（新课标）高考数学5年真题备考题库 第七章 第7节 立体几何中的空间向量方法 理（含解析）.doc

第七章 立体几何第七节 立体几何中的空间向量方法1（2014新课标全国，12分）如图三棱柱abca1b1c1中，侧面bb1c1c为菱形，abb1c.(1)证明：acab1；(2)若acab1，cbb160，abbc，求二面角aa1b1c1的余弦值解：(1)证明：连接bc1，交b1c于点o，连接ao.因为侧面bb1c1c为菱形，所以b1cbc1，且o为b1c及bc1的中点又abb1c，所以b1c平面abo.由于ao平面abo，故b1cao.又b1oco，故acab1.(2)因为acab1，且o为b1c的中点，所以aoco.又因为abbc，所以boaboc.故oaob，从而oa，ob，ob1两两相互垂直以o为坐标原点，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系oxyz.因为cbb160，所以cbb1为等边三角形又abbc，则a，b(1,0,0)，b1，c.，.设n(x，y，z)是平面aa1b1的法向量，则即所以可取n(1，)设m是平面a1b1c1的法向量，则同理可取m(1，)则cosn，m.所以二面角aa1b1c1的余弦值为.2（2014新课标全国，12分）如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，pa平面abcd，e为pd的中点(1)证明：pb平面aec；(2)设二面角d aec为60，ap1，ad，求三棱锥eacd的体积解：(1)证明：连接bd交ac于点o，连接eo.因为平面abcd为矩形，所以o为bd的中点又e为pd的中点，所以eopb.因为eo平面aec，pb平面aec，所以pb平面aec.(2)因为pa平面abcd，平面abcd为矩形，所以ab，ad，ap两两垂直如图，以a为坐标原点，的方向为x轴的正方向，| |为单位长，建立空间直角坐标系axyz，则d(0，0)，e，.设b(m,0,0)(m0)，则c(m，0)，(m，0)设n1(x，y，z)为平面ace的法向量，则即可取n1.又n2(1,0,0)为平面dae的法向量，由题设|cosn1，n2|，即 ，解得m.因为e为pd的中点，所以三棱锥eacd的高为.三棱锥eacd的体积v.3.(2014山东，12分) 如图，在四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd是等腰梯形，dab60，ab2cd2，m是线段ab的中点(1)求证：c1m平面a1add1；(2)若cd1垂直于平面abcd且cd1，求平面c1d1m和平面abcd所成的角(锐角)的余弦值解：(1)证明：因为四边形abcd是等腰梯形，且ab2cd，所以abdc，又由m是ab的中点，因此cdma且cdma.连接ad1，在四棱柱abcda1b1c1d1中，因为cdc1d1，cdc1d1，可得c1d1ma，c1d1ma，所以四边形amc1d1为平行四边形，因此c1md1a.又c1m平面a1add1，d1a平面a1add1，所以c1m平面a1add1.(2)法一：连接ac，mc，由(1)知cdam且cdam，所以四边形amcd为平行四边形可得bcadmc，由题意知abcdab60，所以mbc为正三角形，因此ab2bc2，ca，因此cacb.以c为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系cxyz.所以a(，0,0)，b(0,1,0)，d1(0,0，)因此m，所以，.设平面c1d1m的法向量n(x，y，z)由得可得平面c1d1m的一个法向量n(1，1)又(0,0，)为平面abcd的一个法向量因此cos，n.所以平面c1d1m和平面abcd所成的角(锐角)的余弦值为.法二：由(1)知平面d1c1m平面abcdab，过c向ab引垂线交ab于n，连接d1n.由cd1平面abcd，可得d1nab，因此d1nc为二面角c1abc的平面角在rtbnc中，bc1，nbc60，可得cn.所以nd1.在rtd1cn中，cosd1nc.所以平面c1d1m和平面abcd所成的角(锐角)的余弦值为.4.(2014广东，13分) 如图，四边形abcd为正方形，pd平面abcd，dpc30，afpc于点f，fecd，交pd于点e.(1)证明：cf平面adf；(2)求二面角dafe的余弦值解：(1)证明：pd平面abcd，ad平面abcd，pdad，又cdad，pdcdd，ad平面pcd，又pc平面pcd.adpc.又afpc，adafa，pc平面adf，即cf平面adf.