直线与圆 (2).doc

直线与圆滚动练习1.两圆交于点A(1,3)和B(m,1)，两圆的圆心都在直线xy0上，则mc的值等于_.2.在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2y24上有且仅有四个点到直线12x5yc0的距离为1，则实数c的取值范围是_.3.直线l：y1k(x1)和圆x2y22y0的位置关系是_.4.过点(3,1)作圆(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为_.5.若过点A(a，a)可作圆x2y22axa22a30的两条切线，则实数a的取值范围为_.解析圆方程可化为(xa)2y232a，由已知可得，解得a3或1a0)的公共弦长为2，则a_.解析方程x2y22ay60与x2y24.相减得2ay2，则y.由已知条件 ，即a1.7.已知两圆C1：x2y22x10y240，C2：x2y22x2y80，则以两圆公共弦为直径的圆的方程是_.解析圆C1的圆心为(1，5)，半径为，圆C2的圆心为(1，1)，半径为，则两圆心连线的直线方程为2xy30，由两圆方程作差得公共弦方程为x2y40，两直线的交点(2,1)即为所求圆的圆心，由垂径定理可以求得半径为，即所求圆的方程为(x2)2(y1)25.8.设M(x，y)|y，a0，N(x，y)|(x1)2(y)2a2，a0，则MN时，a的最大值与最小值分别为_、_.解析因为集合M(x，y)|y，a0，所以集合M表示以O(0,0)为圆心，半径为r1a的上半圆.同理，集合N表示以O(1，)为圆心，半径为r2a的圆上的点.这两个圆的半径随着a的变化而变化，但OO2.如图所示，当两圆外切时，由aa2，得a22；当两圆内切时，由aa2，得a22.所以a的最大值为22，最小值为22. 9.如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2(y2)21上，那么PQ的最 小值为_.解析由点P在平面区域上，画出点P所在的平面区域.由点Q在圆x2(y2)21上，画出点Q所在的圆，如图所示.由题意，得PQ的最小值为圆心(0，2)到直线x2y10的距离减 去半径1.又圆心(0，2)到直线x2y10的距离为，此时垂足(1,0)在满足条件的平面区域内，故PQ的最小值为1. 10.设m，nR，若直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)2(y1)21相切，则 mn的取值范围是_.解析圆心(1,1)到直线(m1)x(n1)y20的距离为1，所以mn1mn(mn)2，所以mn22或mn22. 11.已知直线ykxb与圆O：x2y21相交于A，B两点，当b时，等于 _.解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将ykxb代入x2y21得(1k2)x22kbxb210，故x1x2，x1x2，从而x1x2y1y2(1k2)x1x2kb(x1x2)b2b21b211.12.圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离等于1的点有_个.解析因为圆心到直线的距离为2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，圆上到直线的距离为1的点有3个.13.过点(，0)引直线l与曲线y相交于A、B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于_.解析SAOBOAOBsinAOBsinAOB.当AOB时，SAOB面积最大.此时O到AB的距离d.设AB方程为yk(x)(k1，故m.16.已知点P(0,5)及圆C：x2y24x12y240.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.解(1)如图所示，AB4，将圆C方程化为标准方程为(x2)2(y6)216，圆C的圆心坐标为(2,6)，半径r4，设D是线段AB的中点，则CDAB，AD2，AC4.C点坐标为(2,6).在RtACD中，可得CD2.设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y5kx，即kxy50.由点C到直线AB的距离公式：2，得k.故直线l的方程为3x4y200.又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x0.所求直线l的方程为x0或3x4y200.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，则CDPD，即0，17.已知以点C(t，)(tR，t0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点.(1)求证：OAB的面积为定值；(2)设直线y2x4与圆C交于点M，N，若OMON，求圆C的方程.(1)证明圆C过原点O，OC2t2.设圆C的方程是(xt)2(y)2t2，令x0，得y10，y2；令y0，得x10，x22t，SOABOAOB|2t|4，即OAB的面积为定值.(2)解OMON，CMCN，OC垂直平分线段MN.kMN2，kOC.t，解得t2或t2.当t2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC，此时C到直线y2x4的距离d.圆C与直线y2x4不相交，t2不符合题意，舍去.圆C的方程为(x2)2(y1)25.18.已知矩形ABCD的对角线交于点P(2,0)，边AB所在直线的方程为x3y60，点(1,1)在边AD所在的直线上.(1)求矩形ABCD的外接圆的方程；(2)已知直线l：(12k)x(1k)y54k0(kR)，求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程.解(1)lAB：x3y60且ADAB，点(1,1)在边AD所在的直线上，AD所在直线的方程是y13(x1)，即3xy20.由得A(0，2).AP2，矩形ABCD的外接圆的方程是(x2)2y28.(2)直线l的方程可化为k(2xy4)xy50，l可看作是过直线2xy40和xy50的交点(3,2)的直线系，即l恒过定点Q(3,2)，由(32)22258知点Q在圆P内，所以l与圆P恒相交.设l与圆P的交点为M，N，则MN2(d为P到l的距离)，设PQ与l的夹角为，则dPQsin sin ，当90时，d最大，MN最短.此时l的斜率为PQ的斜率的负倒数，即，故l的方程为y2(x3)，x2y70.19.(2013江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y2x4.设圆C的半径为1，圆心在l上.(1)若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.解(1)由题设，圆心C是直线y2x4和yx1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为ykx3，由题意，1，解得k0或，故所求切线方程为y3或3x4y120.(2)因为圆心在直线y2x4上，所以圆C的方程为(xa)2y2(a2)21.设点M(x，y)，因为MA2MO，所以2 ，化简得x2y22y30，即x2(y1)24，所以点M在以D(0，1)为圆心，2为半径的圆上.由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|21|CD21，即13.由5a212a80，得aR；由5a212a0，得0a.所以点C的横坐标a的取值范围为.20.已知圆O：x2y24和点M(1，a).(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程.(2)若a，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，求ACBD的最大值.解(1)由条件知点M在圆O上，所以1a24，则a.当a时，点M为(1，)，kOM，k切，此时切线方程为y(x1).即xy40，当a时，点M为(1，)，kOM，k切.此时切线方程为y(x1).即xy40.所以所求的切线方程为xy40或xy40.(2)设