（全国版）2017版高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.8 抛物线课时提升作业 理.doc

抛物线(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设抛物线y=x2上的一点p到x轴的距离是4,则点p到该抛物线焦点的距离为()a.3b.4c.5d.6【解题提示】由题意可得点p的纵坐标为4,由抛物线的定义可得点p到该抛物线焦点的距离等于点p到准线y=-1的距离,由此求得结果.【解析】选c.由于抛物线y=x2上的一点p到x轴的距离是4,故点p的纵坐标为4.再由抛物线y=x2的准线为y=-1,结合抛物线的定义可得点p到该抛物线焦点的距离等于点p到准线的距离,故点p到该抛物线焦点的距离是4-(-1)=5.2.(2016邢台模拟)已知圆c:(x+1)2+y2=r2与抛物线d:y2=16x的准线交于a,b两点,且=8,则圆c的面积为()a.5b.9c.16d.25【解析】选d.设抛物线的准线交x轴于点e,则ce=3,所以r2=32+42=25,所以圆c的面积为25.【加固训练】设f为抛物线y2=4x的焦点,a,b,c为该抛物线上三点,若+=0,则|fa|+|fb|+|fc|等于()a.9b.6c.4d.3【解析】选b.设a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3),又f(1,0).由+=0知(x1-1)+(x2-1)+(x3-1)=0,即x1+x2+x3=3,|fa|+|fb|+|fc|=x1+x2+x3+p=6.3.o为坐标原点,f为抛物线c:y2=4x的焦点,p为c上一点,若|pf|=4,则pof的面积为()a.2b.2c.2d.4【解析】选c.抛物线c的方程为y2=4x,所以2p=4,可得=,得焦点f(,0).设p(m,n),根据抛物线的定义,得|pf|=m+=4,即m+=4,解得m=3.因为点p在抛物线c上,得n2=43=24,所以n=2,因为|of|=,所以pof的面积s=|of|n|=2=2.4.已知抛物线y2=4x的焦点f,a,b是抛物线上横坐标不相等的两点,若ab的垂直平分线与x轴的交点是(4,0),则|ab|的最大值为()a.2b.4c.6d.10【解题提示】可将|ab|与|af|,|bf|之间的关系联系起来,再利用抛物线的定义求解.【解析】选c.因为抛物线y2=4x的焦点f(1,0),设a(x1,y1),b(x2,y2),因为线段ab的垂直平分线恰过点m(4,0),所以|ma|2=|mb|2,即(4-x1)2+=(4-x2)2+,又=4x1,=4x2,代入并展开得:16-8x1+4x1=-8x2+16+4x2,即-=4x1-4x2,又x1x2,所以x1+x2=4,所以线段ab中点的横坐标为(x1+x2)=2,所以abaf+bf=+=4+2=6(当a,b,f三点共线时取等号),即|ab|的最大值为6.5.(2016郑州模拟)已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于a,b两点,若线段ab的中点的纵坐标为-2,则该抛物线的准线方程为()a.x=1b.x=2c.x=-1d.x=-2【解析】选c.由题意可设直线方程为y=-,设a(x1,y1),b(x2,y2),联立方程整理得y2+2py-p2=0,所以y1+y2=-2p.因为线段ab的中点的纵坐标为-2,所以=-2.所以p=2.所以抛物线的准线方程为x=-1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,且经过点m(-2,-4)的抛物线方程是.【解析】满足题意的抛物线应有两条,设为y2=ax或x2=by,将点m(-2,-4)的坐标代入求得y2=-8x或x2=-y.答案:y2=-8x或x2=-y7.抛物线x2=2py(p0)的焦点为f,其准线与双曲线-=1相交于a,b两点,若abf为等边三角形,则p=.【解析】如图,在等边三角形abf中,df=p,bd=p,所以b点坐标为.又点b在双曲线上,故-=1.解得p=6.答案:6【加固训练】已知直线l1:4x-3y+11=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点p到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是.【解析】因为x=-1恰为抛物线y2=4x的准线,所以可画图观察.如图,连接pf,过f作fql1于点q,d2=pf,所以d1+d2=d1+pffq=3.答案:38.已知过点p(4,0)的直线与抛物线y2=4x相交于a(x1,y1),b(x2,y2)两点,则+的最小值是.【解析】当直线的斜率不存在时,直线方程为x=4,代入y2=4x,得交点为(4,4),(4,-4),所以+=16+16=32;当直线的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-4),与y2=4x联立,消去x得ky2-4y-16k=0,由题意,知k0,则y1+y2=,y1y2=-16.所以+=(y1+y2)2-2y1y2=+3232.综上知,(+)min=32.答案:32【误区警示】本题易出现最小值不存在的错误结论.其原因是忽略直线的斜率不存在的情况,从而得出错误的结论.三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知抛物线c的顶点为坐标原点,焦点f(0,c)(c0)到直线y=2x的距离是.(1)求抛物线c的方程.(2)若直线y=kx+1(k0)与抛物线c交于a,b两点,设线段ab的中垂线与y轴交于点p(0,b),求实数b的取值范围.