泛函分析9§1-5,习题选讲与答案.doc

第九章 内积空间和希尔伯特空间例题选讲例1 是可分的充分必要条件存在一个可数的完全规范正交系证明：若是可分的，设是的一个可数稠密子集。不妨设是线性无关的。用方法，存在可数的完全规范正交系，使 = 。这样。因此是完全的。 反之，若是的一个完全规范正交系，则在中稠密。是中的可数稠密子集，因此是可分的。证毕例2求证：是空间上的投影算子的充分必要条件是：且证明：设是中相对应与闭线性子空间的投影算子。对任意，存在，使，。对于，其中，。因此，即，因此设，。其中，。这样。这就证明了。反之，若满足，。令，则是中的线性子空间。还是闭的。事实上，若，则。故，因此是闭的线性子空间，我们要证明是上的投影算子。设，则。由于，因此，即。又因此，对任意的 ，有，即。由，其中 ，。而这种分解是唯一的，可得是到上的投影算子。证毕。例3设是空间上有界线性算子。若存在上的一个稠密线性子空间，对任意的，成立，且的值域在中稠密，求证：是酉算子证明：由5节定理5，只要证明是映射到上的保范算子。设在中稠密，必有，。于是。因此是保范的。我们再证明是映射到上的，因为的值域在中稠密，因此对任意，存在，使。由于收敛，因此柯西列。又，因此也是柯西列。设，则= = ，因此是映射到上的。这样，由5节定理5，是酉算子，证毕习题解答1设是内积空间中点列，若 且对一切有 ，证明： 证明： 因此 2，设是一列内积空间，令，当时，规定，其中，是数，证明：是内积空间，又当都是空间，证明：也是空间。 证明：1。若，则，因此对任意，即 2. 3 这就证明了是维线性空间。又由第七章第22题，是完备的（在22题中取p=2），因此是空间。3. 设是维线性空间，是的一组基，证明成为上内积的充分必要条件是存在正定方阵使得证明： 必要性。若是上内积。设=。对任意 =且当时， 因此正定方阵。充分性。若正定方阵，则对任意，=。下证是中内积。1因正定方阵，可得，且当时，2.。3.因正定，。这样因此是上内积。证毕4. 设是实内积空间，若，则，当是复内积空间时，这个结论是否依然成立？解 当是实内积空间且时，由得即在复内积空间上此结论不成立 ，例如，但5证明：内积空间中两个向量垂直的充要条件是：对一切成立证明 若，则任意复数，有因此若对一切数，不妨设。令，则由，得。即，此可得，即。证毕6设是空间，并且 ，证明是中包含的最小闭子集 。证明：中包含的最小闭子集是，若，则存在，使设，则 ，因此，即又是中闭子空间，且，则 ，从而= ，所以。证毕7设是中的规范正交系，说明两元函数列是中的规范正交系，若完全。则两元函数列也是完全的证明 对任意和，因此是规范正交系若，则几乎处处，。因此若记，则由于是完全的，必有，其中，这样由于是关于的傅立叶系数，因此我们就证明了Parseval等式成立有第3节定理3，完全的，因此是完全规范正交系，证毕8 设为内积空间规范正交系，证明：到的投影算子为，则是的闭子空间，。证明：对任意，其中，因是的完全的规范正交系，因此，由投影算子定义。证毕9设为可分为空间，证明中任何规范正交系至多为可数集。证明：倘若的一个规范正交系可数不是可数集，则任意，。是可分的，则存在的可数稠密子集因不可数，则必有某，及，使，这样。此与矛盾。证毕10设是内积空间，是它的共轭空间，表示上线性范函，若到的映射是一一到上的映射，则是空间。证明 设是中柯西列。有可知是中柯西列。因是完备的，因此有使。设，其中，设，则 。这就证明了是完备的内积空间，即为空间。证毕。11. 设和为空间，是到中的有界线性算子，和分别表示算子的零空间和值域，证明，证明 设，则。这样若，必有，所以，设，则对任意，。由的任意性可推得，即。以上证明了，用代替可得。同时，以下证明首先，由可知从而又设，其中。对任意，所以，即。这样，即，于是。这样我们就证明了。用代替又可得，证毕。12设是空间中的有界线性算子，证明： 。证明 若，则 因此，。由第一节引理1，与线性相关，设。由，可得，即。这样，。即 。证毕13设为空间，是的闭子空间，证明： 证明：设，其中，。因为，所以。又对任意， ，所以，这就证明了 又对任意的，。若，则。若，则令 。因此又有。即 证毕14设是空间。是的闭子空间，则为上某个非连续线性范函的零空间的 充要条件是是一维子空间，证明：若是非零连续线性范函的零空间，则存在，对每个，使。因此，即是一维子空间反之，若是由非零元生成的一维子空间，令，则 的充要条件是，即。所以是非零连续线性范函的零空间。证毕15设为空间上正常算子，为的笛卡儿分解，证明： 。证明 由 及，得，所以。，即。证毕。16证明：是实内积空间上的自伴算子时，的充要条件是对所有，成立。证明：时。显然对任意， 有。若任意，。对任意，由的任意性，可知。又由的任意性，。证毕。17.设是空间中如下定义的算子：证明：是酉空间。证明：对任意，有因