福建省高三数学4月模拟试卷 文（含解析）.doc

2016年福建省高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数，则=（）a1b2c d52集合a=y|y=，b=x|x2x20，则ab=（）a2，+）b0，1c1，2d0，23已知cos（+）=，则cos2的值等于（）a bc d4执行如图所示的程序框图，如果输入n的值为4，则输出的s的值为（）a15b6c10d215某公司为了增加其商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用x与销售利润y的统计数据如表：广告费用x（万元）2356销售利润y（万元）57911由表中数据，得线性回归方程l： =x+（=， =x），则下列结论错误的是（）a b c直线l过点（4，8）d直线l过点（2，5）6如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体是（）a三棱锥b三棱柱c四棱锥d四棱柱7在abc中，b=，ab=2，d为ab中点，bcd的面积为，则ac等于（）a2b c d8函数f（x）=ln，则f（x）是（）a奇函数，且在（0，+）上单调递减b奇函数，且在（0，+）上单凋递增c偶函数，且在（0，+）上单调递减d偶函数，且在（0，+）上单凋递增9在空间直角坐标系0xyz中，a（0，0，2），b（0，2，0），c（2，2，2），则三棱锥oabc外接球的表面积为（）a3b4c12d4810若x，y满足约束条件，则（x+2）2+（y+3）2的最小值为（）a1b c5d911已知过双曲线c： =1（a0，b0）的焦点的直线1与c交于a，b两点，且使|ab|=4a的直线1恰好有3条，则双曲线c的渐近线方程为（）ay=xby=xcy=2xdy=x12已知函数f（x）=kx，g（x）=2lnx+2e（xe2），若f（x）与g（x）的图象上分别存在点m，n，使得m，n关于直线y=e对称，则实数k的取值范围是（）a，b，2ec，2ed，+）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13已知函数f=，则ff（1）=14已知向量的夹角为，则=15椭圆c： +=1（ab0）的右焦点与抛物线e：y2=4x的焦点f重合，点p是椭圆c和抛物线e的一个公共点，点q（0，1）满足qfqp，则c的离心率为16已知a是函数f（x）=sin（x+）（0，02）图象上的一个最高点，b，c是f（x）图象上相邻的两个对称中心，且abc的面积为，若存在常数m（m0），使得f（x+m）=mf（x），则该函数的解析式是f（x）=三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知等比数列an的前n项为和sn，且a32a2=0，s3=7（）求数列an的通项公式；（）求数列的前n项和tn18随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机app软件层出不穷现从使用a和b两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如图（）试估计使用a款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数；（）根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答以下问题：（）能否认为使用b款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%？（）如果你要从a和b两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？并说明理由19如图，多面体abcdef中，四边形abcd为菱形，且dab=60，efac，ad=2，ea=ed=ef=（）求证：adbe；（）若be=，求三棱锥fbcd的体积20已知点a（4，0），直线l：x=1与x轴交于点b，动点m到a，b两点的距离之比为2（）求点m的轨迹c的方程；（）设c与x轴交于e，f两点，p是直线l上一点，且点p不在c上，直线pe，pf分别与c交于另一点s，t，证明：a，s，t三点共线21已知函数f（x）=xexalnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线平行于x轴（）求f（x）=a（x1）（exa）的单调区间；（）证明：be时，f（x）b（x22x+2）请考生在第22、23、24三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2b铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修4-1：几何证明选讲22如图，abc的两条中线ad和be相交于点g，且d，c，e，g四点共圆（）求证：bad=acg；（）若gc=1，求ab选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系xoy中，曲线c的参数方程为（为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为（）求c的普通方程和l的倾斜角；（）设点p（0，2），l和c交于a，b两点，求|pa|+|pb|选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x+1|（i）求不等式f（x）|2x+1|1的解集m；（）设a，bm，证明：f（ab）f（a）f（b）2016年福建省高考数学模拟试卷（文科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数，则=（）a1b2c