(2)设aba，则在rtpdc中，cda，又dpc30，pc2a，pda，pcd60.由(1)知cfdf，dfcd sin 60a，cfcd cos 60a，又fecd，dea，同理efcda，以d为原点，dp所在直线为x轴，dc所在直线为y轴，da所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则c(0，a,0)，a(0,0，a)，f，e，则，设平面aef的法向量为n(x，y，z)，则n(x，y，z)axaz0，n(x，y，z)axayaz0，取x1，得平面aef的一个法向量n.又由(1)知平面adf的一个法向量为a，a，0，故cosn，由图可知二面角dafe为锐二面角，所以其余弦值为.5.(2014安徽，13分) 如图，四棱柱abcd a1b1c1d1中，a1a底面abcd.四边形abcd为梯形，adbc，且ad2bc.过a1，c，d三点的平面记为，bb1与的交点为q.(1)证明：q为bb1的中点；(2)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；(3)若aa14，cd2，梯形abcd的面积为6，求平面与底面abcd所成二面角的大小解：(1)因为bqaa1，bcad，bcbqb，adaa1a.所以平面qbc平面a1ad.从而平面a1cd与这两个平面的交线相互平行，即qca1d.故qbc与a1ad的对应边相互平行，于是qbca1ad.所以，即q为bb1的中点(2)如图1，连接qa，qd.设aa1h，梯形abcd的高为d，四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为v上和v下，bca，则ad2a.vqa1ad2ahdahd，vq abcddahd，所以v下vq a1advqabcdahd，又v四棱柱a1b1c1d1abcdahd，所以v上v四棱柱a1b1c1d1abcdv下ahdahdahd，故.(3)法一：如图1，在adc中，作aedc，垂足为e，连接a1e.又deaa1，且aa1aea，所以de平面aea1，于是dea1e.所以aea1为平面与底面abcd所成二面角的平面角因为bcad，ad2bc，所以sadc2sbca.又因为梯形abcd的面积为6，dc2，所以sadc4，ae4.于是tanaea11，aea1.故平面与底面abcd所成二面角的大小为.法二：如图2，以d为原点，分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系设cda.因为s梯形abcd2sin 6.所以a.从而c(2cos ，2sin ，0)，a1，所以(2cos ，2sin ，0)，.设平面a1dc的法向量n(x，y,1)，由得xsin ，ycos ，所以n(sin ，cos ，1)又因为平面abcd的法向量m(0,0,1)，所以cosn，m，故平面与底面abcd所成二面角的大小为.6.(2014福建，13分) 在平面四边形abcd中，abbdcd1，abbd，cdbd.将abd沿bd折起，使得平面abd平面bcd，如图所示(1)求证：abcd；(2)若m为ad中点，求直线ad与平面mbc所成角的正弦值解：(1)证明：平面abd平面bcd，平面abd平面bcdbd，ab平面abd，abbd，ab平面bcd.又cd平面bcd，abcd.(2)过点b在平面bcd内作bebd，如图由(1)知ab平面bcd，be平面bcd，bd平面bcd，abbe，abbd.以b为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系依题意，得b(0,0,0)，c(1,1,0)，d(0,1,0)，a(0,0,1)，m，则(1,1,0)，(0,1，1)设平面mbc的法向量n(x0，y0，z0)，则即取z01，得平面mbc的一个法向量n(1，1,1)设直线ad与平面mbc所成角为，则sin |cosn，|，即直线ad与平面mbc所成角的正弦值为.7.(2014浙江，15分) 如图，在四棱锥abcde中，平面abc平面bcde，cdebed90，abcd2，debe1，ac.(1)证明：de平面acd；(2)求二面角bade的大小解：(1)在直角梯形bcde中，由debe1，cd2，得bdbc.由ac，ab2，得ab2ac2bc2，即acbc.又平面abc平面bcde，从而ac平面bcde.所以acde.又dedc，从而de平面acd.(2)法一：作bfad，与ad交于点f.过点f作fgde，与ae交于点g，连接bg，由(1)知dead，则fgad.