高中数学 第一章 相似三角形的判定及有关性 1.1 平行线等分线段定理教案2 新人教A版选修41.doc

平行线等分线段定理【教学目标】1识记并掌握平行线等分线段定理及其推论，认识它的变式图形； 2能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段，能运用推论进行简单的证明或计算； 3培养学生化归的思想、运动联系的观点。【教学重点】平行线等分线段定理及推论的应用【教学难点】平行线等分线段定理的证明【教学方法】引导探究发现法【教具准备】三角板、矩形纸片、印有等距离平行线的作业纸、电脑、实物投影仪、自制课件等【教学设计】一、实际问题，导入新课1问题：不用其它工具，你能用一张矩形纸片折叠出一个等边三角形吗？2折法：（教师演示，学生动手） 先将矩形（abcd）纸对折， 得折痕mn（如图1）； （图1） 再把b点叠在折痕mn上，得到rtbep（如图2）； 最后沿ep折叠，便可得到等边bef（如图2）。 3导入：为什么这样折出的三角形是等边三角形呢？通过今天这节课的学习，我们将从理论上解决这一问题。二、复习引导，发现定理 1复习提问 （1）你能用尺规作图将一条线段2等分吗？4等分呢？你还会将一条线段几等分？ （2）你能用尺规作图将一条线段3等分吗？能否将一条线段任意等分呢？ 师：为了回答第2个问题，让我们先来做一个实验。 2操作实验请同学们用老师发下的、印有等距离平行线的作业纸和刻度尺做以下实验：（1）画一条与这组平行线垂直的直线l1，则直线l1被这组平行线截得的线段相等吗？为什么？（2）任意画一条与这组平行线相交的直线l2，量一量直线l2被这组平行线截得的线段是否相等。3引导猜想引导：在上面的问题中，已知条件是什么？得到的结论是什么？你能用文字语言表述吗？ 猜想：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。 4验证猜想 教师用几何画板验证同学们刚才做实验得出的结论（猜想）。三、归纳探究，证明定理 1归纳：如果以3条平行线为例证明上面的猜想，你能根据图1写出“已知”和“求证”吗？ 已知：直线a / b / c，ab = bc（如图1） 求证：ab = bc。2探究：（1）不添加辅助线能直接证明吗？ （2）四边形acca 是什么四边形？ （3）在梯形中常作什么样的辅助线？（图2）3证明：根据学生提供的证明方法，完成证明。 证法一：（略）参见课本p176的证法。证法二：过a、b 点作ac的平行线，分别交直线b、c平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。 于d、e（如图2）。（以下证明略）结论与直线ac 的位置无关；对于3条以上的平行线组，可用同样的方法证明（说明证法二更具一般性）。 4定理： 推理形式：a / b / c，ab = bc， ab = bc。四、图形变式，引出推论 1隐线变式，得推论1在图1中，隐藏直线a、b、c，得梯形acca（如图3）。这时定理的条件、结论各是什么？条件：在梯形acca中，ab=bc，aa / bb / cc。 结论：ab = bc。推论1：经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰。 2运动变式，得推论2既然定理的结论与被截直线的位置无关，将直线ac 平行向左移动，得到变式图形4。这时定理在acc 中的条件、结论各是什么？条件：在acc 中，bb /cc，ab=bc。 结论：ab = bc。推论2：经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。3变换图形，深化理解如果将直线ac 继续向左平行移动（如图5、6），这时定理的条件、结论有什么变化？五、运用新知，解决问题1应用定理，等分线段 （1）已知线段ab，你能它三等分吗？依据是什么？ 已知：线段ab（如图7）。 求作：线段ab的三等分点。 （图7）作法：（略。见图8） （师生同步完成作图过程） 注作图题虽不要求写作法，但最后的结论一定要写出。 （2）你还能将已知线段几等分呢？能任意等分吗？ （图8） 2应用推论，分解图形例1已知：如图9，在abcd中，m、n分别是ab、cd的中点， cm、am分别交bd于e、f。 求证：be = ef = fd。 分析：（1）根据条件，你能得到哪些平行线？ （图9） （2）在图9中，有哪些与推论有关的基本图形？ 证明：（略。过程由学生自己完成）例2已知：如图10，abcd的对角线ac、bd交于点o，过点a、b、c、d、o分别作直线a的垂线，垂足分别为a、b、c、d、o。 求证：ad = bc。 分析：（1）你能在图10中找到几个与推论有关的基本图形？ （图10） （2）在直线a上，有哪些线段是相等的？根据是什么？ 证明：（略。过程由学生自己完成） 思考：若去掉条件“ac、bd交于点o”，结论是否成立？ 3你能运用今天所学知识，解决本课开始提出的“折等边三角形”问题吗？六、课堂小结，提炼升华1理解一个定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。2掌握两个推论推论1：经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰。推论2：经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。3了解三种思想化归思想定理证明是通过作辅助线，将问题转化为平行四边形和三角形全等的知识解决； 两个例题也是将问题转化为两种基本图形来解决。 运动思想两个推论是通过定理图形运动到特殊位置得到的，因此推论是定理的特殊表现形式。辩证思想定理是由特殊（三条平行线）推广到一般； 应用定理则是将一般情况运用到特殊（具体）问题之中。七、达标检测，回授效果 1已知：如图11，在梯形abcd中，ab/cd，e是cd的中点， ef/bc交ab于f，fg/ bd交ad于g。 求证：ag = dg。 （图11） 2如图12，在abc中，d是ab的中点，de/bc交ac于e， （图12） ef/ab交bc于f。 （1）求证：bf=cf； （2）图中与de相等的线段有 ； （3）图中与ef相等的线段有 ； （4）若连结df，则df与ac的位置关系是 ，数量关系是 。八、课后作业，巩固新知 1求证：直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离相等。2已知：如图13，ad是abc的中线，e是ad的中点，ae的延长线交ac于f。 求证：fc = 2af。 （图13）平行线等分线段定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。平分线分线段成比例定理平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。相似三角形的判定及性质相似三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似。预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。相似三角形的性质：（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形周长的比等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。直角三角形的射影定理射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。圆周定理圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。圆内接四边形的性质与判定定理定理1：圆的内接四边形的对角互补。定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。圆的切线的性质及判定定理 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线