湖南省永州市高三数学上学期第二次模拟考试试卷 文（含解析）.doc

2016年湖南省永州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1复数z=i（1+3i）在复平面上对应的点在（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限2已知=（1，2），=（1，m），若，则m=（）abc2d23函数f（x）=x+3x的零点所在的区间为（）a（2，1）b（1，0）c（0，1）d（1，2）4如图给出了一个程序框图，其作用是输入实数x的值，输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（）a1个b2个c3个d无数个5已知直线l1：x+ay2=0，l2：xay1=0，则“a=1”是“l1l2”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件6若实数x，y满足，则xy的最小值等于（）a2b0c2d37某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植1棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则植树所需要的最少天数为（）a5b6c7d88用一个与球心距离为1的平面去截球，所得截面的面积为，则球的表面积为（）a4b8c12d169已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，其一条渐近线的斜率等于，则该双曲线的标准方程为（）a=1b=1c=1d=110一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）a3b4c2+4d3+411若偶函数f（x）在（，0上单调递减，a=f（log23），b=f（1），c=f（2），则a，b，c满足（）aabcbbacccabdcba12已知圆c的方程为x2+y22x4y1=0，直线l：ax+by2=0（a0，b0），若直线l始终平分圆c，则ab的最大值为（）abc1d2二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知集合u=0，1，2，a=x|x2=x，xr，则ua=14已知数列an满足a1=2，an+1=an+2，则a16=15在平面直角坐标系中，角的终边过点p（1，2），则cos2+sin2的值为16对于问题：“已知关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为（1，2），解关于x的不等式ax2bx+c0”，给出如下一种解法：由ax2+bx+c0的解集为（1，2），得a（x）2+b（x）+c0的解集为（2，1），即关于x的不等式ax2bx+c0的解集为（2，1）参考上述解法，若关于x的不等式+0的解集为（2，）（，1），则关于x的不等式+0的解集为三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17如图，在平面直角坐标系xoy中，cab=60，ac=2，bc=（1）求abc的面积；（2）如图所示，若函数f（x）=2sin（x+）（0，|）的图象经过a、c、b三点，求和的值18某电视台为调查市民对本台某节目的喜爱是否与年龄有关，随机抽取了100名市民，其中是否喜欢该节目的人数如图所示：喜欢不喜欢合计10岁至30岁ab30岁至50岁cd合计（1）写出列表中a，b，c，d的值；（2）判断是否有99%的把握认为喜欢该节目与年龄有关，说明你的理由；（3）现计划在这次调查中按年龄段用分层抽样的方法选取5名市民，并从中抽取2名幸运市民，求2名幸运市民中至少有一人在3050岁之间的概率下面的临界值表供参考：p（k2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：k2=，其中n=a+b+c+d19如图，在三棱柱abca1b1c1中，ac=4，bc=3，ab=b1c=5，点d是线段ab的中点，四边形acc1a1为正方形（1）求证：ac1平面b1cd；（2）求三棱锥db1c1c的体积20已知函数f（x）=（1a2）lnxx3（1）当a=0时，求f（x）的极值；（2）设函数g（x）=ex2（e为自然对数的底数），k为函数f（x）在x=1处切线的斜率，若g（x）k0在x（0，+）时恒成立，求实数a的取值范围21已知abc的顶点a、b的坐标分别为（，0）、（，0），c为动点，且满足sinb+sina=sinc（1）求点c的轨迹l的方程；（2）设m（x0，y0）是曲线l上的任一点，从原点o向圆m：（xx0）2+（yy0）2=2作两条切线，分别交曲线l于点p、q若直线op、oq的斜率均存在，并记为k1，k2，求证：k1k2为定值；试问op2+oq2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由请在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如图，bc是圆o的直径，点f在弧bc上，点a为劣弧的中点，作adbc于点d，bf与ad交于点e，与ac交于点g（1）求证：ae=be；（2）若圆o的半径为5，ab=6，求ag选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为：=4cos（1）把直线l的参数方程化为极坐标方程，把曲线c的极坐标方程化为普通方程；（2）已知点p（1，0），直线l与曲线c交