d5【考点】复数求模【分析】先化简复数，然后再求它的模长【解答】解：复数=1+2i，=故选：c2集合a=y|y=，b=x|x2x20，则ab=（）a2，+）b0，1c1，2d0，2【考点】交集及其运算【分析】求出a中y的范围确定出a，求出b中不等式的解集确定出b，找出两集合的交集即可【解答】解：由a中y=0，得到a=0，+），由b中不等式变形得：（x2）（x+1）0，解得：1x2，即b=1，2，则ab=0，2，故选：d3已知cos（+）=，则cos2的值等于（）a bc d【考点】二倍角的余弦【分析】由已知利用诱导公式可求sin的值，利用二倍角的余弦函数公式即可计算求值【解答】解：cos（+）=sin=，可得：sin，cos2=12sin2=12（）2=故选：a4执行如图所示的程序框图，如果输入n的值为4，则输出的s的值为（）a15b6c10d21【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟执行程序，可得n=4，k=1，s=0满足条件k为奇数，s=1，k=2，不满足条件k4，不满足条件k为奇数，s=3，k=3，不满足条件k4，满足条件k为奇数，s=6，k=4，不满足条件k4，不满足条件k为奇数，s=10，k=5，满足条件k4，退出循环，输出s的值为10故选：c5某公司为了增加其商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用x与销售利润y的统计数据如表：广告费用x（万元）2356销售利润y（万元）57911由表中数据，得线性回归方程l： =x+（=， =x），则下列结论错误的是（）a b c直线l过点（4，8）d直线l过点（2，5）【考点】线性回归方程【分析】求出回归方程，根据回归方程进行判断【解答】解： =，直线l经过点（4，8）=（2）（3）+（1）（1）+11+23=14=（2）2+（1）2+12+22=10=， =81.44=2.4回归方程为y=1.4x+2.4当x=2时，y=1.42+2.4=5.2直线l过点（2，5.2）故选d6如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体是（）a三棱锥b三棱柱c四棱锥d四棱柱【考点】简单空间图形的三视图【分析】作出物体直观图进行判断【解答】解：由于三视图均为三角形，作出几何体的直观图如图所示：故几何体为三棱锥故选a7在abc中，b=，ab=2，d为ab中点，bcd的面积为，则ac等于（）a2b c d【考点】正弦定理【分析】在bcd中，由面积公式可得bc，再由余弦定理可得【解答】解：由题意可知在bcd中，b=，ad=1，bcd的面积s=bcbdsinb=bc=，解得bc=3，在abc中由余弦定理可得：ac2=ab2+bc22abbccosb=22+32223=7，ac=，故选：b8函数f（x）=ln，则f（x）是（）a奇函数，且在（0，+）上单调递减b奇函数，且在（0，+）上单凋递增c偶函数，且在（0，+）上单调递减d偶函数，且在（0，+）上单凋递增【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】根据函数的奇偶性的定义以及复合函数的单调性判断即可【解答】解：由x（exex）0，得f（x）的定义域是（，0）（0，+），而f（x）=ln=ln=f（x），f（x）是偶函数，x0时，y=x（exex）递增，故f（x）在（0，+）递增，故选：d9在空间直角坐标系0xyz中，a（0，0，2），b（0，2，0），c（2，2，2），则三棱锥oabc外接球的表面积为（）a3b4c12d48【考点】球内接多面体；球的体积和表面积【分析】由题意，四面体的外接球就是棱长为2的正方体的外接球，其直径为正方体的对角线 2，求出半径，即可求出四面体的外接球的体表面积【解答】解：由题意，四面体的外接球就是棱长为2的正方体的外接球，其直径为正方体的对角线2，半径为，四面体的外接球的表面积为=12故答选：c10若x，y满足约束条件，则（x+2）2+（y+3）2的最小值为（）a1b