高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 抛物线及其标准方程课时提升作业2 新人教A版选修1-1.doc

抛物线及其标准方程一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016四川高考)抛物线y2=4x的焦点坐标是 ()a.(0,2)b.(0,1)c.(2,0)d.(1,0)【解题指南】根据抛物线的标准方程求解.【解析】选d.由题意,y2=4x的焦点坐标为(1,0).【补偿训练】在平面直角坐标系内,到点(1,1)和直线x+2y=3的距离相等的点的轨迹是()a.直线b.抛物线c.圆d.双曲线【解析】选a.因为点(1,1)在直线x+2y=3上,故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x+2y=3垂直的直线.2.(2016日照高二检测)抛物线y=4x2的焦点坐标是()a.(0,1)b.(1,0)c.0,116d.116,0【解析】选c.由y=4x2得x2=14y,所以抛物线焦点在y轴正半轴上且2p=14,所以p=18,所以焦点为0,116.【误区警示】本题易忽略抛物线的标准形式,认为2p=4而出错.3.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是()a.y=-3x2b.y2=9xc.y2=-9x或y=3x2d.y=-3x2或y2=9x【解析】选d.由已知易得圆心为(1,-3),当焦点在x轴上时设抛物线的方程是y2=ax,将(1,-3)代入得a=9,所以方程为y2=9x,当焦点在y轴上时设抛物线的方程是x2=ay,将(1,-3)代入得a=-13,所以方程为y=-3x2.4.(2016成都高二检测)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-y23=1的渐近线的距离是()a.12b.32c.1d.3【解题指南】先求得抛物线的焦点坐标,然后求得双曲线的渐近线方程,利用点到直线的距离公式进行求解即可.【解析】选b.抛物线y2=4x的焦点是(1,0),双曲线x2-y23=1的一条渐近线方程为3x-y=0,根据点到直线的距离公式可得d=|3-0|2=32.【补偿训练】抛物线y2=8x的焦点到直线x-3y=0的距离是()a.23b.2c.3d.1【解析】选d.抛物线y2=8x的焦点为(2,0),根据点到直线的距离公式可得d=|2-0|2=1.5.(2016肇庆高二检测)已知m是抛物线y2=2px(p0)上的点,若m到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4,则点m的横坐标为()a.1b.1或4c.1或5d.4或5【解析】选b.因为点m到对称轴的距离为4,所以点m的坐标可设为(x,4)或(x,-4),又因为m到准线的距离为5,所以42=2px,x+p2=5,解得x=4,p=2,或x=1,p=8.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016浙江高考)若抛物线y2=4x上的点m到焦点的距离为10,则m到y轴的距离是.【解题指南】根据抛物线的定义求解.【解析】xm+1=10xm=9.答案:97.(2016烟台高二检测)已知抛物线y2=2px(p0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为.【解析】由抛物线方程y2=2px(p0),得其准线方程为x=-p2.又圆的方程为(x-3)2+y2=16,所以圆心为(3,0),半径为4.依题意,得3-p2=4,解得p=2.答案:28.(2016西安高二检测)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽米.【解题指南】建立平面直角坐标系,求出抛物线方程,根据方程求解.【解析】以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴建立直角坐标系.设抛物线方程为x2=-2py(p0),则点(2,-2)在抛物线上,代入可得p=1,抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x2=6,所以水面宽为26米.答案:26三、解答题(每小题10分,共20分)9.根据下列条件求抛物线的标准方程.(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点.(2)抛物线的焦点f在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点a,|af|=5.【解析】(1)双曲线方程化为x29-y216=1,左顶点为(-3,0).由题意设抛物线方程为y2=-2px(p0)且-p2=-3,所以p=6,所以方程为y2=-12x.(2)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为y2=2px(p0),a点坐标为(m,-3).由抛物线定义得5=|af|=|m+p2|.又(-3)2=2pm,所以p=1或p=9,故所求抛物线方程为y2=2x或y2=18x.10.如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管op=1m,水从喷头p喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面2m,p距抛物线的对称轴1m,则水池的直径至少应设计为多少米?(精确到1m)【解析】如图所示,建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2=-2py(p0).依题意有p(1,-1)在此抛物线上,代入得p=12.故得抛物线方程为x2=-y.点b在抛物线上,将b(x,-2)代入抛物线方程得x=2,即|ab|=2,则|ab|+1=2+1,因此所求水池的直径为2(1+2)m,约为5m,即水池的直径至少应设计为5m.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016厦门高二检测)抛物线y2=mx的焦点为f,点p(2,22)在此抛物线上,m为线段pf的中点,则点m到该抛物线准线的距离为()a.1b.32c.2d.52【解析】选d.因为点p(2,22)在抛物线上,所以(22)2=2m,所以m=4,p到抛物线准线的距离为2-(-1)=3,f到准线距离为2,所以m到抛物线准线的距离为d=3+22=52.2.(2015全国卷)已知椭圆e的中心为坐标原点,离心率为12,e的右焦点与抛物线c:y2=8x的焦点重合,点a,b是c的准线与e的两个交点,则ab=()a.3b.6c.9d.12【解析】选b.设椭圆e的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),右焦点为(c,0),依题意得c=2,ca=12,解得a=4,由b2=a2-c2=16-4=12,所以椭圆e的方程为x216+y212=1,因为抛物线c:y2=8x的准线为x=-2,将x=-2代入到x216+y212=1,解得y=3,所以a(-2,3),b(-2,-3),故ab=6.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015陕西高考)若抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=.【解题指南】利用抛物线和双曲线的简单性质,以及抛物线方程y2=2px中p的意义可以求解.【解析】双曲线x2-y2=1的左焦点为(-2,0),故抛物线y2=2px的准线为x=-2,所以p2=2,所以p=22.答案:224.(2016南昌高二检测)抛物线x2=2py(p0)的焦点为f,其准线与双曲线x23-y23=1相交于a,b两点,若abf为等边三角形,则p=.【解题指南】a,b,f三点坐标都能与p建立起联系,分析可知abf的高为p,可构造p的方程解决.【解析】由题意知,abf的高为p,将y=-p2代入双曲线方程得a,b两点的横坐标为x=3+p24,因为abf为等边三角形,所以p3+p24=tan60,从而解得p2=36,即p=6.答案:6三、解答题(每小题10分,共20分)5.一辆卡车高3m,宽1.6m,欲通过断面为抛物线型的隧道,已知拱口宽恰好是拱高的4倍,若拱口宽为am,求使卡车通过的a的最小整数值.【解析】以隧道顶点为原点,拱高所在直线为y轴建立直角坐标系,如图所示,则b点的坐标为a2,-a4,设隧道所在抛物线方程为x2=my,则a22=m-a4,所以m=-a,即抛物线方程为x2=-ay.将(0.8,y)代入抛物线方程,得0.82=-ay,即y=-0.82a.欲使卡车通过隧道,应有y-a43,即a4-0.82a3,由于a0,得上述不等式的解为a12.21,所以a应取13.6.已知抛物线c的顶点在原点,焦点f在x轴的正半轴上,设a,b是抛物线c上的两个动点(ab不垂直于x轴),且|af|+|bf|=8,线段ab的垂直平分线恒经过定点q(6,0),求抛物线的方程.【解析】设抛物线的方程为y2=2px(p0),则其准线为x=-p2.设a(x1,y1),b(x2,y2),因为|af|+|bf|=8,所以x1+p2+x2+p2=8,即x1+x2=8-p