平衡微分方程.ppt

复习 弹性力学的内容和方法 理想弹性体 完全弹性 连续 均匀和各向同性这4个基本假定的物体 弹性力学通常假设物体受力之后的位移和变形都远小于物体自身尺度 变形之后的位置和尺度可义用变形之前的数值表示 有关方程做线性简化 并满足叠加原理 弹性力学研究理想弹性体的变形与力之间的关系 弹性力学问题 通常是已知物体的形状 大小和弹性常数 物体边界受力或约束情况 而物体内部的受力 物体的变形或位移则是需要求解的未知量 考虑静力学建立平衡微分方程 根据微分线段上形变与位移之间的几何关系 建立几何方程 根据应力与形变之间的物理关系 建立物理方程 在物体的边界上 还要建立边界条件 复习 弹性力学的内容和方法 如何描述弹性体的受力 与杆件不同 一般弹性体结构复杂 各处受力不同 各个方向受力不同 如何描述弹性体的变形 同样随位置 方向变而变化 位移可直接观测 但位移与变形不同 复习 弹性力学的内容和方法 弹性力学研究理想弹性体的变形与力之间的关系 弹性力学的几个基本概念 弹性力学研究理想弹性体的变形与力之间的关系 如何描述弹性体的受力 与杆件不同 一般弹性体结构复杂 各处受力不同 各个方向受力不同 如何描述弹性体的变形 同样随位置 方向变而变化 位移可直接观测 但位移与变形不同 悬臂梁 弹性体的受力 外力和内力 外界作用于物体力称为外力 力的单位N外力可以分为体积力和表面力 体积力有时也称为质量力 重力和惯性力 体积力的单位N m3高速旋转的物体可能因离心力作用而发生破坏 不过 体积力一般可不考虑 表面力是作用在物体表面的力 如流体压力和接触力 表面力的单位 N m2 Pa 弹性体的受力 外力和内力 物体内部材料的相互作用力称为内力 单位面积的内力称为应力 设想将物体切开 分开两部分的相互作用可以用力来表示 力随位置而变化 取微小面积 将作用力除以面积 在面积趋于零即趋于一点时的极限 就是该点处应力 弹性体的受力 外力和内力 物体内部材料的相互作用力称为内力 单位面积的内力称为应力 应力在作用截面的法线方向和切线方向上的两个分量 分别称为正应力 和剪应力 一点处的正应力和剪应力 其大小和方向随选用的截面而变化 以单向拉伸为例说明 弹性体的受力 外力和内力 物体内部材料的相互作用力称为内力 单位面积的内力称为应力 应力的方向和正负 正应力与面外法向一致为正 即以拉应力为正 在面外法向与坐标轴一致时 剪应力与坐标轴一致为正 反之亦然 应力张量的概念 两个坐标面上应力知道后 其它任一方向上应力可以求出来 以平面问题说明 x 剪应力是对称的 中心点C力矩平衡 应力张量的概念 正应力 剪应力的极值 选取坐标轴为应力主向 正应力极值 剪应力的极值 平面应力的Mohr圆 选取坐标轴为应力主向 弹性体的变形 弹性体受力之后的变形和位移都很小 可以用变形之前的位置和尺度表示变形之后的位置和尺度 对于物体中的每一点 都有确定的空间位置 用坐标表示 物体受力之后 各点都会产生微小的位置变化 也就是位移 不同的点位移不同 就会引起变形 弹性体的变形 UA VA VB UB PA的伸长量UA PB的伸长量VB 弹性体的变形 正应变 UA VA VB UB PA的伸长量UA PB的伸长量VB 弹性体的变形 剪应变 UA VA VB UB PA的转动量VA PB的转动量UB 弹性体的变形 UA VA VB UB 刚体移动 平移和转动 弹性体的变形 正应变和剪应变 3个应变是有两个位移确定的 因而应变分量不是独立的 满足关系 变形协调方程或相容方程 2020 3 16 19 可编辑 弹性力学的平面问题 一切弹性体的空间的 三维的 那为什么要考虑平面问题 空间问题比较困难 平面问题比较简单先做简单的事情 积累经验 对有些特定的物体 将其间化为平面问题 可能更能体现物体的受力和变形特征 模型应尽可能简单 简单到不失真为止 模型应尽可能复杂 复杂到能解决为止 弹性力学的平面问题 平面应力问题 很薄的等厚薄板 受力情况 只在板边上受平行于板面且不沿厚度变化的面力和约束 弹性力学的平面问题 平面应变问题 很长的柱形体 截面形状受力等都不沿长度变化 位移仅在横截面内 按说应称为平面位移问题 现在说平面应变问题 是将错就错 注意 每一个截面都是对称平面 物理方程 广义虎克 胡克 定律 力与变形成正比 刚度正应力与正应变成正比 杨氏模量E侧向变形 泊松效应 虎克定律 平面应变 平面应力 弹性力学的平衡微分方程新课 弹性体受到外力作用之后 内部产生应力 如果从物体中任意切出一小块 其在内力和体积力的共同作用下 应该处于平衡状态 这就是说 物体内部的应力之间必须满足一定的关系 力平衡关系 为了便于理解平衡微分方程的建立过程 先复习圆轮摩擦力的欧拉公式 圆轮摩擦力的欧拉公式 摩擦力的概念 取一个微小的弧段进行力平衡分析 弹性力学的平衡微分方程 弹性体受到外力作用之后 内部产生应力 如果从物体中任意切出一小块 其在内力和体积力的共同作用下 应该处于平衡状态 弹性力学的平衡微分方程 弹性体受到外力作用之后 内部产生应力 如果从物体中任意切出一小块 其在内力和体积力的共同作用下 应该处于平衡状态 弹性力学的平衡微分方程 弹性体受到外力作用之后 内部产生应力 如果从物体中任意切出一小块 其在内力和体积力的共同作用下 应该处于平衡状态 弹性力学的基本方程 平面应力问题 1 力平