高中数学 第四章 函数应用章末复习课学案 北师大版必修1.doc

第四章 函数应用章末复习课网络构建核心归纳知识点一函数的零点1对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫作函数yf(x)的零点2方程的根与函数的零点的关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点3函数的零点存在定理：如果函数yf(x)在区间a，b上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根(1)函数yf(x)在区间a，b内若不连续，则f(a)f(b)0与函数yf(x)在区间(a，b)内的零点个数没有关系(即：零点存在定理仅对连续函数适用)(2)连续函数yf(x)若满足f(a)f(b)0，则在区间(a，b)内至少有一个零点；反过来，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点不一定使f(a)f(b)0成立，若yf(x)为单调函数，则一定有f(a)f(b)0知识点二二分法二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度，计算时及时检验知识点三函数的应用解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为要点一函数的零点根据函数零点的定义，函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的根，判断一个方程是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)0是否有根，有几个根从图形上说，函数的零点就是函数yf(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图像与x轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起我们的重视【例1】在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为()a. b c d解析fe40，f(0)e040320，fe20，fe0，ff0答案c【训练1】设函数yx3与yx2的图像的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()a(0,1) b(1,2)c(2,3) d(3,4)解析设g(x)x322x，则g(0)4，g(1)1，g(2)7，g(3)26，g(4)63，显然g(1)g(2)0，于是函数g(x)的零点在(1,2)内，即yx3与yx2的图像的交点在(1,2)内答案b要点二二分法及其应用二分法是把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而求零点近似值的方法它适合于：函数yf(x)的图像在a，b上连续，f(a)f(b)0.同时满足这两个条件，才能利用二分法求函数零点的近似值【例2】利用计算器，求方程lg x3x的近似解(精确度0.1)解作出函数y1lg x与y23x的图像，如图所示由图可以发现，方程lg x3x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(2,3)内设f(x)lg xx3，用计算器计算，得：f(2)0x1(2,3)；f(2.5)0x1(2.5,3)；f(2.5)0x1(2.5,2.75)；f(2.5)0x1(2.5,2.625)；f(2.562 5)0.028 80x1(2.562 5,2.625)|2.6252.562 5|0.062 50.1，原方程的近似解可取为2.562 5【训练2】用二分法求方程ln x2x0在区间1,2上零点的近似值，先取区间中点c，则下一个含根的区间是_解析令f(x)ln x2x，取区间1,2的中点fln2ln0，f(1)ln 12110，所以f(2)f0所以下一个含根的区间是答案要点三函数模型及应用针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻画这当然需要我们深刻理解基本函数的图像和性质，熟练掌握基本函数和常用函数的特点，并对一些重要的函数模型要有清晰的认识对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般是以文字和符号的形式给出，也有的是以图像的形式给出，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模型进行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果【例3】某上市股票在30天内每股的交易价格p(元)与时间t(天)组成有序数对(t，p)，点(t，p)落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：第t天4101622q(万股)36302418(1)根据提供的图像，写出该种股票每股交易价格p(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；(3)用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？解(1)由图像知，前20天满足的是递增的直线方程，且过两点(0,2)，(20,6)，容易求得直线方程为pt2；从20天到30天满足递减的直线方程，且过两点(20,6)，(30,5)，求得方程为pt8，故p(元)与时间t(天)所满足的函数关系式为：p(2)由图表，易知q与t满足一次函数关系，即qt40,0t30，tn*(3)由(1)(2)可知y当0t20，t15时，ymax125，当20t30时，y随t的增大而减小所以，在30天中的第15天，日交易额的最大值为125万元【训练3】某种商品在30天内每件的销售价格p(元)与时间t(天)的函数关系用如图所示的两条线段表示，该商品在30天内日销售量q(件)与时间t(天)之间的函数关系是qt40(0t30，tn*)(1)根据提供的图像，写出该商品每件的销售价格p与时间t的函数关系式；(2)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额每件的销售价格日销售量)解(1)根据图像，可得p(2)设日销售额为y元，则ypq即有y若0t25，tn*，则当t10时，ymax900；若25t30，tn*，则当t25时，ymax1 125故第25天的日销售金额最大，最大值为1 125元.考查方向要点四体现在函数与方程中的数学思想方向1数形结合思想在解决数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，就是使抽象思维与形象思维联系起来，实现抽象概念与具体图像之间的相互转化，即数量关系转化为图像的性质或者把图像的性质转化为数量关系来研究本章数形结合思想主要体现在判断函数零点的个数或零点所在的大致区间【例41】已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则k的取值范围是_解析易知函数f(x)的图像如图所示：由图可知0k1答案0k1方向2方程思想当一个问题可以与某个方程建立关联时，构造方程并对方程的性质进行研究，由此解决这个问题，这就是方程思想本章方程思想的应用主要体现在：由求方程f(x)0的实数根确定函数yf(x)的零点，即求函数yf(x)的图像与x轴交点的横坐标【例42】求下列函数的零点(1)f(x)x31；(2)f(x)解(1)f(x)x31(x1)(x2x1)令(x1)(x2x1)0，解得x1函数f(x)x31的零点是1(2)令f(x)0，解得x1函数f(x)的零点是1方向3转化与化归思想转化是将数学命题由一种形式转向另一种形式的转换过程；化归是将待解决的问题通过某种转化的过程，归结为一类已解决或比较容易解决的问题在解决函数问题时，常进行数与形或数与数的转化，从而达到