于m、n两点，求|pm|pn|的值选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x1|x+2|（1）求证：3f（x）3；（2）求不等式：f（x）x22x5的解集2016年湖南省永州市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1复数z=i（1+3i）在复平面上对应的点在（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义【分析】求出复数z，根据其代数形式的几何意义找出平面中对应的点的坐标，由坐标判断复数对应的点所在的象限【解答】解：复数z=i（1+3i）=i3=3i，z在复平面上对应的点的坐标为（3，1），在第三象限故选：c2已知=（1，2），=（1，m），若，则m=（）abc2d2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】利用向量的共线的充要条件，列出方程求解即可【解答】解： =（1，2），=（1，m），若，可得2=m，则m=2故选：c3函数f（x）=x+3x的零点所在的区间为（）a（2，1）b（1，0）c（0，1）d（1，2）【考点】函数零点的判定定理【分析】由函数的解析式可得f（1）f（0）0，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=x+3x的零点所在的区间【解答】解：由函数的解析式可得f（1）=1+=0，f（0）=0+1=10，f（1）f（0）0，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=x+3x的零点所在的区间为（1，0），故选：b4如图给出了一个程序框图，其作用是输入实数x的值，输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（）a1个b2个c3个d无数个【考点】程序框图【分析】由已知的程序框图，我们可得该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，结合输入的x值与输出的y值相等，我们分类讨论后，即可得到结论【解答】解：由题意得该程序的功能是：计算并输出分段函数y=的值，又输入的x值与输出的y值相等，当x0时，x=|x|，解得x=0，当x0时，x=，解得x=1或1（舍去）故满足条件的x值共有2个故选：b5已知直线l1：x+ay2=0，l2：xay1=0，则“a=1”是“l1l2”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】“l1l2”“1+a（a）=0”“a=1，或a=1”，进而结合充要条件的定义，可得答案【解答】解：直线l1：x+ay2=0，直线l2：xay1=0，“l1l2”“1aa=0”“a=1，或a=1”，故“a=1”是“l1l2”的充分不必要条件，故选：a6若实数x，y满足，则xy的最小值等于（）a2b0c2d3【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，令z=xy，则y=xz，联立，解得a（1，1），由图可知，当直线y=xz过a时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为2故选：a7某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植1棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则植树所需要的最少天数为（）a5b6c7d8【考点】等比数列的前n项和【分析】由已知第n天植树的棵数an=2n1，即an是首项为1，公比为2的等比数列，由此能求出植树所需要的最少天数【解答】解：第一天植1棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，第n天植树的棵数an=2n1，即an是首项为1，公比为2的等比数列，某住宅小区计划植树不少于100棵，sn=2n1100，n7植树所需要的最少天数为7天故选：c8用一个与球心距离为1的平面去截球，所得截面的面积为，则球的表面积为（）a4b8c12d16【考点】球的体积和表面积【分析】由已知中一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，我们可以求出该圆的半径，其中根据球半径、截面圆半径及球心距构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以求出球半径，进而代入球的表面积公式，即可得到该球的表面积【解答】解：由已知中与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，故该圆的半径为1，故球的半径为，故该球的表面积s=4r2=8故选：b9已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，其一条渐近线的斜率等于，则该双曲线的标准方程为（）a=1b=1c=1d=1【考点】抛物线的简单性质【分析】求出抛物线的焦点，即有c=5，求得渐近线方程即有=，结合a，b，c的关系，即可解得a，b，进而得到双曲线方程【解答】解：抛物线y2=20x的焦点为（5，0），即有双曲线的焦点为（5，0），设双曲线的方程为=1（a0，b0），则c=5，由渐近线方程为y=x则有=，又a2+b2=c2，解得a=4，b=3，则双曲线的方程为=1故选：d10一