人教A版选修21 2.4.2　抛物线的简单几何性质 课件（28张）.ppt

2 4 2抛物线的简单几何性质 新知探求素养养成 知识点 问题 已知抛物线y2 8x 其图象如图所示 抛物线的简单几何性质 1 观察抛物线y2 8x图象可知其上的点的坐标的范围是怎样的 答案 抛物线上的点的横坐标x 0 纵坐标y r 2 观察抛物线y2 8x的图象有什么对称性 答案 关于x轴对称 梳理抛物线的几何性质 x轴 y轴 原点 1 名师点津 抛物线的焦点弦如图 ab是过抛物线y2 2px p 0 焦点f的一条弦 设a x1 y1 b x2 y2 ab的中点m x0 y0 相应的准线为l 1 以ab为直径的圆的圆心与准线l相切 2 ab 2 x0 焦点弦长与中点关系 3 ab x1 x2 p 4 若直线ab的倾斜角为 则 ab 如当 90 时 ab叫做抛物线的通径 是所有焦点弦中最短的 5 a b两点的横坐标之积 纵坐标之积为定值 即x1 x2 y1 y2 p2 题型一 抛物线简单几何性质的应用 课堂探究素养提升 例1 已知a b是抛物线y2 2px p 0 上不同的两点 o为坐标原点 若 oa ob 且 aob的垂心恰是此抛物线的焦点f 求直线ab的方程 解 如图所示 设a x0 y0 由题意可知 b x0 y0 又f 0 是 aob的垂心 则af ob 方法技巧抛物线的几何性质 对称性 范围等 在解决抛物线问题时 有着广泛的应用 但在解题过程中又容易忽视这些隐含条件 如抛物线的对称性 准线与对称轴垂直等 解题时应注意挖掘并充分利用这些隐含条件 即时训练1 1 已知抛物线的焦点f在x轴上 直线l过f且垂直于x轴 l与抛物线交于a b两点 o为坐标原点 若 oab的面积等于4 求此抛物线的标准方程 备用例1 已知抛物线的顶点在坐标原点 对称轴为x轴 且与圆x2 y2 4相交于a b两点 ab 2 求抛物线方程 解 由已知 抛物线的焦点可能在x轴正半轴上 也可能在负半轴上 故可设抛物线方程为y2 ax a 0 设抛物线与圆x2 y2 4的交点a x1 y1 b x2 y2 因为抛物线y2 ax a 0 与圆x2 y2 4都关于x轴对称 所以点a与b关于x轴对称 题型二 直线与抛物线的位置关系 例2 已知直线l y k x 1 与抛物线c y2 4x 问 k为何值时 直线l与抛物线c有两个交点 一个交点 无交点 解 由方程组消去y得k2x2 2k2 4 x k2 0 记 2k2 4 2 4k4 16 1 k2 若直线与抛物线有两个交点 则k2 0 且 0 即k2 0 且16 1 k2 0 解得k 1 0 0 1 所以当k 1 0 0 1 时 直线l和抛物线c有两个交点 若直线与抛物线有一个交点 则k2 0或k2 0时 0 解得k 0或k 1 所以当k 0或k 1时 直线l和抛物线c有一个交点 若直线与抛物线无交点 则k2 0且 1或k1或k 1时 直线l和抛物线c无交点 题后反思研究直线和抛物线的位置关系时 由于消元后所得的方程中含参数 因此要注意分二次项系数为0和不为0两种情况讨论 即时训练2 1 2018 乌鲁木齐高二期末 已知抛物线c y2 2px p 0 的焦点为f m 3 2 直线mf交抛物线于a b两点 且m为ab的中点 则p的值为 a 3 b 2或4 c 4 d 2 题型三抛物线的焦点弦问题 例3 10分 已知直线l经过抛物线y2 6x的焦点f 且与抛物线相交于a b两点 若直线l的倾斜角为60 求 ab 的值 一题多变 若本例中 直线l的倾斜角为60 改为 ab 9 求线段ab的中点m到准线的距离 方法技巧求圆锥曲线的弦长时 为简化计算常常借助根与系数的关系 这样可以避免分别求x1 x2 或y1 y2 的麻烦 如果是利用弦长求参数的问题 只需要列出参数的方程或不等式即可求解 而x1 x2 或y1 y2 一般是求不出来的 备用例2 2018 凌源市模拟 如图所示 过抛物线y2 2px p 0 的焦点f的直线l交抛物线于两点a b 交其准线l 于点c 若 bc 2 bf 且 af 3 则此抛物线的方程为 a y2 9x b y2 6x c y2 3x d y2 x 例4 已知点a 2 1 和抛物线c y2 x f为抛物线的焦点 p是c上任意一点 1 求 ap pf 的最小值 题型四 抛物线中的最值问题 2 求点p到直线x 2y 4 0的距离的最小值 方法技巧与抛物线上的点有关的最值问题 应注意抛物线上点的坐标的范围以及抛物线上点的坐标的设法 如y2 2px p 0 中x 0 y r 而抛物线上的点可设为 2pt2 2pt 或 y0 即时训练4 1 抛物线y 4x2上一点到直线y 4x 5的距离最短 则该点的坐标是 a 1 b 0 0 c 1 2 d 1 4 备用例3 已知抛物线c y2 4x的焦点为f