人教A版必修3 1.3.1 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法 课件（30张）.pptx

1 3算法案例 第1课时辗转相除法与更相减损术 秦九韶算法 1 辗转相除法 1 辗转相除法是用于求两个正整数的最大公约数的一种算法 这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的 因而又叫欧几里得算法 2 所谓辗转相除法 就是对于给定的两个数 用较大的数除以较小的数 若余数不为零 则将余数和较小的数构成新的一对数 继续上面的除法 直到大数被小数除尽 则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数 3 算法步骤 第一步 给定两个正整数m n 第二步 计算m除以n所得的余数r 第三步 m n n r 第四步 若r 0 则m n的最大公约数等于m 否则 返回第二步 做一做1求667与928的最大公约数 解 928 667 1 261 667 261 2 145 261 145 1 116 145 116 1 29 116 29 4 所以667与928的最大公约数是29 2 更相减损术 1 更相减损术是我国古代数学专著 九章算术 中介绍的一种求两数最大公约数的方法 2 更相减损术的基本过程是 第一步 任意给定两个正整数 判断它们是否都是偶数 若是 用2约简 若不是 执行第二步 第二步 以较大的数减去较小的数 接着把所得的差与较小的数比较 并以大数减小数 继续这个操作 直到所得的数相等为止 则这个数 等数 或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数 做一做2342与589的最大公约数为 解析 589 342 247 342 247 95 247 95 152 152 95 57 95 57 38 57 38 19 38 19 19 所以342与589的最大公约数为19 答案 19 3 秦九韶算法 做一做3用秦九韶算法求f x 2x3 x 3当x 3时的值v2 解析 f x 2x 0 x 1 x 3 v0 2 v1 2 3 0 6 v2 6 3 1 19 答案 19 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数 2 用更相减损术求294和84的最大公约数时 需做减法的次数是3 3 用秦九韶算法计算f x 3x6 4x5 5x4 6x3 7x2 8x 1当x 0 4时的值 需要进行乘法运算和加法运算的次数均为6 4 利用秦九韶算法求f x 1 2x 3x2 4x3 5x4 6x5当x 2时的值时 先求6 2 5 第二步求2 6 2 5 4 探究一 探究二 思维辨析 探究一求两个正整数的最大公约数 例1 求下列两数的最大公约数 1 228与2223 2 612与468 分析 228与2223相差较大 用辗转相除法求最大公约数 612与468相差较小 用更相减损术求最大公约数 解 1 用辗转相除法求228与2223的最大公约数 2223 228 9 171 228 171 1 57 171 57 3 所以228和2223的最大公约数为57 探究一 探究二 思维辨析 2 首先612和468都是偶数 所以用2约简 得到306和234 还是偶数 需要再用2约简 得到153和117 最后用更相减损术计算 153 117 36 117 36 81 81 36 45 45 36 9 36 9 27 27 9 18 18 9 9 所以612和468的最大公约数是9 2 2 36 探究一 探究二 思维辨析 探究一 探究二 思维辨析 探究一 探究二 思维辨析 变式训练1分别用辗转相除法和更相减损术求779与209的最大公约数 解 辗转相除法 779 209 3 152 209 152 1 57 152 57 2 38 57 38 1 19 38 19 2 所以 779与209的最大公约数为19 探究一 探究二 思维辨析 更相减损术 779 209 570 570 209 361 361 209 152 209 152 57 152 57 95 95 57 38 57 38 19 38 19 19 所以779和209的最大公约数为19 探究一 探究二 思维辨析 探究二求多项式的值 例2 导学号17970022用秦九韶算法求多项式f x 7x7 6x6 4x4 3x3 2x2 x 5当x 3时的值 分析 解答本题首先要将原多项式化成f x 7x 6 x 0 x 4 x 3 x 2 x 1 x 5的形式 其次再弄清v0 v1 v2 v7分别是多少 最后进行计算 探究一 探究二 思维辨析 解 f x 7x 6 x 0 x 4 x 3 x 2 x 1 x 5 v0 7 v1 7 3 6 15 v2 15 3 0 45 v3 45 3 4 139 v4 139 3 3 420 v5 420 3 2 1258 v6 1258 3 1 3775 v7 3775 3 5 11320 当x 3时 多项式的值为11320 探究一 探究二 思维辨析 探究一 探究二 思维辨析 变式训练2用秦九韶算法求多项式f x 2x4 6x3 5x2 4x 6在x 5时的值 解 由于f x 2x4 6x3 5x2 4x 6 2x 6 x 5 x 4 x 6 根据秦九韶算法 我们有v0 2 v1 2x 6 2 5 6 4 v2 4x 5 4 5 5 15 v3 15x 4 15 5 4 79 v4 79x 6 79 5 6 389 探究一 探究二 思维辨析 用秦九韶算法求多项式的值忽略空项而致误典例已知f x x5 x3 x2 x 1 用秦九韶算法求f 3 的值 错解因为f x x 1 x 1 x 1 x 1 所以当x 3时 v0 1 v1 3 1 4 v2 4 3 1 13 v3 13 3 1 40 v4 40 3 1 120 1 121 所以当x 3时 f 3 121 错因分析忽视了函数f x 中x4项的系数为0这一点 导致结果出现错误 探究一 探究二 思维辨析 正解 原多项式可化为f x x 0 x 1 x 1 x 1 x 1 当x 3时 v0 1 v1 1 3 0 3 v2 3 3 1 10 v3 10 3 1 31 v4 31 3 1 94 v5 94 3 1 283 所以 当x 3时 f 3 283 探究一 探究二 思维辨析 变式训练用秦九韶算法求多项式f x x5 0 11x3 0 15x 0 04当x 0 3时的值 解 根据秦九韶算法 将f x 改写为f x x 0 x 0 11 x 0 x 0 15 x 0 04 按照从内到外的顺序 依次计算一次多项式当x 0 3时的值 v0 1 v1 v0 0 3 0 0 3 v2 v1 0 3 0 11 0 2 v3 v2 0 3 0 0 06 v4 v3 0 3 0 15 0 132 v5 v4 0 3 0 04 0 0796 即x 0 3时 f x x5 0 11x3 0 15x 0 04的值为 0 0796 12345 1 用辗转相除法求56与264的最大公约数 需要做除法的次数是 a 3b 4c 5d 6解析 264 56 4 40 56 40 1 16 40 16 2 8 16 8 2 即最大公约数为8 做了4次除法 故选b 答案 b 12345 2 用更相减损术求123和48的最大公约数是 a 3b 7c 9d 12解析 123 48 75 75 48 27 48 27 21 27 21 6 21 6 15 15 6 9 9 6 3 6 3 3 所以123和48的最大公约数是3 答案 a 12345 3 用秦九韶算法求多项式f x 12 35x 8x2 79x3 6x4 5x5 3x6当x 4时的值 v4的值为 a 57b 220c 845d 3392解析 由秦九韶算法有v0 3 v1 v0 x 5 7 v2 7x 6 34 v3 34x 79 57 v4 57x 8 220 答案 b 12345 4 用秦九韶算法求多项式f x x5 5x4 10 x3 10 x2 5x 1当x 2时的值为 解析 改写多项式为f x x 5 x 10 x 10 x 5 x 1 当x 2时 v0 1 v1 1 2 5 3 v2 3 2 10 4 v3 4 2 1