2011年全国高中数学联赛加试题另解.pdf

2 0 1 1年第 1 2期 1 3 2 0 1 1年全国高中数学联赛加试题另解 中图分类号 0 1 2 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 1 l 2 0 0 1 3 0 5 第一题如图 1 P Q分别是 圆内接 四 分线 边形 A B C D的对角 线 A C B D的中点 若 B P A D P A 证明 A Q B C Q B 证法 1 首先 给出几个 引理 引理 l 已 知 点 A 日 C D在一条直 线上 尸为直线 外一 点 如下条件可由任两个推出第三个 1 P C 或 P D 为 A P B内 外 角的平 2 P C上 肋 3 A C B D 为调和点列 引理 2 点 P与圆和圆的一条弦依次交 于点 P B 则 A P B P 为调和点列 是 该 弦所 在 直线 为点 P 的极线 的 充要 条件 引理 3 若点 P在点 Q的极线上 则点 Q在点 P的极线上 引理证明见文献 1 回到原题 如图 2 设 四边形 A B C D外接圆 的圆心 为 0 联结 O P并延长与直线 B D交于点 P 联结 O Q并延长与直线 A C交于点 Q 模 1 O的完全剩余系 则 a 十b a 2 b 2 a 6 一定不是模 l 0的完全剩余系 本题基本上是由这两个题 目组成 设好方格至多一个 不妨设第一行没有好方格 且第一行 的 数依次为 a l a 2 a 9 则 0 al al 口2 al a 2 a9 是模 l 0的完全剩余系 设第二行 第 行 同在第 i 列的两个数 的和是 b 1 i 9 则 0 bl bI b 2 bl b 2 b 9 是模 l 0的完全剩余系 0 nI bI nl b I 02 b 2 al bI a2 b 2 n 9 b 9 也是模 l 0的完全剩余系 但由题 i i 知 0 aI bl al a 2 b l b 2 a I a 2 n 9 b l b 2 b 9 不是模 1 0的完全剩余系 矛盾 这表明好的方格至少 2个 综上 今年加试的题 目 每一道都是不错 的题 目 有些虽 由旧题改造得来 但 花样 翻 新 翻得很好 不过有一点值得注意 就是改 造后的题往往 比原来 的题难 一道难也还不 要紧 而每道题都 比原来难 那解题者就吃 消了 例如加试第四题 留着中国数学奥林 用或许更好 最后 笔者衷心希望今后命题 的难度能 够降下来 1 4 中 等 数 学 网 2 因为 P为 A C中点 所以 O P上 A C 又 A P平分 B P D 于是 由引理 1知 B D P 为调和点列 由引理 2知直线 A C为点 P 的极线 则 点 Q 在点 P 的极线上 再 由引理 3得点 P 在 点 Q 的极线上 由引理 2知 A M C Q 为 调和点列 又 O Q上 B D 则 由引理 1知 Q M 平分 A Q C 即证 参考文献 1 武炳杰 从调和点列到调和四边形 J 中等数学 2 0 1 0 7 戴昕悦上海中学 l 3届 8班 2 0 0 2 3 1 证法 2 因为 D P A B P A 所以 C O s DPA C O S BPA 故 D P P 一 A D B P A P 一 A B 又 D C A P 2 B C 则 D C 一 A D B C 2 一 A B 2DP 2 故 B P D C 一 A D D P B C 一 A B 由正弦定理知 BP AB s i n BAC s i n APB 一 s i n DAC s i n APD Bp AB s i n BAC AB BC 蚁 A D j A B B C D C 2 一 A D A D D C B C 2 一 A B B C D Cf A B D C A D B e A B A D B C A D A B D C 朋 D C A B A D A B D C A D B C O A曰 DC AD BC 由托勒密定理得 AB DC AD BC AC BD 2 A DC AC BD A B D C A C O Q A 日 A C 一 D o DC 又 B A C Q D C 则 B A C Q D c A B C D Q C 同理 4 Q D A B C j A Q D A B C A Q O D Q C A Q 8 C Q 日 张智浩哈 尔滨师大附中高三 1 班 1 5 0 0 8 0 证法 3 如图 3 在 o 0上 取点 E 使 A E 曰 C C 联结 A E B E C E P E 图 3 由托勒密定理得 A E B C A B E C AC B E A E BC A B EC c B E BE c P AE CP BE CB 2 0 1 1年第 1 2 期 由 A E B A C B 知 A E B P C B 同理 A B E P C E E AB CP CPE APE APB APD P D Ej点共线 即点 D与 E重合 嵌 A D B C A B C D A C B D A C B Q BC AC 一 p A D 又 q s c D A C 则 A D C B O C 同理 9 A C D 于是 A Q 8 A D C 8 q c 李菁华哈 尔滨师大附中高二 2 班 1 5 0 0 8 0 证法4 如图4 过点 作B E A C与四 边形 A B C D的外接圆交于点 A I冬 l 4 则四边形 A B E C是等腰梯形 故 B A P E c P 由题意知 P P C P A B P C E 故 A 胎 A P D铮 C P E D 甘 D P E三点共线 D E过 A C的中点 P 甘s D E Sz x c D E 甘 D AEs i n E 1 C E C D s i n D C E 二 甘AD AE CE ClD 甘 AD BC AB CD 同理 a 0 8 C Q 8 铮 AD BC A B C D 故 A P B A P D甘 a q 8 叩 王慧兴 浙江省乐清乐成公立寄宿 