所以bfg是二面角bade的平面角在直角梯形bcde中，由cd2bc2bd2，得bdbc，又平面abc平面bcde，得bd平面abc，从而bdab.由于ac平面bcde，得accd.在rtacd中，由dc2，ac，得ad.在rtaed中，由ed1，ad，得ae.在rtabd中，由bd，ab2，ad，得bf，afad.从而gf.在abe，abg中，利用余弦定理分别可得cosbae，bg.在bfg中，cosbfg.所以bfg，即二面角bade的大小是.法二：以d为原点，分别以射线de，dc为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系dxyz，如图所示由题意知各点坐标如下：d(0,0,0)，e(1,0,0)，c(0,2,0)，a(0,2，)，b(1,1,0)设平面ade的法向量为m(x1，y1，z1)，平面abd的法向量为n(x2，y2，z2)可算得(0，2，)，(1，2，)，(1,1,0)，由即可取m(0,1，)由即可取n(1，1，)于是|cosm，n|.由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角bade的大小是.7.(2014辽宁，12分) 如图，abc和bcd所在平面互相垂直，且abbcbd2，abcdbc120，e，f分别为ac，dc的中点(1)求证：efbc；(2)求二面角ebfc的正弦值解：法一：(1)过e作eobc，垂足为o，连接of.由abcdbc可证出eocfoc.所以eocfoc，即fobc.又eobc，因此bc平面efo.又ef平面efo，所以efbc.(2)在图1中，过o作ogbf，垂足为g，连接eg.由平面abc平面bdc，从而eo平面bdc，又ogbf，由三垂线定理知egbf.因此ego为二面角ebfc的平面角在eoc中，eoecbccos 30，由bgobfc知，ogfc，因此tanego2，从而sinego，即二面角ebfc的正弦值为.图1法二：(2)(1)由题意，以b为坐标原点，在平面dbc内过b作垂直bc的直线为x轴，bc所在直线为y轴，在平面abc内过b作垂直bc的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系易得b(0,0,0)，a(0，1，)，d(，1,0)，c(0,2,0)因而e，f，所以，(0,2,0)，因此0.从而，所以efbc.(2)在图2中，平面bfc的一个法向量为n1(0,0,1)设平面bef的法向量n2(x，y，z)，又，.由得其中一个n2(1，1)设二面角ebfc大小为，且由题意知为锐角，则cos |cosn1，n2|，因此sin ，即所求二面角的正弦值为.图28.(2014北京，14分) 如图，正方形amde的边长为2，b，c分别为am，md的中点在五棱锥pabcde中，f为棱pe的中点，平面abf与棱pd，pc分别交于点g，h.(1)求证：abfg；(2)若pa底面abcde，且paae.求直线bc与平面abf所成角的大小，并求线段ph的长解：(1)证明：在正方形amde中，因为b是am的中点，所以abde.又因为ab平面pde，所以ab平面pde.因为ab平面abf，且平面abf平面pdefg，所以abfg.(2)因为pa底面abcde，所以paab，paae.如图建立空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，b(1,0,0)，c(2,1,0)，p(0,0,2)，f(0,1,1)，(1,1,0)设平面abf的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，得y1，所以n(0，1,1)设直线bc与平面abf所成角为，则sin |cosn，|.因此直线bc与平面abf所成角的大小为.设点h的坐标为(u，v，w)因为点h在棱pc上，所以可设 (01)，即(u，v，w2)(2,1，2)，所以u2，v，w22.因为n是平面abf的法向量，所以n0，即(0，1,1)(2，22)0.解得，所以点h的坐标为.所以ph 2.9.(2014湖南，12分) 如图，四棱柱abcda1b1c1d1的所有棱长都相等，acbdo，a1c1b1d1o1，四边形acc1a1和四边形bdd1b1均为矩形(1)证明：o1o底面abcd；(2)若cba60，求二面角c1ob1d的余弦值解：(1)证明：因为四边形acc1a1为矩形，所以cc1ac，同理dd1bd，因为cc1dd1，所以cc1bd，而acbdo，因此cc1底面abcd.由题设知，o1oc1c，故o1o底面abcd.