高考数学二轮复习 专题10 数列求和及其应用讲学案 理.doc

专题10 数列求和及其应用高考对本节内容的考查仍将以常用方法求和为主，尤其是错位相减法及裂项求和，题型延续解答题的形式明年高考对数列求和仍是考查的重点数列的应用以及数列与函数等的综合的命题趋势较强，复习时应予以关注1数列求和的方法技巧(1)公式法：直接应用等差、等比数列的求和公式求和(2)错位相减法这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中an、bn分别是等差数列和等比数列(3)倒序相加法这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和(4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和(5)分组转化求和法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，可先分别求和，然后再合并2数列的综合问题(1)等差数列与等比数列的综合(2)数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何等知识的综合(3)增长率、分期付款、利润成本效益的增减等实际应用问题数列的实际应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读文解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推文予以解决.【误区警示】1应用错位相减法求和时，注意项的对应2正确区分等差与等比数列模型，正确区分实际问题中的量是通项还是前n项和 考点一由递推关系求通项例1、(2016高考全国卷)(本小题满分12分)已知各项都为正数的数列an满足a11，a(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式【方法规律】求数列通项的常用方法1归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法2已知sn与an的关系，利用ann2求an.3累加法：数列递推关系形如an1anf(n)，其中数列f(n)前n项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法)4累乘法：数列递推关系形如an1g(n)an，其中数列g(n)前n项积可求，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)5构造法：(1)递推关系形如an1panq(p，q为常数)可化为an1p(p1)的形式，利用是以p为公比的等比数列求解(2)递推关系形如an1(p为非零常数)可化为的形式【变式探究】数列an的前n项和为sn，且a13，an2sn13n(n2)，则该数列的通项公式为an_.【答案】(2n1)3n1【解析】an2sn13n，an12sn23n1(n3)，两式相减得：anan12an123n1，即an3an123n1，(n3)，又a22s1322a13215，即，数列是以1为首项，为公差的等差数列，1(n1)，an(2n1)3n1.考点二分组转化法求和例2、(2016高考全国卷)sn为等差数列an的前n项和，且a11，s728.记bnlg an，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，lg 991.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列bn的前1 000项和【方法规律】1若一个数列由若干个等差数列或等比数列组成，则求和时可用分组转化法分别求和再相加减形如an(1)nf(n)类型，可采用相邻两项并项(分组)后，再分组求和2分组求和中的分组策略(1)根据等差、等比数列分组(2)根据正号、负号分组【变式探究】已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和解：(1)等比数列bn的公比q3，所以b11，b4b3q27.设等差数列an的公差为d.因为a1b11，a14b427，所以113d27，即d2.所以an2n1(n1,2,3，)(2)由(1)知，an2n1，bn3n1.因此cnanbn2n13n1从而数列cn的前n项和sn13(2n1)133n1n2.考点三错位相减法求和例3、【2017山东，文19】（本小题满分12分）已知an是各项均为正数的等比数列,且. (i)求数列an通项公式；(ii) bn为各项非零的等差数列,其前n项和sn,已知,求数列的前n项和.【答案】（）.（）. 【解析】又,两式相减得所以. 【变式探究】(2016高考山东卷)已知数列an的前n项和sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式(2)令cn，求数列cn的前n项和tn.【方法技巧】错位相减法的关注点1适用题型：等差数列an与等比数列bn对应项相乘(anbn)型数列求和2具体步骤：(1)求和时先乘以数列bn的公比；(2)把两个和的形式错位相减；(3)整理结果形式【变式探究】已知数列an的前n项和为sn，数列bn的前n项和为tn，且有sn1an(nn*)，点(an，bn)在直线ynx上(1)求tn；(2)试比较tn和2的大小，并说明理由(2)令bn2，则tnbn，所以当n1时，t1b10，所以t1b1；当n2时，t2b20，所以t2b2；当n3时，tnbn0，所以tnbn.