用对点训练已知(0，)，sin cos ，则tan 的值为()a或bcd【答案】c易错易误之七拨云见日三角函数式中“角范围”的信息提取1个示范例已知为第二象限角，sin cos ，则cos 2()abc.d.【解析】sin cos ，(sin cos )2，2sin cos ，即sin 2.又为第二象限角且sin cos 0，此处在求解中，分析不出“sin cos 0”这个隐含信息，导致后面的“”范围无法确定，进而影响后面的解答2k2k(kz)，4k20)个单位，得函数yf(x)的图象若yf(x)是偶函数，则的最小值是_【答案】(2)(2014福建高考)已知函数f(x)cos x(sin xcos x).若0，且sin ，求f()的值；求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间【解】f(x)sin xcos xcos2xsin 2xcos 2xsin .(1)因为00，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是()a.b.c.d(0,2【解析】由x得x，由题意知，故选a.1个对点练已知函数f(x)2sin x在区间上的最小值为2，则的取值范围是()a.6，)b.c(，26，)d(，2【解析】当0时，由x得x，由题意知，当0时，由x得x，由题意知，2，综上知(，2.【答案】d课时限时检测(十九)三角函数的图象与性质(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1函数ytan的定义域是()a.b.c.d【答案】d2(2013浙江高考)已知函数f(x)acos(x)(a0，0，r)，则“f(x)是奇函数”是“”的()a充分不必要条件b.必要不充分条件c充分必要条件d.既不充分也不必要条件【答案】b3函数ysin2xsin x1的值域为()a1,1b.c.d【答案】c4若函数f(x)sin(3x)，满足f(ax)f(ax)，则f的值为()a.b1 c0d.【答案】c5已知函数f(x)sin xcos x，设af，bf，cf，则a，b，c的大小关系是()aabcb.cabcbacd.bca【答案】b6已知函数f(x)2sin(x)，xr，其中0，.若f(x)的最小正周期为6，且当x时，f(x)取得最大值，则()af(x)在区间2，0上是增函数bf(x)在区间3，上是增函数cf(x)在区间3，5上是减函数df(x)在区间4，6上是减函数【答案】a二、填空题(每小题5分，共15分)7已知f(x)asin(x)，f()a，f()0，|的最小值为，则正数_.【答案】8已知函数f(x)3sin(0)和g(x)2cos(2x)1的图象的对称轴完全相同，若x，则f(x)的取值范围是_【答案】9已知函数f(x)cos xsin x(xr)，给出下列四个命题：若f(x1)f(x2)，则x1x2；f(x)的最小正周期是2；f(x)在区间上是增函数；f(x)的图象关于直线x对称其中真命题是_【答案】三、解答题(本大题共3小题，共35分)10(10分)已知函数f(x)sin xcos xsin2x，(1)求f的值；(2)若x，求f(x)的最大值及相应的x值【解】(1)f(x)sin xcos xsin2x，fsin cos sin2221.(2)f(x)sin xcos xsin2xsin 2x(sin 2xcos 2x)sin，由x得2x，所以，当2x，即x时，f(x)取到最大值为.11(12分)已知函数f(x).(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间【解】(1)由sin x0得xk(kz)，故f(x)的定义域为xr|xk，kz因为f(x)2cos x(sin xcos x)sin 2xcos 2x1sin1，所以f(x)的最小正周期t.(2)函数ysin x的单调递增区间为(kz)由2k2x2k，xk(kz)，得kxk，xk(kz)所以f(x)的单调递增区间为和(kz)12(13分)设函数f(x)sin2x2sin xcos xcos2x(xr)的图象关于直线x对称，其中，为常数，且.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的图象经过点，求函数f(x)的值域【解】(1)因为f(x)sin2xcos2x2sin xcos xcos 2xsin 2x2sin，由直线x是yf(x)图象的一条对称轴，可得sin1.所以2k(kz)，即(kz)又，kz，所以.所以f(x)的最小正周期是.(2)由yf(x)的图象过点，得f0，即2sin2sin，即.故f(x)2sin，函数f(x)的值域为2，2第四节函数yasin(x)的图象及三角函数模型的应用考情展望1.考查函数yasin(x)的图象变换.2.考查函数yasin(x)的图象画法或解析式的求法.3.以新问题新情景为切入点，考查三角函数模型的应用一、yasin(x)的有关概念yasin(x)(a0，0)，x0，)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相atfx二、用五点法画yasin(x)一个周期内的简图用五点法画yasin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示xx02yasin(x)0a0a0 三、由ysin x的图象变换得到yasin(x)(其中a0，0)的图象(1)先平移后伸缩(2)先伸缩后平移两种变换的差异先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(0)个单位原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的1已知简谐运动f(x)2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期t和初相分别为()at6，bt6，ct6，d.t6，【答案】a2函数ysin在区间上的简图是下列选项中的()【答案】a3将函数ysin