c5d9【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合两点间的距离公式进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：（x+2）2+（y+3）2的几何意义是区域内的点到定点d（2，3）的平方，由图象知d到直线x+y+2=0的距离最小，此时d=则（x+2）2+（y+3）2的最小值为d2=（）2=故选：b11已知过双曲线c： =1（a0，b0）的焦点的直线1与c交于a，b两点，且使|ab|=4a的直线1恰好有3条，则双曲线c的渐近线方程为（）ay=xby=xcy=2xdy=x【考点】双曲线的简单性质【分析】由|ab|=4a的直线1恰好有3条，由双曲线的对称性可得，必有一条与x轴垂直，另两条关于x轴对称，令x=c，代入双曲线方程，计算即可得到弦长，由渐近线方程即可得到所求【解答】解：由|ab|=4a的直线1恰好有3条，由双曲线的对称性可得，必有一条与x轴垂直，另两条关于x轴对称，令x=c，代入双曲线c： =1（a0，b0），可得y=b=，即有此时|ab|=4a，即为b=a，即有双曲线的渐近线方程为y=x，即为y=x故选：a12已知函数f（x）=kx，g（x）=2lnx+2e（xe2），若f（x）与g（x）的图象上分别存在点m，n，使得m，n关于直线y=e对称，则实数k的取值范围是（）a，b，2ec，2ed，+）【考点】函数与方程的综合运用【分析】设m（x，kx），则n（x，2ekx），推导出k=，由此利用导数性质能求出实数k的取值范围【解答】解：函数f（x）=kx，g（x）=2lnx+2e（xe2），f（x）与g（x）的图象上分别存在点m，n，使得m，n关于直线y=e对称，设m（x，kx），则n（x，2ekx），2ekx=2lnx+2e，k=，由k=0，得x=e，xe2，x，e）时，k0，k=是减函数；x（e，e2时，k0，是增函数，x=e时，k=；x=e2时，k=；x=时，k=，kmin=，kmax=2e实数k的取值范围是，2e故选：b二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13已知函数f=，则ff（1）=8【考点】函数的值【分析】利用分段函数的性质求解【解答】解：函数f=，f（1）=21+2=2，ff（1）=f（2）=23=8故答案为：814已知向量的夹角为，则=sqrt7【考点】平面向量数量积的运算【分析】欲求|+|的值，只要求|+|2的值即可，再利用数量积的运算公式即可求出结果【解答】解：向量的夹角为，且|=1，|=3，|+|2=|2+|2+2|cos=12+32+213（）=7，=故答案为：15椭圆c： +=1（ab0）的右焦点与抛物线e：y2=4x的焦点f重合，点p是椭圆c和抛物线e的一个公共点，点q（0，1）满足qfqp，则c的离心率为sqrt21【考点】椭圆的标准方程【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，再由题意求出椭圆与抛物线的交点，结合椭圆定义求出椭圆的实半轴，代入离心率公式求得答案【解答】解：如图，由抛物线e：y2=4x，得2p=4，p=2，f（1，0），又q（0，1）且qfqp，qp所在直线斜率为1，则qp所在直线方程为y=x+1，联立，解得p（1，2），则2a=，a=，则e=故答案为：16已知a是函数f（x）=sin（x+）（0，02）图象上的一个最高点，b，c是f（x）图象上相邻的两个对称中心，且abc的面积为，若存在常数m（m0），使得f（x+m）=mf（x），则该函数的解析式是f（x）=sinx【考点】正弦函数的图象【分析】由题意可得a的纵坐标为1，再根据abc的面积为，求得=，再根据存在常数m（m0），使得f（x+m）=mf（x），求得，可得函数的解析式【解答】解：由题意可得a的纵坐标为1，bc=，abc的面积为1=，=，f（x）=sin（x+）存在常数m（m0），使得f（x+m）=mf（x），即sin（x+m+）=msin（x+），m=1，=，f（x）=sin（x+）=sinx，故答案为：sinx三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知等比数列an的前n项为和sn，且a32a2=0，s3=7（）求数列an的通项公式；（）求数列的前n项和tn【考点】数列的求和【分析】（）利用已知条件列出方程组，求出首项与公比，即可求数列an的通项公式；（）求数列的通项公式，利用错位相减法求出前n项和tn【解答】解：（）设an的公比为q，依题意，得解得，所以（）由（）得，所以，所以，得，=所以18随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机app软件层出不穷现从使用a和b两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如图（）试估计使用a款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数；（）根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答以下问题：（）能否认为使用b款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%？（）如果你要从a和b两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？