(2)法一：如图，过o1作o1hob1于h，连接hc1.由(1)知，o1o底面abcd，所以o1o底面a1b1c1d1，于是o1oa1c1.又因为四棱柱abcda1b1c1d1的所有棱长都相等，所以四边形a1b1c1d1是菱形，因此a1c1b1d1，又o1ob1d1o1，从而a1c1平面bdd1b1，所以a1c1ob1，又a1c1o1ho1.于是ob1平面o1hc1，进而ob1c1h，故c1ho1是二面角c1ob1d的平面角不妨设ab2.因为cba60，所以ob，oc1，ob1.在rtoo1b1中，易知o1h2，而o1c11，于是c1h.故cosc1ho1.即二面角c1ob1d的余弦值为.法二：因为四棱柱abcda1b1c1d1的所有棱长都相等，所以四边形abcd是菱形，因此acbd.又o1o底面abcd，从而ob，oc，oo1两两垂直如图，以o为坐标原点，ob，oc，oo1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系oxyz.不妨设ab2，因为cba60，所以ob，oc1.于是相关各点的坐标为：o(0,0,0)，b1(，0,2)，c1(0,1,2)易知，n1(0,1,0)是平面bdd1b1的一个法向量设n2(x，y，z)是平面ob1c1的一个法向量，则即取z，则x2，y2，所以n2(2,2，)，设二面角c1ob1d的大小为，易知是锐角，于是cos |cosn1，n2|.故二面角c1ob1d的余弦值为.9.(2014陕西，12分) 四面体abcd及其三视图如图所示，过棱ab的中点e作平行于ad，bc的平面分别交四面体的棱bd，dc，ca于点f，g，h.(1)证明：四边形efgh是矩形；(2)求直线ab与平面efgh夹角的正弦值解：(1)证明：由该四面体的三视图可知，bddc，bdad，addc，bddc2，ad1.由题设，bc平面efgh，平面efgh平面bdcfg，平面efgh平面abceh，bcfg，bceh，fgeh.同理efad，hgad，efhg，四边形efgh是平行四边形又addc，adbd，ad平面bdc，adbc，effg，四边形efgh是矩形(2)法一：如图，以d为坐标原点建立空间直角坐标系，则d(0,0,0)，a(0,0,1)，b(2,0,0)，c(0,2,0)，(0,0,1)，(2,2,0)，(2,0,1)设平面efgh的法向量n(x，y，z)，efad，fgbc，n0，n0，得取n(1,1,0)，sin |cos，n|.法二：如图，以d为坐标原点建立空间直角坐标系，则d(0,0,0)，a(0,0,1)，b(2,0,0)，c(0,2,0)，e是ab的中点，f，g分别为bd，dc的中点，得e，f(1,0,0)，g(0,1,0)，(1,1,0)，(2,0,1)设平面efgh的法向量n(x，y，z)，则n0，n0，得取n(1,1,0)，sin |cos，n|.10.(2014四川，12分) 三棱锥abcd及其侧视图、俯视图如图所示设m，n分别为线段ad，ab的中点，p为线段bc上的点，且mnnp.(1)证明：p是线段bc的中点；(2)求二面角anpm的余弦值解：(1)如图，取bd中点o，连接ao，co.由侧视图及俯视图知，abd，bcd均为正三角形，因此aobd，ocbd.因为ao，oc平面aoc，且aooco，所以bd平面aoc.又因为ac平面aoc，所以bdac.取bo的中点h，连接nh，ph.又m，n分别为线段ad，ab的中点，所以nhao，mnbd.因为aobd，所以nhbd.因为mnnp，所以npbd.因为nh，np平面nhp，且nhnpn，所以bd平面nhp.又因为hp平面nhp，所以bdhp.又ocbd，hp平面bcd，oc平面bcd，所以hpoc.因为h为bo中点，故p为bc中点(2)法一：如图，作nqac于q，连接mq.由(1)知，npac，所以nqnp.因为mnnp，所以mnq为二面角anpm的一个平面角由(1)知，abd，bcd为边长为2的正三角形，所以aooc.由俯视图可知，ao平面bcd.因为oc平面bcd，所以aooc，因此在等腰rtaoc中，ac，作brac于r.在abc中，abbc，所以br .因为在平面abc内，nqac，brac，所以nqbr.又因为n为ab的中点，所以q为ar的中点，因此nq.同理，可得mq.所以在等腰mnq中，cosmnq.故二面角anpm的余弦值是.法二：由俯视图及(1)可知，ao平面bcd.因为oc，ob平面bcd，所以aooc，aoob.又ocob，所以直线oa，ob，oc两两垂直如图，以o为坐标原点，以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系oxyz.