导数的实际应用教案.doc

1.3.3导数的实际应用【学习要求】1了解导数在解决实际问题中的作用2掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题【学法指导】1在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想2感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力1在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的 最佳方案 _或最佳策略 这些都是最优化问题2求实际问题的最大(小)值，导数是解决方法之一要建立实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)，然后再利用导数研究函数的最值 . 题型一面积、体积的最值问题例1如图所示，现有一块边长为a的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？解设截下的小正方形边长为x，容器容积为V(x)，则做成的长方体形无盖容器底面边长为a2x，高为x，于是V(x)(a2x)2x,0x.即V(x)4x34ax2a2x,0x.实际问题归结为求V(x)在区间上的最大值点为此，先求V(x)的极值点在开区间内，V(x)12x28axa2.令V(x)0，即令12x28axa20.解得x1a，x2a(舍去)x1a在区间内，x1可能是极值点且当0x0；当x1x时，V(x)0.因此x1是极大值点，且在区间内，x1是唯一的极值点，所以xx1a是V(x)的最大值点即当截下的正方形边长为a时，容积最大小结求几何体的面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，选择适当的量建立关于面积或体积的目标函数，然后利用导数求解跟踪训练1已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y4x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长解如图，设矩形边长AD2x(0x0)，则矩形的面积S2x(4x2)(0x2)，即S8x2x3，S86x2，令S0，解得x1，x2(舍去)当0x0；当x2时，S0)，所以f(x)kx(d2x2)，0xd.在开区间(0，d)内，令f(x)d(d23x2)0.解方程d23x20，得两个根xd，其中负根没有意义，舍去当0x0；当dxd时，f(x)0.因此，在区间(0，d)内只有一个极大值点xd.所以f(x)在xd取最大值，就是横梁强度的最大值此时hd.即当宽为d，高为d时，横梁的强度最大小结最大流量、最大强度、最大功率等，要注意不同的问题背景，计算式子也会有相应的区别要结合问题本身的特点，根据题目的条件(或是已知的式子)进行为了解决问题，可能要引入多个字母，在求导的过程中，一定要分清哪些是变量，哪些是常量，只有这样才能保证有的放矢跟踪训练2挖一条隧道，截面拟建成矩形上方加半圆，如果截面积为20 m2，当宽为多少时，使截面周长最小，用料最省？解如图，设半圆的半径为r，矩形的高为h，则截面积S2rh20，截面周长C2r2hr2rr2rrr，记C(r)r，则C(r)2.令C(r)0，得r2时，周长C最小即宽为4时，截面周长最小，用料最省题型三省时高效、费用最低问题例3如图所示，一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B的距离是150 km.在岸边距点B 300 km的点A处有一军需品仓库有一批军需品要尽快送达海岛A与B之间有一铁路，现用海陆联运方式运送火车时速为50 km，船时速为30 km，试在岸边选一点C，先将军需品用火车送到点C，再用轮船从点C运到海岛，问点C选在何处可使运输时间最短？解设点C与点B的距离为x km，则运输时间T(x)，0x300.因为()，所以T(x).令T(x)0，则有5x30，5x3，25x29(1502x2)解此方程，得x112.5.舍去负值，取xx0112.5.因为T(0)11，T(300)11.2，T(112.5)10，而10是11,11.2和10中的最小者，所以xx0112.5是最小值点所以点C选在与点B的距离为112.5 km处，运输时间最省小结路程最短、运输费用最省问题，实质就是路程、时间、速度三者的关系问题，建立在时间与速度的基础上产生路程，根据路程产生运输费用最少或是油耗最小本题运算较麻烦，重点训练复合函数的求导法则跟踪训练3如图所示，设铁路AB50，BC10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB上何处修筑公路至C，可使运费由A至C最省？解设M为AB上的一点，且MBx，于是AM上的运费为2(50x)，MC上的运费为4，则由A到C的总运费为p(x)2(50x)4(0x50)p(x)2，令p(x)0，解得x1，x2(舍去)当x时，p(x)时，p(x)0，当x时，取得最小值即当在离点B距离为的点M处修筑公路至C时，货物运费最省题型四利润最大问题例4某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0x30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解(1)设商品降低x元时，多卖出的商品件数为kx2，若记商品在一个星期的销售利润为f(x)，则依题意有f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432kx2)，又由已知条件24k22，于是有k6，所以f(x)6x3126x2432x9 072，x0,30(2)根据(1)，有f(x)18x2252x43218(x2)(x12)当x变化时，f(x)与f(x)的变化状态如下表：故x12时，f(x)达到极大值因为f(0)9 072，f(12)11 664，所以定价为301218(元)能使一个星期的商品销售利润最大小结解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有(1)利润收入成本；(2)利润每件产品的利润销售件数跟踪训练4某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解(1)因为x5时，y11，所以1011，所以a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)10(x6)2210(x3)(x6)2，3x0)已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去设存款利率为x，x(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为多少？解：依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x(0,0.048 6)所以银行的收益是y0.048 6kx2kx3(0x0.048 6)，则y0.097 2kx3kx2.令y0，得x0.032 4或x0(舍去)当0x0；当0.032 4x0.048 6时，y0.所以当x0.032 4时，y取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益3统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为yx3x8(0x120)已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)x2(0x120)，h(x)(0x120)令h(x)0，得x80.因为当x(0,80)时，h(x)0，h(x)是增函数，所以当x80时，h(x)取得极小值h(80)11.25(升)因为h(x)在(0,120上只有一个极小值，所以它是最小值答汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升课堂小结：1利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)找关系：分析实际问题中各量之间的关系；(2)列模型：列出实际问题的数学模型；(3)写