并说明理由【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【分析】（）利用频率分布直方图能求出使用a款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数和使用a款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数（）（）使用b款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家的比例估计值，从而求出结果（ii）求出使用b款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数，从而得到结果【解答】解：（）依题意可得，使用a款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数为55（分钟）使用a款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数：150.06+250.34+350.12+450.04+550.4+650.04=40（分钟）（）（）使用b款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家的比例估计值为：0.04+0.02+0.56=0.80=80%75%，故可认为使用b款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%（ii）使用b款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数：150.04+250.2+350.56+450.14+550.04+650.02=3540，选b款订餐软件19如图，多面体abcdef中，四边形abcd为菱形，且dab=60，efac，ad=2，ea=ed=ef=（）求证：adbe；（）若be=，求三棱锥fbcd的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质【分析】解法一：（）取ad中点o，连结eo，bo证明eoadboad说明ad平面beo，即可证明adbe（）证明eoob，然后证明eo平面abcd通过vfbcd=vebcd求解即可解法二：（）同解法一（）证明eoob，利用ad平面eob，以及vfbcd=vebcd=veabd求解即可【解答】解法一：（）如图，取ad中点o，连结eo，boea=ed，eoad四边形abcd为菱形，ab=ad，又dab=60，abd为等边三角形，ba=bd，boadboeo=o，bo平面beo，eo平面beo，ad平面beo，be平面beo，adbe（）在ead中，ad=2，abd为等边三角形，ab=bd=ad=2，又，eo2+ob2=be2，eoob，adob=o，ad平面abcd，bo平面abcd，eo平面abcd又，又efac，vfbcd=vebcd=解法二：（）同解法一（）在ead中，ad=2，abd为等边三角形，ab=bd=ad=2，又，eo2+ob2=be2，eoob，所以又sbcd=sabd，efac，ad平面eob，vfbcd=vebcd=veabd=20已知点a（4，0），直线l：x=1与x轴交于点b，动点m到a，b两点的距离之比为2（）求点m的轨迹c的方程；（）设c与x轴交于e，f两点，p是直线l上一点，且点p不在c上，直线pe，pf分别与c交于另一点s，t，证明：a，s，t三点共线【考点】轨迹方程【分析】解法一：（）设点m（x，y），利用已知条件真假求解曲线c的方程（）求出e，f坐标，设p（1，y0），s（x1，y1），t（x2，y2），写出直线pe的方程为y=y0（x+2），与轨迹方程联立，求出s、t坐标，通过kas=kat，说明a，s，t三点共线解法二：（）同解法一（）不妨设e（2，0），f（2，0）设p（1，y0），s（x1，y1），t（x2，y2），直线pe的方程为y=y0x+2y0，与轨迹方程联立，求出s、t坐标，通过kas=kat，说明a，s，t三点共线解法三：（）同解法一（）由（）知曲线c的方程为x2+y2=4，不妨设e（2，0），f（2，0）设p（1，y0），s（x1，y1），t（x2，y2），当y0=0时，s（2，0），t（2，0），此时a，s，t三点共线当y00时，则直线pe的方程为y=y0x+2y0，与轨迹方程联立，求出s、t坐标，通过kaskat=0，说明a，s，t三点共线【解答】解法一：（）设点m（x，y），依题意，化简得x2+y2=4，即曲线c的方程为x2+y2=4（）由（）知曲线c的方程为x2+y2=4，令y=0得x=2，不妨设e（2，0），f（2，0） 