高中数学 第二章 圆锥曲线 2.5 圆锥曲线的几何性质学案 北师大版选修4-1.doc

2.5 圆锥曲线的几何性质课标解读1.了解圆锥曲线的形成过程2.理解圆锥曲线的统一定义3.能用圆锥曲线的几何性质解决问题.圆锥曲线的统一定义抛物线、椭圆、双曲线都是平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e(离心率)的动点的轨迹，此时定点称为焦点，定直线称为准线当e1时，轨迹为抛物线；当0e1时，轨迹为椭圆；当e1时，轨迹为双曲线1你能列举几条椭圆的几何性质吗？【提示】(1)椭圆中有“四线”(两条对称轴、两条准线)，“六点”(两个焦点、四个顶点)注意它们之间的位置关系(如准线垂直于长轴所在的直线、焦点在长轴上等)及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为ac，到相应准线的距离为c等)(2)设椭圆方程1(ab0)上任意一点为p(x，y)，则|op| .axa，x0时，|op|有最小值b，这时，p在短轴端点处；当xa时，|op|有最大值a，这时p在长轴端点处(3)椭圆上任意一点p(x，y)(y0)与两焦点f1(c,0)，f2(c,0)构成pf1f2称之为焦点三角形，周长为2(ac)(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形的边长有a2b2c2.2由双曲线的特征三角形我们可得到什么？【提示】双曲线的特征三角形和椭圆类似，如图中oab称为双曲线的特征三角形，它几乎包含了双曲线的所有基本特征量：|oa|a，|ab|b，|ob|of2|c，cosaob，ob所在的直线即为双曲线的渐近线yx，又f2在ob上的射影记作g，则|og|a，|f2g|b(注意：oabogf2)g的横坐标记作xg，则xg(由射影定理可得)，那么过g作y轴的平行线l，显然l为双曲线右焦点f2对应的准线.圆锥曲线的几何性质图251如图251所示，椭圆的左、右焦点分别为f1，f2，a为椭圆内部一点，且f1af1f2，椭圆的长轴长为8，焦距为4，m为椭圆上任意一点，求am2mf2的最小值【思路探究】设法将am,2mf2转化到一条直线上，才能利用所学的求最值的基本思路，否则不易求【自主解答】如图所示，l1，l2为椭圆的准线，过m作mnl2于n.e，mf2emnmn，am2mf2ammn，故am2mf2的最小值为a到l2的距离，af1f1f2，即求f1到l2的距离延长f1f2交l2于q，f1qc210，故am2mf2的最小值为10.1本题求解的关键是把到焦点的距离转化为到定直线的距离，而转化的依据是圆锥曲线的统一定义2两线段和或差的最值问题一般转化成直线上的线段和、差的最值问题；曲面上(球面除外)的最值问题也是转化为平面上的最值问题已知双曲线左右两个焦点分别为f1、f2，p是双曲线左支上一点，p点到左准线的距离为d，若d、pf1、pf2成等比数列，求双曲线离心率e的取值范围【解】如图所示，由题知e，pf2epf1，由pf2pf12a，pf1，根据pf1f1a，ca，(e1)22,1e1，又e1，1e1，即双曲线的离心率e的取值范围是1e1.圆锥曲线方程点m(x，n)与定点f(c,0)的距离和它到定直线l：x的距离的比是常数(ca0)，求点m的轨迹方程【思路探究】表示出点m到定点f和定直线l的距离，直接列关系式求解【自主解答】设d是点m到直线l的距离根据题意，所求轨迹就是集合pm|，由此得.化简，得(c2a2)x2a2y2a2(c2a2)设c2a2b2，就可化为1(a0，b0)1解答本题时化简是关键2平面直角坐标系也是解决几何问题的重要工具通过平面直角坐标系可对几何元素进行定量的分析在平面内，两个定点的距离为8，动点m到两个定点的距离的和为10，求动点m的轨迹方程【解】以两点的连线段所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立直角坐标系则由椭圆的定义知，所求动点的轨迹为椭圆设所求椭圆方程为1，2a10,2c8，a5，c4，则b29，故所求椭圆的方程为1.利用dandelin双球研究圆锥曲线问题图252一个顶角为60的圆锥面被一个平面所截，如图252所示，dandelin双球均在顶点s的下方，且一个半径为1，另一个半径为5，则截线的形状是什么曲线？其离心率是多少？【思路探究】解答本题可先在所给的几何图形中找到椭圆的元素，再利用相应关系研究截线的性质【自主解答】dandelin双球均在顶点s的同侧，所以截线为椭圆设a、b分别是该椭圆的长轴的两个端点，f1、f2分别是其焦点，o1、o2分别为dandelin双球中小、大球的球心，c、d分别为截面圆与母线的切点cso130，o1c1，sc.同理sd5，则cd4.又bf1bf2bcbdcd，2abf1bf24，即a2.再延长o1f1交o2d于点g，过o2作o2ff1g交f1g于点f，则o1fr1r26.又cd4，dso230，o1o28，在rto1o2f中，fo22.即2cf1f2fo22，故c.所以，离心率e.1解答本题时，先在图形中找出长轴与焦点，然后再求值2解决此类问题可先把空间图形转化为平面图形，然后利用圆锥曲线的定义及性质来解决已知圆锥面s，其母线与轴线所成的角为30，在轴线上取一点c，使sc5，通过点c作一截面使它与轴线所成的角为45，截出的圆锥曲线是什么样的图形？求它的离心率及圆锥曲线上任一点到两个焦点的距离之和【解】截得的曲线是椭圆e.设圆锥曲线上任意一点为m，其两焦点分别为f1，f2，如图所示，mf1mf2ab.设圆锥面内切球o1的半径为r1，内切球o2的半径为r2.so12r1，co1r1，sc(2)r15，即r1.so22r2，co2r2，sc(2)r25，即r2.o1o2co1co2(r1r2)10，abo1o2cos 30o1o25，即mf1mf25.图253(教材第47页习题25第2题)如图253，f1、f2为椭圆的两个焦点，直线m为其准线(1)设椭圆的离心率e，试确定点p的位置，使papf1取得最小值；(2)设椭圆的长轴长等于6，af2，试求pa pf1的最大值和最小值(2013合肥质检)已知双曲线1的右焦点为f1，点a(9,2)不在双曲线上，试在这个曲线上求一点m，使|ma|mf1|的值最小，并求出最小值【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，由题设a3，b4，c5，e.【解】如图所示，l为双曲线的右准线，m为双曲线上任意一点，作mnl于n，则|mn|mf1|，因此|ma|mf1|ma|mn|，当a、m、n三点共线时，即点m坐标为(，2)时，|ma|mf1|取最小值为|an|9.1平面内若动点m到两定点f1，f2的距离和为定值m(m0)，则动点m的轨迹是()a椭圆b线段c不存在 d以上都有可能【解析】当m|f1f2|时，轨迹为椭圆；当m|f1f2|时，轨迹为线段；当m|f1f2|时，轨迹不存在【答案】d2平面内与圆c：(x2)2y21外切，且与直线x1相切的动圆圆心m的轨迹是()a圆 b椭圆c双曲线 d抛物线【解析】由题意知动点m到定点(2,0)和到定直线x2的距离相等，故选d.【答案】d3设p是椭圆上任意一点，f1为其左焦点，已知椭圆的长轴长10，