（江苏专版）2018年高考数学二轮复习 第2部分 八大难点突破 专项限时集训7 函数零点、单调性、极值等综合问题.doc

专项限时集训(七)函数零点、单调性、极值等综合问题(对应学生用书第125页)(限时：60分钟)1(本小题满分14分)已知函数f (x)ax2bxln x，a，br.(1)当b2a1时，讨论函数f (x)的单调性；(2)当a1，b3时，记函数f (x)的导函数f (x)的两个零点分别是x1和x2(x1x2)，求证：f (x1)f (x2)ln 2. 【导学号：56394110】解(1)因为b2a1，所以f (x)ax2(2a1)xln x，从而f (x)2ax(2a1)，x0.2分当a0时，由f (x)0得0x1，由f (x)0得x1，所以f (x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，)上单调递减当0a时，由f (x)0得0x1或x，由f (x)0得1x，所以f (x)在区间(0,1)和区间上单调递增，在区间上单调递减当a时，因为f (x)0(当且仅当x1时取等号)，所以f (x)在区间(0，)上单调递增当a时，由f (x)0得0x或x1，由f (x)0得x1，所以f (x)在区间和区间(1，)上单调递增，在区间上单调递减综上，当a0时，f (x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，)上单调递减；当0a时，f (x)在区间(0,1)和区间上单调递增，在区间上单调递减；当a时，f (x)在区间(0，)上单调递增，无单调递减区间；当a时，f (x)在区间和区间(1，)上单调递增，在区间上单调递减.8分(2)法一：因为a1，所以f (x)x2bxln x(x0)，从而f (x)，由题意知x1，x2是方程2x2bx10的两个根，故x1x2.记g(x)2x2bx1，因为b3，所以g0，g(1)3b0，所以x1，x2(1，)，且bx12x1，bx22x1，f (x1)f (x2)(xx)(bx1bx2)ln(xx)ln，因为x1x2，所以f (x1)f (x2)xln(2x)，x2(1，)令t2x(2，)，(t)f (x1)f (x2)ln t.因为当t2时，(t)0，所以(t)在区间(2，)上单调递增，所以(t)(2)ln 2，即f (x1)f (x2)ln 2.14分法二：因为a1，所以f (x)x2bxln x(x0)，从而f (x)，由题意知x1，x2是方程2x2bx10的两个根，故x1x2.记g(x)2x2bx1，因为b3，所以g0，g(1)3b0，所以x1，x2(1，)，且f (x)在(x1，x2)上是减函数，所以f (x1)f (x2)f f (1)(1b)ln 2，因为b3，所以f (x1)f (x2)ln 2ln 2.14分2(本小题满分14分)(南通、泰州市2017届高三第一次调研测试)已知函数f (x)ax2xln x，ar.(1)当a时，求函数f (x)的最小值；(2)若1a0，证明：函数f (x)有且只有一个零点；(3)若函数f (x)有两个零点，求实数a的取值范围解(1)当a时，f (x)x2xln x.所以f (x)x1(x0)令f (x)0，得x2，当x(0,2)时，f (x)0；当x(2，)时，f (x)0，所以函数f (x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增所以当x2时，f (x)有最小值f (2)ln 2.3分(2)证明：由f (x)ax2xln x，得f (x)2ax1，x0.所以当a0时，f (x)0，函数f (x)在(0，)上单调递减，所以当a0时，函数f (x)在(0，)上最多有一个零点因为当1a0时，f (1)a10，f 0，所以当1a0时，函数f (x)在(0，)上有零点综上，当1a0时，函数f (x)有且只有一个零点.7分(3)法一：由(2)知，当a0时，函数f (x)在(0，)上最多有一个零点因为函数f (x)有两个零点，所以a0.由f (x)ax2xln x，得f (x)(x0)，令g(x)2ax2x1.因为g(0)10,2a0，所以函数g(x)在(0，)上只有一个零点，设为x0.当x(0，x0)时，g(x)0，f (x)0；当x(x0，)时，g(x)0，f (x)0.所以函数f (x)在(0，x0)上单调递减；在(x0，)上单调递增要使得函数f (x)在(0，)上有两个零点，只需要函数f (x)的极小值f (x0)0，即axx0ln x00.又因为g(x0)2axx010，所以2ln x0x010，又因为函数h(x)2ln xx1在(0，)上是增函数，且h(1)0，所以x01，得01.又由2axx010，得2a22，所以0a1.以下验证当0a1时，函数f (x)有两个零点当0a1时，g10，所以1x0.因为f 10，且f (x0)0.所以函数f (x)在上有一个零点又因为f ln10(因为ln xx1)，且f (x0)0.所以函数f (x)在上有一个零点所以当0a1时，函数f (x)在内有两个零点. 综上，实数a的取值范围为(0,1)下面证明：ln xx1.设t(x)x1ln x，所以t(x)1(x0)令t(x)0，得x1.当x(0,1)时，t(x)0；当x(1，)时，t(x)0.所以函数t(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增所以当x1时，t(x)有最小值t(1)0.所以t(x)x1ln x0，得ln xx1成立.14分法二：由(2)知，当a0时，函数f (x)在(0，)上最多有一个零点因为函数f (x)有两个零点，所以a0.由f (x)ax2xln x0，得关于x的方程a(x0)有两个不等的实数解又因为ln xx1，所以a21(x0)因为x0时，211，所以a1.