中 学 3 2 5 6 0 0 证法 5 于点 层 过点 E作 O O 的 另 一 条切 线 与 o O交 于 点 D 又 J p是 A C的中点 由 垂 径 定 理 知 D P f C 过点 B作o0的切线与 交 5 因为B E是o0的切线 所以 O B j B E 于是 0 P B E D 五点共圆 故 D P A D D E B O E BP A DPA 从而 点 D 与 D重合 由 E Q上 B D o q上 B D 知 0 Q E三点 共线 由射影定理知 B E E p O E 由切割线定理知 B E E A E C 于是 E 9 O E E A E C 从而 0 Q A C四点共圆 故 E O C A O A C o o c 而 上 E O 则 C q B 杨志明 广东省广雅中学 5 1 0 1 6 0 证法 6 如图 6 以 P为原点 A C为 轴 建立平面直角坐标系 一 R C 图6 设夕 心 0 n 0 A 0 n B 0 一n l y b l I 2 Y 2 则四边形 A B C D的外接圆方程为 一 2 m y 几 1 6 中 等 数 学 显然 是方程 k 1 一2 m k b b 一n 0 的两个根 从 铲 十 l 十 l 因为 B P A D P A 所以 k p R k e o 0 故 X I Y 2 x 2 y l l k x 2 b 2 l b 6 2 r o b k n 一2 Q 当k O 时 直 线B D 过 定 点 f 一 0 1 此时 k A n k o k c R k o c 一1 因此 O A R O C R O Q R 9 0 于是 尺 C Q 0五点共圆 故 A Q R A O R C O R C Q R 当k 0时 b 0 直线 B D与 轴重合 由对称性知 A Q B C Q B 沈毅 四川省成都七 中初 中学校 6 1 0 0 4 1 第二题证明 对任意整数 n n 4 存 在一个 n次多项式 a 一 l 一 0 l a 0 具有如下性质 1 a a 一 a 均为正整数 2 对任意正整数 m及任意 k k t 2 个 互不相同的正整数 r r 均有 m r r 一 证法 1 i 当 n为偶数时 设 n 2 t 2 t 1 显然 对任意的整数 有 4 I 一1 事实上 当 为偶数 时 4 I 当 为奇 数时 4 I 一1 从而 对任意的整数 有 m o d 4 取 4 一 3 x 2 显然 满足条件 1 又对任意的整数 有 f x X 3 x 2 x 3 x 2 2 m o d 4 2 l l 另一方面 若存在 m N r r N 使得 m r r 一 f 由2 l l r 1 1 Ii 知 2 I I f r r 一 即2 l I m 因为 k 2 这 与 2 l l f m 矛盾 所 以 满足条件 2 i i 当 n为奇数时 设 n 2 t l 2 显然 对任意的整数 有 4I 一 一1 即对任意的整数 有 X m o d 4 取 4 3 x 2 类似可知 满足条件 1 2 王 健 四川省绵 阳南山 中学 2 0 1 2 级 6 2 1 0 0 0 证法 2 令 2 1 一 2 显然 是一个首项系数为 l的正整 数系数 的 n次多项式 下面证明 满足 2 对任意正整数 知 2 x x 1 2 必为偶数 于是 对任意正整数 有 2 兰0 m o d 4 所 以 2 m o d4 因此 对任意 k k 2 个正整数 r r 2 有 r l r 2 r 2 0 m o d 4 但对任意正整数 m有 m 2 m o d 4 故 m r 厂 r 2 一 m o d 4 从而 m r r 一 张慧丰南京师范大学数 学与计算机 信息科 学学院2 0 0 9级研 究生 2 1 0 0 9 7 张国 清 江西省抚州市一中 3 4 4 0 0 0 证法 3 对任意整数 n n 4 取 4 x 3 x 4 x 4 x 2 若 为偶数 则 2 m o d 4 若 为奇数 当n 2 k N 时 三戈 3 2 2 mo d 4 当 n 2 k l N 时 兰戈 3 一 2 兰 3 2 2 mo d 4 综上 对任意 N 都有 2 0 1 1 年第 l 2期 1 7 戈 2 m o d 4 以下同证法 2 邹昊源 山东省青岛二中高三 9 班 2 6 6 1 0 1 第三题设 0 口 口 n 14 为给定 的正实数 n 口 血 对任意正实数 r 满足 r 1 1 的三元数组 一 的个数记为 r 证明 r 证法 1 对任意正实数 r 有 r 1 j n 一 即 对 确 定 的 号 由 式 知 每 个 i 至 多 对应一个 故三元数组 k 的个数为 s 2 一 1 对 确 定 的 号 1 由 式 知 每 个 i 至 多对应一个 故三元数组 i k 的个数为 s z 2 小一 一 t 所以 r I s l s 2 当 n为偶数 2 时 r l 2 k一1 k一1 2 l k k 1 j 当 为奇数 2 1时 r l 2 k I i 2 1 等 综 上 r 等 潘彩江苏省新海高级中学 2 2 2 0 0 6 证 法 2归 纳 证 明 r 等 对任意正实数 由 口 1 i f k n 知每一对 i f 最多确定 一 个 k 当 n 4时 所有三元数组共 4个 由 二 二 知必有 r 4 0 3 一 u2 4 一 U2 2 假设 n 4 对于 n 1 由于 n r 包括两部分 1 口 口 一 n 中满足条件的三元数 组 共 r 个 2 包 含 口 的满 足条件的三元数组 设这种数组共 s 个 因 0 与 0 1 n 最多可确定一个 口 这 种 a i 0 J 至 多 有 号 个 所 以 s 故 r r s 手 从而 对 1 成 立 所 以 r 肖昊天山东省青岛二中高二 6 班 2 6 6 1 0 1 证法 3 对任意实数 r 假设 i 满足 r 1 Ij n 口 一 口 则由 口 1 n 2 口 知数组 i k k k n i j 1 1 i Ji 1 Ij 一1 分另 有 n一 j 个 i 一