高中数学 第一讲 坐标系 三 简单曲线的极坐标方程成长训练 新人教A版选修44.doc

三 简单曲线的极坐标方程主动成长夯基达标1.已知点p(),若点p的极角满足-2d.|k|2解析:当=0时,sin+cos=-k,若此方程无解,由|sin+cos|,当|k|2时,方程无解.答案:c5.在极坐标系中,点p(2,)到直线sin(-)=1的距离等于()a.1b.2c.3d.1+3解法一:xp=2cos=,yp=2sin=-1,p点的直角坐标为(,-1).又直线sin(-)=1化为直角坐标方程为y-x-1=0.p点到直线的距离为d=|-1|=1+.解法二:直线sin(-)=1与直线=平行,且距离为1.过p点作ph垂直于直线sin(-)=1,垂足为h,设ph交直线=于m,在rtpom中,op=2,pom=.pm=2sin=.故p点到直线sin(-)=1的距离为1+.答案:d6.点m在直线cos=a(a0)上,o为极点,延长om到p使|mp|=b(b0),则p的轨迹方程是_.解析:设m(0,0),p(,),则0cos0=a,=0+b,0=代入即可.答案:(-b)cos=a7.画出极坐标方程(-)+(-)sin=0的图形.解析:若所给曲线的极坐标方程比较复杂时,可将其方程分解因式,分解成几个常见曲线方程连乘积的形式,然后分别作出图形,放在一起即为所求方程的曲线.解:如图,将原方程分解因式得(-)(-sin)=0,-=0,即=为一条射线,或-sin=0为一个圆.8.证明过a(1,1)和b(2,2)两点的直线l的极坐标方程是解析:虽然所证明的方程看起来比较复杂,但是,只要我们理清求曲线方程的步骤,问题是不难解决的.我们可以利用三角形的面积法将这些量互相联系起来.解:设m(,)为直线ab上一点,如图,saob=12sin(2-1),saom=1sin(-1),sbom=2sin(2-),又saob=saom+sbom,12sin(2-1)=1sin(-1)+2sin(2-),即9.已知圆=2,直线cos=4,过极点作射线交圆于a,直线于b,求ab中点m的轨迹方程.解:设m(,),a(1,1),b(2,2),则有(2-2)cos=4=2sec+1.10.从原点o引直线交直线2x+4y-1=0于点m，p为om上一点，已知|op|om|=1，求p点的极坐标方程.解析:先把直线化为极坐标方程,由于p点的运动与m点有关,可以利用转移法来解决问题.我们可以根据长度之间的关系式找到点p与点m坐标之间的关系.解:如图,以o为极点,x轴正方向为极轴建立坐标系后,直线的方程化为2cos+4sin-1=0.设m(0,0),p(,),则20cos+40sin-1=0.又,知代入2cos+4sin-1=0,=2cos+4sin,这是一个圆(0).11.从极点o作圆c：=8cos的弦on，求on的中点m的轨迹方程.解析:在直角坐标系中,求曲线的轨迹方程的方法有直接法、定义法、转移法,在极坐标系中,求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的.解法一:如图,圆c的圆心c(4,0),半径r=|oc|=4,连结cm.m为弦on的中点,cmon.故m在以oc为直径的圆上.所以,动点m的轨迹方程是=4cos.解法二:解法一是定义法,下面我们用转移法来解决这个问题.设m点的坐标是(,),n(1,1).n点在圆=8cos上,1=8cos1.(*)m是on的中点,将它代入(*)式得2=8cos,故m的轨迹方程是=4cos.12.o为已知圆外的定点,m在圆上,以om为边作正三角形omn,当点m在圆上移动时,求点n的轨迹方程(o、m、n逆时针排列).解:以o为极点,以o和已知圆圆心o所在射线为极轴,建立极坐标系,如图,设|oo|=0,圆的半径为r,那么圆的极坐标方程为2-20cos+02-r2=0,设n(,),m(1,1),m在圆上,12-201cos1+02-r2=0.omn为正三角形,代入得2-20cos(-)+02-r2=0,这就是点n的轨迹方程.走近高考1.(经典回放)曲线的极坐标方程=4sin化成直角坐标方程为()a.x2+(y+2)2=4b.x2+(y-2)2=4c.(x-2)2+y2=4d.(x+2)2+y2=4解析:在=4sin两边同时乘以得2=4sin.再利用可得x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4.答案:b2.(经典回放)在极坐标系中,过点m(2,)且平行于极轴的直线的极坐标方程是_.解析:如图所示,设p(,)为直线上任一点,连结po,作pa垂直极轴于点a.在rtpao中,|pa|=2,poa=,sin=2.所求的极坐标方程为sin=2.答案:sin=23.(经典回放)设有半径为4的圆,它在极坐标系内的圆心的坐标为(4,