则a(0,0，)，b(1,0,0)，c(0，0)，d(1,0,0)因为m，n分别为线段ad，ab的中点，又由(1)知，p为线段bc的中点，所以m，n，p.于是(1,0，)，(1，0)，(1,0,0)，.设平面abc的一个法向量n1(x1，y1，z1)，则即有从而取z11，则x1，y11，所以n1(，1,1)连接mp，设平面mnp的一个法向量n2(x2，y2，z2)，则即有从而取z21，所以n2(0,1,1)设二面角anpm的大小为.则cos .故二面角anpm的余弦值是.11.(2014重庆，13分) 如图，四棱锥pabcd中，底面是以o为中心的菱形，po底面abcd，ab2，bad，m为bc上一点，且bm，mpap.(1)求po的长；(2)求二面角apmc的正弦值解：(1)如图，连接ac，bd，om，因底面abcd为菱形，则acbdo，且acbd.以o为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系oxyz.因为bad，故oaabcos，obabsin1，所以o(0,0,0)，a(，0,0)，b(0,1,0)，c(，0,0)，(0,1,0)，(，1,0)由bm，bc2知，从而，即m.设p(0,0，a)，a0，则(，0，a)，.因为mpap，故0，即a20，所以a，a(舍去)，即po.(2)由(1)知，.设平面apm的法向量为n1(x1，y1，z1)，平面pmc的法向量为n2(x2，y2，z2)由n10，n10，得故可取n1.由n20，n20，得故可取n2(1，2)从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cosn1，n2，故所求二面角apmc的正弦值为.12.(2014天津，13分) 如图，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，adab，abdc，addcap2，ab1，点e为棱pc的中点(1)证明：bedc；(2)求直线be与平面pbd所成角的正弦值；(3)若f为棱pc上一点，满足bfac，求二面角fabp的余弦值解：法一：依题意，以点a为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得b(1,0,0)，c(2，2,0)，d(0,2,0)，p(0，0,2)由e为棱pc的中点，得e(1，1,1)(1)(0,1,1)，(2,0,0)，故0.所以bedc.(2) (1,2,0)，(1,0，2)设n(x，y，z)为平面pbd的法向量则即不妨令y1，可得n(2,1,1)为平面pbd的一个法向量，于是有cosn，.所以直线be与平面pbd所成角的正弦值为.(3)(1,2,0)，(2，2,2)，(2,2,0)，(1,0,0)由点f在棱pc上，设,01.故(12，22，2)由bfac，得0，因此，2(12)2(22)0，解得.即.设n1(x，y，z)为平面fab的法向量，则即不妨令z1，可得n1(0，3，1)为平面fab的一个法向量取平面abp的法向量n2(0,1,0)，则cosn1，n2.易知，二面角fabp是锐角，所以其余弦值为.法二：(1)如图，取pd中点m，连接em，am.由于e，m分别为pc，pd的中点，故emdc，且emdc，又由已知，可得emab且emab，故四边形abem为平行四边形，所以beam.因为pa底面abcd，故pacd，而cdda，从而cd平面pad，因为am平面pad，于是cdam，又beam，所以becd.(2)连接bm，由(1)有cd平面pad，得cdpd，而emcd，故pdem，又因为adap，m为pd的中点，故pdam，可得pdbe，所以pd平面bem，故平面bem平面pbd.所以，直线be在平面pbd内的射影为直线bm，而beem，可得ebm为锐角，故ebm为直线be与平面pbd所成的角依题意，有pd2，而m为pd中点，可得am，进而be.故在rtbem中，tanebm，因此sinebm.所以直线be与平面pbd所成角的正弦值为.(3)如图，在pac中，过点f作fhpa交ac于点h.因为pa底面abcd，故fh底面abcd，从而fhac.又bfac，得ac平面fhb，因此acbh.在底面abcd内，可得ch3ha，从而cf3fp.在平面pdc内，作fgdc交pd于点g，于是dg3gp.由于dcab，故gfab，所以a，b，f，g四点共面由abpa，abad，得ab平面pad，故abag.所以pag为二面角fabp的平面角在pag中，pa2，pgpd，apg45，由余弦定理可得ag，cospag.