设p（1，y0），s（x1，y1），t（x2，y2），则直线pe的方程为y=y0（x+2），由得，所以，即，直线pf的方程为，由得，所以，即，所以，所以kas=kat，所以a，s，t三点共线解法二：（）同解法一（）由（）知曲线c的方程为x2+y2=4，令y=0得x=2，不妨设e（2，0），f（2，0）设p（1，y0），s（x1，y1），t（x2，y2），则直线pe的方程为y=y0x+2y0，由消去x得，所以，直线pf的方程为，由得，所以，以下同解法一解法三：（）同解法一（）由（）知曲线c的方程为x2+y2=4，令y=0得x=2，不妨设e（2，0），f（2，0）设p（1，y0），s（x1，y1），t（x2，y2），当y0=0时，s（2，0），t（2，0），此时a，s，t三点共线当y00时，则直线pe的方程为y=y0x+2y0，由消去x得，所以直线pf的方程为，由消去x得，所以=，因为，所以4y1y2+6y0y12y0y2=0所以kas=kat，所以a，s，t三点共线21已知函数f（x）=xexalnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线平行于x轴（）求f（x）=a（x1）（exa）的单调区间；（）证明：be时，f（x）b（x22x+2）【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】法一：（）求出函数的导数，利用切线的斜率与导数值的关系，求出a，利用导函数的符号求解函数的单调区间（）通过当b0时，求出最小值，推出结果当0be时，构造函数g（x）=xex2elnxb（x22x+2），利用导函数，判断函数的单调性，求解最小值，推出结果解法二：（）同解法一（）设g（x）=xex2elnxb（x22x+2）（1）当b=e时，求出函数的导数，然后通过当0x1时，利用函数的带动下求解最小值当x1时，构造函数，求出函数的导数，利用函数的单调性证明当x0时，f（x）e（x22x+2）恒成立（2）当be时，通过x22x+2=（x1）2+10，证明当be时，f（x）b（x22x+2）解法三：（）同解法一（）设g（x）=exex，求出极值点x=1，当x（0，1）时，利用函数的单调性推出g（x）g（1）推出exex，然后证明结论【解答】解：（）因为，x0，依题意得f（1）=0，即2ea=0，解得a=2e所以，显然f（x）在（0，+）单调递增且f（1）=0，故当x（0，1）时，f（x）0；当x（1，+）时，f（x）0所以f（x）的递减区间为（0，1），递增区间为（1，+）（）当b0时，由（）知，当x=1时，f（x）取得最小值e又b（x22x+2）的最大值为b，故f（x）b（x22x+2）当0be时，设g（x）=xex2elnxb（x22x+2），所以，令，x0，则，当x（0，1时，（x+2）ex0，所以h（x）0，当x（1，+）时，（x+2）ex2b0，所以h（x）0，所以当x（0，+）时，h（x）0，故h（x）在（0，+）上单调递增，又h（1）=0，所以当x（0，1）时，g（x）0；当x（1，+）时，g（x）0所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，所以当x=1时，g（x）取得最小值g（1）=eb0，所以g（x）0，即f（x）b（x22x+2） 综上，当be时，f（x）b（x22x+2）解法二：（）同解法一（）设g（x）=xex2elnxb（x22x+2）（1）当b=e时，当0x1时，所以g（x）0，所以g（x）在（0，1上单调递减，所以g（x）g（1）=0，即xex2elnxe（x22x+2）当x1时，令，则，所以m（x）在1，+）上单调递增，即g（x）在1，+）上单调递增，所以g（x）g（1）=0，所以g（x）在1，+）上单调递增，所以g（x）g（1）=0，即xex2elnxe（x22x+2）故当x0时，f（x）e（x22x+2）恒成立（2）当be时，因为x22x+2=（x1）2+10，所以e（x22x+2）b（x22x+2），由（1）知，f（x）e（x22x+2），所以f（x）b（x22x+2）综合（1）（2），当be时，f（x）b（x22x+2）解法三：（）同解法一（）设g（x）=exex，则g（x）=exe，令g（x）=exe=0，得x=1，当x（0，1）时，g（x）0，当x（1，+）时，g（x）0；所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，所以g（x）g（1）=0，所以exex，所以xlnex，即lnxx1因为be，x22x+2=（x1）2+10，x0，所以f（x）=xex2elnxex22e（x1）=e（x22x+2）b（x22x+2）请考生在第22、23、24三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2b铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修4-1：几何证明选讲22如图，abc的两条中线ad和be相交于点g，且d，c，e，g四点共圆（）求证：bad=acg；（）若gc=1，求ab【考点】相似三角形的性质；圆的切线的性质定理的证明【分析】（）由题意可得，g为abc的重心，根据d、c、e、g 四点共圆，可得ade=acg，deab，故有bad=ade，从而得到bad=acg（）延长cg交ab于f，则f为ab的中点，且cg=2gf证得afgcfa，可得=，即 fa2=fgfc，根据条件化为即ab=gc，从而得出结论【解答】证明：（）abc的两条中线ad和be相交于点g，g为abc的重心连结de，因为d、c、e、g 四点共圆，则ade=acg又因为ad、be为abc的两条中线，所以点d、e分别是bc、ac的中点，故deab，bad=ade，从而bad=acg解：（）g为abc的重心，延长cg交ab于f，则f为ab的中点，且cg=2gf在afc与gfa中，因为fag=fca，afg=cfa，所以afgcfa，=，即 fa