x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得图象上所有的点向右平行移动个单位，得到图象的函数解析式为()aysinb.ysincysind.ysin【答案】d4已知函数yasin(x)(0，|)的部分图象如图341所示，则()图341a1，b1，c2，d.2，【答案】d5(2014四川高考)为了得到函数ysin(2x1)的图象，只需把函数ysin 2x的图象上所有的点()a向左平行移动个单位长度b向右平行移动个单位长度c向左平行移动1个单位长度d向右平行移动1个单位长度【答案】a6(2013四川高考)函数f(x)2sin(x)的部分图象如图342所示，则，的值分别是()a2，b.2，c4，d.4，【答案】a考向一 056作函数yasin(x)的图象已知函数f(x)cos2x2sin xcos xsin2x.(1)将f(x)化为yacos(x)的形式；(2)用“五点法”在给定的坐标中，作出函数f(x)在0，上的图象【尝试解答】(1)f(x)cos2xsin2x2sin xcos xcos 2xsin 2xcos.(2)列表：2x2x0f(x)1001图象为：规律方法11.寻找0，上的特殊点时，可先求出2x的范围，在此范围内找出特殊点，再求出对应的x值2用“五点法”作图应注意四点：(1)将原函数化为yasin(x)(a0，0)或yacos(x)(a0，0)的形式；(2)求出周期t ；(3)求出振幅a；(4)列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点和区间端点对点训练已知函数f(x)sin.画出函数yf(x)在区间0，上的图象【解】0x，2x.列表如下：2x2x0y1010画出图象如图所示考向二 057函数yasin(x)的图象变换(1)把函数ycos 2x1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()(2)(2014重庆高考)将函数f(x)sin(x)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到ysin x的图象，则f_.【答案】(1)a(2),规律方法2对yasin(x)进行图象变换时应注意以下两点：(1)平移变换时，x变为xa(a0)，变换后的函数解析式为yasin(xa)；(2)伸缩变换时，x变为(横坐标变为原来的k倍)，变换后的函数解析式为yasin(x)对点训练为了得到函数ysin 2x的图象，只需把函数ysin的图象()a向左平移个单位b向左平移个单位c向右平移个单位d.向右平移个单位【答案】d考向三 058求函数yasin(x)的解析式(1)如图343是函数yasin(x)2(a0，0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是()图343aa3，t，ba1，t，ca1，t，d.a1，t，【答案】c(2)如图344是函数yasin(x)(a0，0，|)的部分图象，则该函数的解析式为_图344【尝试解答】由图知a5，由，得t3，此时y5sin.下面求初相.法一(单调性法)：点(，0)在递减的那段曲线上，(kz)由sin0得2k(kz)，2k(kz)|，.该函数的解析式为y5sin.法二(最值点法)：将最高点坐标代入y5sin，得5sin5，2k(kz)，2k(kz)又|，.该函数的解析式为y5sin.法三(起始点法)：函数yasin(x)的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x正是由x0解得的故只需找出起始点横坐标x0，就可以迅速求得.由图象易得x0，x0.该函数的解析式为y5sin.法四(平移法)：由图象知，将y5sin的图象沿x轴向左平移个单位，就得到本题图象，故所求函数解析式为y5sin.规律方法31.求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点2用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时x0.“第二点”(即图象的“峰点”)时，x；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时x；“第四点”(即图象的“谷点”)时x；“第五点”时x2.对点训练(2013大纲全国卷)若函数ysin(x)(0)的部分图象如图345，则()图345a5b4c3d2【答案】b考向四 059三角函数模型的简单应用如图346为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中oa与地面垂直，以oa为始边，逆时针转动角到ob，设b点与地面间的距离为h. 图346(1)求h与间关系的函数解析式；(2)设从oa开始转动，经过t秒后到达ob，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？【尝试解答】(1)以圆心o为原点，建立如图所示的直角坐标系，则以ox为始边，ob为终边的角为.故点b的坐标为，h5.64.8sin.(2)点a在圆上转动的角速度是，故t秒转过的弧度数为t，h5.64.8sin，t0，)到达最高点时，h10.4 m.由sin1且用时最少得t，t30，缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒规律方法41.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是已知三角函数模型，准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是合理建模2建模的方法是，认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程对点训练(2014湖北高考)某实验室一天的温