所以，二面角fabp的余弦值为.13.(2014江西，12分) 如图，四棱锥pabcd中，abcd为矩形，平面pad平面abcd.(1)求证：abpd；(2)若bpc90，pb，pc2，问ab为何值时，四棱锥pabcd的体积最大？并求此时平面bpc与平面dpc夹角的余弦值解：(1)证明：abcd为矩形，故abad；又平面pad平面abcd，平面pad平面abcdad，所以ab平面pad，故abpd.(2)过p作ad的垂线，垂足为o，过o作bc的垂线，垂足为g，连接pg.故po平面abcd，bc平面pog，bcpg.在rtbpg中，pg，gc，bg.设abm，则op ，故四棱锥pabcd的体积为vm .因为m ，故当m，即ab时，四棱锥pabcd的体积最大此时，建立如图所示的坐标系，各点的坐标为o(0,0,0)，b，c，d，p，故，(0，0)，设平面bpc的一个法向量n1(x，y,1)，则由n1，n1得解得x1，y0，n1(1,0,1)同理可求出平面dpc的一个法向量n2.从而平面bpc与平面dpc夹角的余弦值为cos .13.(2014湖北，12分) 如图，在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，e，f，m，n分别是棱ab，ad，a1b1，a1d1的中点，点p，q分别在棱dd1，bb1上移动，且dpbq(00)(1)求证：cd平面add1a1；(2)若直线aa1与平面ab1c所成角的正弦值为，求k的值；(3)现将与四棱柱abcda1b1c1d1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱规定：若拼接成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案问：共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f(k)，写出f(k)的解析式(直接写出答案，不必说明理由)解：本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、柱体的概念及表面积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想(1)证明：取cd的中点e，连接be.abde，abde3k，四边形abed为平行四边形，bead且bead4k.在bce中，be4k，ce3k，bc5k，be2ce2bc2，bec90，即becd.又bead，cdad.aa1平面abcd，cd平面abcd，aa1cd.又aa1ada，cd平面add1a1.(2)以d为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则a(4k,0,0)，c(0,6k,0)，b1(4k,3k,1)，a1(4k,0,1)，所以(4k,6k,0)，(0,3k,1)，(0,0,1)设平面ab1c的法向量n(x，y，z)，则由得取y2，得n(3,2，6k)设aa1与平面ab1c所成角为，则sin |cos，n|，解得k1，故所求k的值为1.(3)共有4种不同的方案f(k)20(2013四川，12分)如图，在三棱柱abca1b1c1中，侧棱aa1底面abc，abac2aa1，bac120，d，d1分别是线段bc，b1c1的中点，p是线段ad的中点(1)在平面abc内，试作出过点p与平面a1bc平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面add1a1；(2)设(1)中的直线l交ab于点m，交ac于点n，求二面角aa1mn的余弦值解：本题主要考查基本作图、线面的平行与垂直、二面角等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决立体几何问题的能力(1)如图，在平面abc内，过点p作直线lbc，因为l在平面a1bc外，bc在平面a1bc内，由直线与平面平行的判定定理可知，l平面a1bc.由已知，abac，d是bc的中点，所以bcad，则直线lad.因为aa1平面abc，所以aa1直线l.又ad，aa1在平面add1a1内，且ad与aa1相交，所以直线l平面add1a1.(2)法一：连接a1p，过a作aea1p于e，过e作efa1m于f，连接af.由(1)知，mn平面aea1，所以平面aea1平面a1mn.所以ae平面a1mn，则a1mae.所以a1m平面aef，则a1maf.故afe为二面角aa1mn的平面角(设为)设aa11，则由a