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）a3b4c2+4d3+4【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是圆柱体的一半，该几何体的表面积为s几何体=12+12+22=3+4故选：d11若偶函数f（x）在（，0上单调递减，a=f（log23），b=f（1），c=f（2），则a，b，c满足（）aabcbbacccabdcba【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】由偶函数在对称区间上的单调性相反可得f（x）在（0，+）上单调递增，且b=f（1），容易得出，从而由增函数的定义即可得出a，b，c的大小关系，从而找出正确选项【解答】解：根据题意，f（x）在（0，+）上单调递增；且b=f（1）=f（1）；又1log232，；f（1）；即bac故选：b12已知圆c的方程为x2+y22x4y1=0，直线l：ax+by2=0（a0，b0），若直线l始终平分圆c，则ab的最大值为（）abc1d2【考点】直线与圆的位置关系【分析】由已知得圆心c（1，2）在直线ax+by2=0上，从而a+2b2=0，由此利用均值定理能求出ab的最大值【解答】解：圆c的方程为x2+y22x4y1=0，直线l：ax+by2=0（a0，b0），直线l始终平分圆c，圆心c（1，2）在直线ax+by2=0上，a+2b2=0，a0，b0，2ab（）2=1，ab当且仅当a=2b=1时，ab取最大值故选：a二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知集合u=0，1，2，a=x|x2=x，xr，则ua=2【考点】补集及其运算【分析】求出集合的等价条件，根据补集运算进行求解即可【解答】解：a=x|x2=x，xr=0，1，ua=2，故答案为：214已知数列an满足a1=2，an+1=an+2，则a16=32【考点】等差数列的通项公式【分析】根据等差数列的定义判断an是等差数列，写出它的通项公式，再求出a16的值【解答】解：数列an满足a1=2，an+1=an+2，d=an+1an=2；an=2+（n1）2=2n，a16=216=32故答案为：3215在平面直角坐标系中，角的终边过点p（1，2），则cos2+sin2的值为1【考点】任意角的三角函数的定义【分析】利用任意角三角函数的定义和二倍角公式求解【解答】解：在平面直角坐标系中，角的终边过点p（1，2），x=1，y=2，r=，sin=，cos=，cos2+sin2=（）2+2sincos=1故答案为：116对于问题：“已知关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为（1，2），解关于x的不等式ax2bx+c0”，给出如下一种解法：由ax2+bx+c0的解集为（1，2），得a（x）2+b（x）+c0的解集为（2，1），即关于x的不等式ax2bx+c0的解集为（2，1）参考上述解法，若关于x的不等式+0的解集为（2，）（，1），则关于x的不等式+0的解集为（3，）（1，2）【考点】其他不等式的解法【分析】根据不等式的新解法，进行类比求解即可【解答】解：由+0的解集为（2，）（，1），得+0，即+0，由2或1，得3x或1x2，即不等式+0的解集为（3，）（1，2），故答案为：（3，）（1，2）三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17如图，在平面直角坐标系xoy中，cab=60，ac=2，bc=（1）求abc的面积；（2）如图所示，若函数f（x）=2sin（x+）（0，|）的图象经过a、c、b三点，求和的值【考点】由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】（1）由已知及余弦定理可求c的值，利用三角形面积公式即可求值得解（2）由图象可求函数周期t，利用周期公式可求，由oa=，可得点a（1，0）在函数图象上，可得f（1）=2sin（+）=0，结合范围|，即可解得的值【解答】（本题满分为12分）解：（1）abc中，cab=60，ac=2，bc=由余弦定理可知：a2=c2+b22bccos，c22c3=0，c=|ab|=3，sabc=23sin=6分（2）t=23=6，=，oa=，a（1，0），f（1）=2sin（+）=0，+=k（kz），即：=k+（kz），|，=12分18某电视台为调查市民对本台某节目的喜爱是否与年龄有关，随机抽取了100名市民，其中是否喜欢该节目的人数如图所示：喜欢不喜欢合计10岁至30岁ab6030岁至50岁cd40合计7525100（1）写出列表中a，b，c，d的值；（2）判断是否有99%的把握认为喜欢该节目与年龄有关，说明你的理由；（3）现计划在这次调查中按年龄段用分层抽样的方法选取5名市民，并从中抽取2名幸运市民，求2名幸运市民中至少有一人在3050岁之间的概率下面的临界值表供参考：p（k2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：k2=，其中n=a+b+c+d【考点】独立性检验的应用【分析】（1）计算a、b、c、d的值，填写列联表即可；（2）计算观测值k2，通过表中数据得出概率结论；（3）利用分层抽样原理求出“10岁30岁”与“30岁50岁”的市民人数，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可【解答】解：（1）a=50，b=10，c=25，d=15；填表如下：喜欢不喜欢合计10