又当a1时，x1，即关于x的方程a有且只有一个实数解所以0a1.14分(以下解法同法一)3(本小题满分14分)(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上学期期中)设函数f (x)ln xax2ax，a为正实数(1)当a2时，求曲线yf (x)在点(1，f (1)处的切线方程；(2)求证：f 0；(3)若函数f (x)有且只有1个零点，求a的值解(1)当a2时，f (x)ln x2x22x，则f (x)4x2，所以f (1)1，又f (1)0，所以曲线yf (x)在点(1，f (1)处的切线方程为xy10.4分(2)证明：因为f ln1，设函数g(x)ln xx1，则g(x)1，另g(x)0，得x1，列表如下：x(0,1)1(1，)g(x)0g(x)极大值所以g(x)的极大值为g(1)0.所以f ln10.8分(3)f (x)2axa，x0，令f (x)0，得x，因为0，所以f (x)在上单调递增，在上单调递减所以f (x)f .设x0，因为函数f (x)只有1个零点，而f (1)0，所以1是函数f (x)的唯一零点当x01时，f (x)f (1)0，f (x)有且只有1个零点，此时1，解得a1.下证，当x01时，f (x)的零点不唯一若x01，则f (x0)f (1)0，此时1，即0a1，则1.由(2)知，f 0，又函数f (x)在以x0和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在x0和之间存在f (x)的零点，则f (x)共有2个零点，不符合题意；若x01，则f (x0)f (1)0，此时1，即a1，则01.同理可得，要和x0之间存在f (x)的零点，则f (x)共有2个零点，不符合题意因此x01，所以a的值为1.14分4(本小题满分16分)(扬州市2017届高三上学期期末)已知函数f (x)g(x)h(x)，其中函数g(x)ex，h(x)x2axa.(1)求函数g(x)在(1，g(1)处的切线方程；(2)当0a2时，求函数f (x)在x2a，a上的最大值；(3)当a0时，对于给定的正整数k，问函数f(x)ef (x)2k(ln x1)是否有零点？请说明理由(参考数据e2.718，1.649，e4.482，ln 20.693) 【导学号：56394111】解(1)g(x)ex，故g(1)e，g(1)e，所以切线方程为yee(x1)，即yex.2分(2)f (x)ex(x2axa), 故f (x)(x2)(xa)ex，令f (x)0，得xa或x2.当2a2，即0a1时，f (x)在2a，a上递减，在a，a上递增，所以f (x)maxmaxf (2a)，f (a)，由于f (2a)(2a2a)e2a，f (a)(2a2a)ea，故f (a)f (2a)，所以f (x)maxf (a)；当2a2，即1a2时，f (x)在2a，2上递增，2，a上递减，在a，a上递增，所以f (x)maxmaxf (2)，f (a)，由于f (2)(4a)e2，f (a)(2a2a)ea，故f (a)f (2)，所以f (x)maxf (a)；综上得，f (x)maxf (a)(2a2a)ea.6分(3)结论：当k1时，函数f(x)无零点；当k2时，函数f(x)有零点理由如下：当k1时，实际上可以证明：ex2ex2ln x20.f(x)(x22x)ex1，显然可证f(x)(x22x)ex1在(0，)上递增，所以存在x0，使得f(x0)0，所以当x(0，x0)时，f(x)递减；当x(x0，)时，f(x)递增，所以f(x)minf(x0)2，其中x0，而(x)2递减，所以(x)20，所以f(x)min0，所以命题得证.10分下面证明f(ek)0，可借助结论exx2(x2)处理，首先证明结论exx2(x2)：令(x)exx2(x2)，则(x)ex2x，故(x)ex2x0，所以(x)ex2x在2，)上递增，所以(x)(2)0，所以(x)exx2在2，)上递增，所以(x)(2)0，得证借助结论得eek2k1ek22k1(k22k1)2(k1)4(k1)(k1)32k(k1)，所以f(ek)0，又因为函数f(x)连续，所以f(x)在上有零点. 16分5(本小题满分16分)(扬州市2017届高三上学期期中)已知函数f (x)x.(1)若函数f (x)的图象在(1，f (1)处的切线经过点(0，1)，求a的值；(2)是否存在负整数a，使函数f (x)的极大值为正值？若存在 ，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由；(3)设a0，求证：函数f (x)既有极大值，又有极小值解(1)f (x)，f (1)1，f (1)ae1, 函数f (x)在(1，f (1)处的切线方程为：y(ae1)x1，又直线过点(0，1)，1(ae1)1，解得：a.4分(2)若a0，f (x)，当x(，0)时，f (x)0恒成立，函数在(，0)上无极值；当x(0,1)时，f (x)0恒成立，函数在(0,1)上无极值；法一：在(1，)上，若f (x)在x0处取得符合条件的极大值f (x0)，则则由得：aex0，代入得：x00，结合可解得：x02，再由f (x0)x00得：a，设h(x)，则h(x)，当x2时，h(x)0，即h(x)是增函数，所以ah(x0)h(2)，又a0，故当极大值为正数时，a，从而不存在负整数a满足条件.8分法二：在x(1，)时，令h(x)aex(x1)x2，则h(x)(aex2)x，x(1，)，ex(e，)，a为负整数，a1，aexaee，aex20，h(x)0，h(x)在(1，)上单调递减，又h(1)10，h(2)ae24e240，x0(1,2)，使得h(x0)0，且1xx0时，h(x)0，即f (x)0；xx0时，h(x)0，即f (x)0；f (x)在x0处取得极大值f (x0)x0，(*)又h(x0)aex0(x01)x0，代入(*)得：f (x0)x00，不存在负整数a满足条件.8分(3)证明：设g(x)aex(x1)x2，则g(x)x(aex2)，因为a0，所以，当x0时，g(x)0，g(x)单调递增；当x0时，g(x)0，g(x)单调递减；故g(x)至多有两个零点又g(0)a0，g(1)10，所以存在x1(0,1)，使g(x1)0再由g(x)在(0，)上单调递增知，当x(0，x1)时，g(x)0，故f (x)0，f (x)单调递减；当x(x1，)时，g(x)0，故f (x)0