【解析】(1)由题意,=,故c=.所以抛物线c的方程为x2=2y.(2)设a(x1,y1),b(x2,y2),则由得x2-2kx-2=0.所以=4k2+80.所以x1+x2=2k,所以线段ab的中点坐标为(k,k2+1).线段ab的中垂线方程为y=-(x-k)+k2+1,即y=-x+k2+2.令x=0,得b=k2+2.所以b(2,+).10.(2014陕西高考)如图,曲线c由上半椭圆c1:+=1(ab0,y0)和部分抛物线c2:y=-x2+1(y0)连接而成,c1,c2的公共点为a,b,其中c1的离心率为.(1)求a,b的值.(2)过点b的直线l与c1,c2分别交于p,q(均异于点a,b),若apaq,求直线l的方程.【解析】(1)在c1,c2的方程中,令y=0,可得b=1,且a(-1,0),b(1,0)是上半椭圆c1的左右顶点.设c1的半焦距为c,由=及a2-c2=b2=1得a=2.所以a=2,b=1.(2)由(1)知,上半椭圆c1的方程为+x2=1(y0).易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(k0),代入c1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)设点p的坐标为(xp,yp),因为直线l过点b,所以x=1是方程(*)的一个根,由求根公式,得xp=,从而yp=,所以点p的坐标为.同理,由得q点的坐标为(-k-1,-k2-2k).所以=(k,-4),=-k(1,k+2).因为apaq,所以=0,即k-4(k+2)=0,因为k0,所以k-4(k+2)=0,解得k=-.经检验,k=-符合题意,故直线l的方程为y=-(x-1).(20分钟40分)1.(5分)(2016忻州模拟)若抛物线c:y2=2px(p0)上一点到焦点和x轴的距离分别为5和3,则此抛物线的方程为()a.y2=2xb.y2=(-4)xc.y2=2x或y2=18xd.y2=3x或y2=(-4)x【解析】选c.因为抛物线y2=2px(p0)上一点到x轴的距离为3,所以设该点为p,则点p的坐标为(x0,3),因为点p到抛物线的焦点f的距离为5,所以由抛物线的定义,得x0+=5(1)因为点p是抛物线上的点,所以2px0=9(2)由(1)(2)联立,解得p=1,x0=或p=9,x0=,则抛物线方程为y2=2x或y2=18x.2.(5分)已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线c:y2=8x相交于a,b两点,f为c的焦点.若|fa|=2|fb|,则k=()a.b.c.d.【解析】选d.设抛物线c:y2=8x的准线为l:x=-2,直线y=k(x+2)(k0)恒过定点p(-2,0).如图过a,b分别作aml于m,bnl于n,由|fa|=2|fb|,则|am|=2|bn|,所以点b为ap的中点,连接ob,又因为点o是pf的中点,则|ob|=|af|,所以|ob|=|bf|,所以点b的横坐标为1,故点b的坐标为,所以k=.3.(5分)(2016廊坊模拟)已知抛物线y2=4x的焦点为f,准线为直线l,过抛物线上一点p作pel于点e,若直线ef的倾斜角为150,则|pf|=.【解析】由抛物线方程y2=4x,可得焦点f(1,0),准线l的方程为:x=-1.因为直线ef的倾斜角为150,所以k1=tan150=-.所以直线ef的方程为:y=-(x-1),联立解得y=.所以e.因为pel于点e,所以yp=,代入抛物线的方程可得=4xp,解得xp=.所以|pf|=|pe|=xp+1=.答案:4.(12分)(2016安阳模拟)如图,已知抛物线y2=2px(p0)上点(2,a)到焦点f的距离为3,直线l:my=x+t(t0)交抛物线c于a,b两点,且满足oaob.圆e是以(-p,p)为圆心,p为直径的圆.(1)求抛物线c和圆e的方程.(2)设点m为圆e上的任意一动点,求当动点m到直线l的距离最大时的直线方程.【解析】(1)由题意得2+=3,得p=2,所以抛物线c和圆e的方程分别为y2=4x;(x+2)2+(y-2)2=1.(2)设a(x1,y1),b(x2,y2).联立方程整理得y2-4my+4t=0,由根与系数的关系得则x1x2=(my1-t)(my2-t)=m2y1y2-mt(y1+y2)+t2,由oaob得x1x2+y1y2=0,即(m2+1)y1y2-mt(y1+y2)+t2=0,将代入上式整理得t2+4t=0,由t0得t=-4.故直线ab过定点n(4,0).所以当mnl,动点m经过圆心e(-2,2)时到直线l的距离d取得最大值.由kmn=-,得kl=3.此时的直线方程为l:y=3(x-4),即3x-y-12=0.5.(13分)(2015福建高考)已知点f为抛物线e:y2=2px(p0)的焦点,点a(2,m)在抛物线e上,且|af|=3.(1)求抛物线e的方程.(2)已知点g(-1,0),延长af交抛物线e于点b,证明:以点f为圆心且与直线ga相切的圆,必与直线gb相切.【解析】方法一:(1)由抛物线的定义得=2+,因为=3,即2+=3,解得p=2,所以抛物线e的方程为y2=4x.(2)因为点a(2,m)在抛物线e:y2=4x上,所以m=2,由抛物线的对称性,不妨设a(2,2).由a(2,2),f(1,0)可得直线af的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而b.又g(-1,0),所以kga=,kgb=-,所以kga+kgb=0,且agf=bgf,这表明点f到直线ga,gb的距离相等,故以f为圆心且与直线ga相切的圆必与直线gb相切.方法二:(1)同方