岁至30岁50106030岁至50岁251540合计7525100（2）没有99%的把握认为喜欢该节目与年龄有关，理由如下；k2=5.566.635，又p（k26.635）=0.01，所以p（k25.56）0.01，所以1p（k25.56）0.99，故没有99%的把握认为喜欢该节目与年龄有关；（3）设所抽的5名市民中有m名“10岁30岁”的市民，则=，解得m=3，所以5名市民中有3名“10岁30岁”的市民，2名“30岁50岁”的市民，分别记为a、b、c、d、e，从中任选2名，基本事件有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10个，其中2名市民中至少有1名在3050岁之间事件为ad，ae，bd，be，cd，ce，de共7个，所以2名幸运市民中至少有1人在3050岁之间的概率为p=19如图，在三棱柱abca1b1c1中，ac=4，bc=3，ab=b1c=5，点d是线段ab的中点，四边形acc1a1为正方形（1）求证：ac1平面b1cd；（2）求三棱锥db1c1c的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【分析】（1）取bc1中点m，由中位线定理可得ac1dm，故而ac1平面b1cd；（2）由勾股定理的逆定理得出acbc，由正方形的性质得出accc1，故而ac平面bcc1b1，于是d到平面bcc1b1的距离d=，利用勾股定理求出cc1，得出棱锥的底面积s，代入棱锥的体积公式计算【解答】解：（1）连结bc1，交b1c于点m，则m为bc1的中点，连结dmd是ab的中点，ac1dm，又ac1平面b1cd，dm平面b1cd，ac1平面b1cd（2）ac=4，bc=3，ab=5，ab2=ac2+bc2，acbc四边形acc1a1为正方形，accc1，又bc平面bcc1b1，cc1平面bcc1b1，bccc1=c，ac平面bcc1b1d是ab的中点，d到平面bcc1b1的距离d=2cc1=4，s=v=d=420已知函数f（x）=（1a2）lnxx3（1）当a=0时，求f（x）的极值；（2）设函数g（x）=ex2（e为自然对数的底数），k为函数f（x）在x=1处切线的斜率，若g（x）k0在x（0，+）时恒成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）求出f（x）的导数，得到k的值，根据函数的单调性求出g（x）g（0），从而有a21，解出即可【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+），f（x）=（x0），由f（x）0，解得：0x1，f（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减，f（x）极大值=f（1）=，无极小值；（2）f（x）=，（x0），由题意得k=f（1）=a2，g（x）=ex0，（x0），g（x）在（0，+）递增，g（x）g（0）=1，kg（0）=1，即a21，故a1或a121已知abc的顶点a、b的坐标分别为（，0）、（，0），c为动点，且满足sinb+sina=sinc（1）求点c的轨迹l的方程；（2）设m（x0，y0）是曲线l上的任一点，从原点o向圆m：（xx0）2+（yy0）2=2作两条切线，分别交曲线l于点p、q若直线op、oq的斜率均存在，并记为k1，k2，求证：k1k2为定值；试问op2+oq2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）运用正弦定理和椭圆的定义可得，c的轨迹为以a，b为焦点的椭圆，且有a=，c=，b=，即可得到所求轨迹方程；（2）由直线op：y=k1x，oq：y=k2x与圆m相切，运用圆心到直线的距离为半径，即可得到k1，k2为方程（x022）k22x0y0k+y022=0的两个不等的实根，运用韦达定理和点m在椭圆上，满足椭圆方程，化简即可得到所求定值；op2+oq2为定值9讨论当直线op，oq的斜率均存在时，p（x1，y1），q（x2，y2），运用的结论，结合p，q在椭圆上，满足椭圆方程，化简整理，由两点的距离公式即可得到定值9；当直线op，oq的斜率不存在时，圆m与x，y轴均相切，即可得到定值【解答】解：（1）由sinb+sina=sinc，可得|ca|+|cb|=|ab|，即有|ca|+|cb|=22，即有c的轨迹为以a，b为焦点的椭圆，且a=，c=，b=，可得轨迹l的方程为+=1（y0）；（2）证明：由直线op：y=k1x与圆m相切，可得=，即有（x022）k122x0y0k1+y022=0，同理由直线oq：y=k2x与圆m相切，可得（x022）k222x0y0k2+y022=0，即k1，k2为方程（x022）k22x0y0k+y022=0的两个不等的实根，可得k1k2=，由m在椭圆上，可得+=1，即为y02=3x02，即有k1k2=；op2+oq2为定值9理由如下：当直线op，oq的斜率均存在时，p（x1，y1），q（x2，y2），由k1k2=，即y12y22=x12x22，由p（x1，y1），q（x2，y2）在椭圆上，可得+=1， +=1，即y12=3x12，y22=3x22，则（3x12）（3x22）=x12x22，即有x12+x22=6，y12+y22=（3x12）+（3x22）=63=3，即op2+oq2=9；当直线op，oq的斜率不存在时，圆m与x，y轴均相切，显然有op2+oq2=9综上可得，op2+oq2为定值9请在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分选修4-1：几何证明