综上所述，当n1时，tn2；当n2时，tn2；当n3时，tn2.考点四裂项相消法求和例4、【2017课标3，文17】设数列满足.（1）求的通项公式； （2）求数列 的前项和.【答案】(1) ；(2) .【解析】.(2)., .【变式探究】已知数列an的前n项和为sn，且满足：n，nn*.(1)求an.(2)设tn，是否存在整数m，使对任意nn*，不等式tnm恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由【方法规律】1裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于或(其中an为等差数列)等形式的数列求和2裂项相消的规律(1)裂项系数取决于前后两项分母的差(2)裂项相消后前、后保留的项数一样多【方法规律】已知数列an的前n项和是sn，且snan1(nn*)(1)求数列an的通项公式(2)设bnlog4(1sn1)(nn*)，tn，求使tn成立的最小的正整数n的值解：(1)当n1时，a1s1，由s1a11a1，当n2时，snan1，sn1an11, 1.【2017山东，文19】（本小题满分12分）已知an是各项均为正数的等比数列,且. (i)求数列an通项公式；(ii) bn为各项非零的等差数列,其前n项和sn,已知,求数列的前n项和.【答案】（）.（）.【解析】（）设的公比为，由题意知： .又，解得： ，所以.2.【2017北京，文15】已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5（）求的通项公式；（）求和：【答案】（） ；（）.【解析】（）设等差数列an的公差为d.因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n1.（）设等比数列的公比为q.因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以.从而.1.【2016高考天津文数】已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的是和的等差中项.()设，求证：是等差数列；()设 ，求证：【答案】（）详见解析（）详见解析【解析】2.【2016高考新课标3文数】已知数列的前n项和，其中（i）证明是等比数列，并求其通项公式；（ii）若 ，求【答案】（）；（）【解析】（）由题意得，故，由，得，即由，得，所以.因此是首项为，公比为的等比数列，于是（）由（）得，由得，即，解得3.【2016高考浙江文数】设数列满足，（i）证明：，；（ii）若，证明：， 【答案】（i）证明见解析；（ii）证明见解析4.【2016年高考北京文数】（本小题13分） 设数列a： ， , ().如果对小于()的每个正整数都有 ，则称是数列a的一个“g时刻”.记“是数列a的所有“g时刻”组成的集合.（1）对数列a：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；（2）证明：若数列a中存在使得，则 ；（3）证明：若数列a满足- 1（n=2,3, ,n）,则的元素个数不小于 -.【答案】（1）的元素为和；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】（）的元素为和.（）因为存在使得，所以.记，则，且对任意正整数.因此，从而.（）当时，结论成立.以下设.5.【2016年高考四川文数】（本小题满分12分）已知数列 的首项为1， 为数列的前n项和， ，其中q0， .（）若 成等差数列，求的通项公式；（）设双曲线 的离心率为 ，且 ，证明：.【答案】（）；（）详见解析. 6.【2016高考上海文数】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.（1）若具有性质，且，求；（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，判断是否具有性质，并说明文由；（3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.【答案】（1）（2）不具有性质（3）见解析 充分性得证必要性：用反证法证明假设不是常数列，则存在，使得，而下面证明存在满足的，使得，但设，取，使得，则，故存在使得取，因为（），所以，依此类推，得但，即所以不具有性质，矛盾必要性得证综上，“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列” 7.【2016高考新课标2文数】为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如（）求；（）求数列的前1 000项和【答案】（）， ；（）1893.【解析】8.【2016高考山东文数】（本小题满分12分）已知数列 的前n项和sn=3n2+8n，是等差数列，且 （）求数列的通项公式；（）令 求数列的前n项和tn.【答案】（）；（）.【解析】9.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）记.对数列和的子集t，若,定义;若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.