高中数学 第一章 不等式和绝对值不等式 1.1.3 三个正数的算术几何平均不等式试题 新人教A版选修45.doc

3.三个正数的算术-几何平均不等式课后篇巩固探究a组1.若a0,则2a+1a2的最小值为()a.22b.332c.1d.3解析2a+1a2=a+a+1a233aa1a2=3,当且仅当a=1a2,即a=1时,2a+1a2取最小值3.答案d2.设x,y,zr+,且x+y+z=6,则lg x+lg y+lg z的取值范围是()a.(-,lg 6b.(-,3lg 2c.lg 6,+)d.3lg 2,+)解析因为x,y,zr+,所以6=x+y+z33xyz,即xyz8,所以lg x+lg y+lg z=lg xyzlg 8=3lg 2(当且仅当x=y=z=2时,等号成立).答案b3.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为()a.336b.22c.12d.1235解析因为2x0,4y0,8z0,所以2x+4y+8z=2x+22y+23z332x22y23z=332x+2y+3z=34=12.当且仅当2x=22y=23z,即x=2y=3z,即x=2,y=1,z=23时,等号成立.答案c4.若a,b,c为正数,且a+b+c=1,则1a+1b+1c的最小值为()a.9b.8c.3d.13解析a0,b0,c0,且a+b+c=1,1a+1b+1c=a+b+ca+a+b+cb+a+b+cc=3+ba+ca+ab+cb+ac+bc3+66bacaabcbacbc=3+6=9当且仅当ba=ca=ab=cb=ac=bc,即a=b=c=13时,等号成立.答案a5.用一张钢板制作一个容积为4 m3的无盖长方体水箱,可用的长方形钢板有四种不同规格(长宽的尺寸如各选项所示,单位:m).若既要够用,又要所剩最少,则应选择钢板的规格是()a.25b.25.5c.26.1d.35解析设长方体水箱长、宽、高分别为x m,y m,z m,则xyz=4.水箱的表面积s=xy+2xz+2yz=xy+2x4xy+2y4xy=xy+8y+8x33xy8x8y=12当且仅当xy=8y=8x,即x=y=2,z=1时,等号成立.故要制作容积为4 m3的无盖水箱,所需的钢板面积最小为12 m2,所以选项a,b排除,而选项c,d均够用,但选项d剩较多,故选项c正确.答案c6.若a,b,c同号,则ba+cb+ack,则k的取值范围是.解析因为a,b,c同号,所以ba,cb,ac0,于是ba+cb+ac33bacbac=3(当且仅当a=b=c时,等号成立),因此k的取值范围是k3.答案k37.若xb0,则a+1(a-b)b的最小值为.解析因为ab0,所以a-b0,于是a+1(a-b)b=(a-b)+b+1(a-b)b33(a-b)b1(a-b)b=3,当且仅当a-b=b=1(a-b)b,即a=2,b=1时,a+1(a-b)b的最小值为3.答案39.已知实数a,b,cr,a+b+c=1,求4a+4b+4c2的最小值,并求出取最小值时a,b,c的值.解由三个正数的算术-几何平均不等式,得4a+4b+4c2334a4b4c2=334a+b+c2(当且仅当a=b=c2时,等号成立).a+b+c=1,a+b=1-c.则a+b+c2=c2-c+1=c-122+34,当c=12时,a+b+c2取得最小值34.从而当a=b=14,c=12时,4a+4b+4c2取最小值,最小值为32.10.导学号26394008已知x,y均为正数,且xy,求证2x+1x2-2xy+y22y+3.证明因为x0,y0,x-y0,所以2x+1x2-2xy+y2-2y=2(x-y)+1(x-y)2=(x-y)+(x-y)+1(x-y)233(x-y)(x-y)1(x-y)2=3,所以2x+1x2-2xy+y22y+3当且仅当x-y=1(x-y)2时,等号成立.b组1.若logxy=-2,则x+y的最小值为()a.3322b.2333c.332d.223解析由logxy=-2得y=1x2,因此x+y=x+1x2=x2+x2+1x233x2x21x2=3322当且仅当x2=1x2,即x=32时,等号成立.答案a2.设x0,则f(x)=4-x-12x2的最大值为()a.4-22b.4-2c.不存在d.52解析x0,f(x)=4-x-12x2=4-x2+x2+12x24-33x2x212x2=4-32=52当且仅当x2=12x2时,等号成立.答案d3.已知圆柱的轴截面周长为6,体积为v,则下列不等式正确的是()a.vb.vc.v8d.v8解析如图,设圆柱的半径为r,高为h,则4r+2h=6,即2r+h=3.v=sh=r2h=rrhr+r+h33=,当且仅当r=r=h=1时,等号成立.答案b4.设三角形的三边长为3,4,5,p是三角形内的一点,则p到这个三角形三边距离乘积的最大值是.解析设p到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x,y,z,三角形的面积为s,则s=12(3x+4y+5z).因为32+42=52,所以这个三角形为直角三角形,其面积s=1234=6,所以3x+4y+5z=26=12,所以12=3x+4y+5z333x4y5z=3360xyz,所以xyz1615,当且仅当3x=4y=5z,即x=43,y=1,z=45时,等号成立.答案16155.导学号26394009设x,y,z0,且x+3y+4z=6,求x2y3z的最大值.解因为6=x+3y+4z=x2+x2+y+y+y+4z66x2x2yyy4z=66x2y3z,所以x2y3z1.当且仅当x2=y=4z,即x=2,y=1,z=14时,等号成立,所以x2y3z的最大值为1.6.导学号26394010设a1,a2,an为正实数,求证a1n+a2n+ann+1a1a2an2n.证明a1,a2,a