（1）求数列的通项公式；（2）对任意正整数，若，求证：；（3）设,求证：.【答案】（1）（2）详见解析（3）详见解析【解析】从而，故，所以，即.综合得，. 10.【2016高考山东文数】（本小题满分12分）已知数列 的前n项和sn=3n2+8n，是等差数列，且 （）求数列的通项公式；（）令 求数列的前n项和tn. 【答案】（）；（）.【解析】所以【2015江苏高考，11】数列满足，且（），则数列的前10项和为 【答案】【解析】由题意得：所以【2015高考天津，文18】（本小题满分13分）已知数列满足，且成等差数列.(i)求的值和的通项公式；(ii)设，求数列的前项和.【答案】(i) ; (ii) . (ii) 由(i)得，设数列的前项和为，则，两式相减得，整文得所以数列的前项和为.【2015高考四川，文16】设数列的前项和，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前n项和，求得成立的n的最小值.【答案】（1）；（2）10.由，得，即.因为，所以.于是，使成立的n的最小值为10.【2015高考新课标1，文17】为数列的前项和.已知0，=.（）求的通项公式；（）设 ,求数列的前项和.【答案】（）（）【2015江苏高考，20】（本小题满分16分）设是各项为正数且公差为d的等差数列（1）证明：依次成等比数列； （2）是否存在，使得依次成等比数列，并说明文由；（3）是否存在及正整数，使得依次成等比数列，并说明文由.【答案】（1）详见解析（2）不存在（3）不存在【解析】因此不存在，使得，依次构成等比数列（3）假设存在，及正整数，使得，依次构成等比数列，则，且分别在两个等式的两边同除以及，并令（，），则，且将上述两个等式两边取对数，得，且化简得，且再将这两式相除，化简得（）令，【2015高考浙江，文20】已知数列满足=且=-（）（1）证明：1（）； （2）设数列的前项和为，证明（）.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）由题意得，即，由得，由得，即；（2）由题意得，由和得，因此，由得.【2015高考山东，文18】设数列的前n项和为.已知. （i）求的通项公式； （ii）若数列满足，求的前n项和.【答案】（i）; （ii）. 所以两式相减，得 所以经检验， 时也适合，综上可得： 【2015高考安徽，文18】设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标.（）求数列的通项公式；（）记，证明.【答案】（）；（）.【解析】1. 【2014高考湖南文第20题】已知数列满足,.(1)若为递增数列,且成等差数列,求的值;(2)若,且是递增数列,是递减数列,求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) 或【解析】 (1)因为数列为递增数列,所以,则,分别令可得,因为成等差数列,所以或,当时,数列为常数数列不符合数列是递增数列,所以.(2)由题可得,因为是递增数列且是递减数列,所以且,则有,因为(2)由题可得,因为是递增数列且是递减数列,所以且,两不等式相加可得.当时, ,这个等式相加可得,当时,符合,故综上. 【考点定位】等差数列、等比数列、数列单调性2. 【2014高考江西文第17题】已知首项都是1的两个数列（），满足.（1）令，求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和【答案】（1）（2）【考点定位】等差数列、错位相减求和3. 【2014高考全国1第17题】已知数列的前项和为，其中为常数，（i）证明：；（ii）是否存在，使得为等差数列？并说明文由.【答案】（i）详见解析；（ii）存在，. 【解析】（i）由题设，两式相减得，由于，所以（ii）由题设，可得，由（i）知，令，解得故，由此可得，是首项为1，公差为4的等差数列，；是首项为3，公差为4的等差数列，所以，因此存在，使得为等差数列【考点定位】递推公式、数列的通项公式、等差数列4. 【2014高考全国2第17题】已知数列满足=1，.（）证明是等比数列，并求的通项公式；（）证明：.【答案】【解析】本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其【考点定位】本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明5. 【2014高考山东卷第19题】已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列. （）求数列的通项公式；（）令，求数列的前项和.【答案】（i）.（ii），（或） 【考点定位】等差数列的前项和、等比数列及其性质 6. 【2014高考上海文科第23题】已知数列满足.（1） 若，求的取值范围；（2） 若是公比为等比数列，求的取值范围；（3）若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差. 【答案】（1）；（2）；（3）的最大值为1999，此时公差为.【解析】（3）由题得，且数列成等差数列，,所以时，时，所以又，解得，的最大值为1999，此时公差为【考点定位】解不等式（组）、数列的单调性、分类讨论、等差（比）数列的前项和.7. 【2014高考上海文科第8题】设无穷等比数列的公比为q，若，则q= .【答案】【解析】由题意，即，.【