2012年全国高考福建理科数学试题详细解析.pdf

2012 年高考福建理科数学 1 2012 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 福建理科数学福建理科数学 参考公式 参考公式 样本数据 12 n x xx 的标准差 锥体体积公式 222 12 1 n sxxxxxx n 1 3 VSh 其中x为样本平均数 其中S为底面面积 h为高 柱体体积公式 球的表面积 体积公式 VSh 23 4 4 3 SR VR 其中S为底面面积 h为高 其中R为球的半径 第 卷第 卷 选择题 共 50 分 一 选择题 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 若复数z满足1zii 则z等于 A 1 i B 1 i C 1 i D 1 i 答案 A 解析 1zii 1 1ziii 点评 本题考查复数的四则运算 意在考查复数的概念 2 等差数列 n a中 15 10aa 4 7a 则数列 n a的公差为 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 B 解析 153 210aaa 3 5a 所以 43 2daa 点评 本题考查等差数列的中项公式 定义 3 下列命题中 真命题是 A 0 0 0 x xR e B 2 2xxRx C 0ab 的充要条件是1 a b D 1 1ab 是1ab 的充分条件 答案 D 解析 xR 0 x e 所以 A 错 当2x 时 2 2xx 因此 B 错 0ab 中b可取0 而1 a b 中b不可取0 因此 两者不等价 所以 C 错 点评 了解全称命题和特称命题的辨证关系 要证明全称命题正确 要进行严谨的全面证明 而要证明 其错误 只要举一反例即可 相应地 要证明特称命题正确 只要举一例即可 而证明其不对 要证明所 有对象都在所给属性的对立面 同时要注意充分条件和必要条伯的判断方法 4 一个几何体的三视图形状都相同 大小均相等 那么这个几何体不可以是 A 球 B 三棱柱 C 正方形 D 圆柱 2012 年高考福建理科数学 2 答案 D 解析 圆柱的三视图 分别矩形 矩形 圆 不可能三个视图都一样 而球的三视图可以都是圆 三棱 锥的三视图可以都是三角形 正方体的三视图可以都是正方形 点评 考查空间几何体的三视图与直观图 考查空间想象能力 逻辑推理能力 5 下列不等式一定成立的是 A 2 1 lg lg 0 4 xx x B 1 sin2 sin xxkkZ x C 2 12 xxxR D 2 1 1 1 xR x 答案 C 解析 22 11 lg lg 2 lg 44 xxx 当且仅当 2 1 4 x 时 即 1 2 x 因此 A 错 当sin0 x 设 21 1 f xxx 且关于x的 方程为 f xm mR 恰有三个互不相等的实数根 123 x x x 则 123 x x x的取值范围是 答案 13 0 16 解析 当当0 x 时 21 1 xx 则 22 21 1 21 21 1 2f xxxxxxxx 当0 x 21 1 xx 则 22 21 1 1 21 1 f xxxxxxxx 画图 可知当 1 0 4 m 时 f xm mR 恰有三个互不相等的实数根 123123 xxx xxx 其中 23 xx 是方程 2 0 xxm 的根 1 x是方程 2 20 xxm 则 23 x xm 1 11 8 4 m x 所以 123 1 81 4 mm x x x 显然 该式随 m 的增大而减小 因此 当0m 123 max 0 x x x 当 1 2 m 123 min 13 16 x x x 点评 本题综合考查了函数的基本性质 分段函数的相关知识 要求学生能熟练转化 运用函数和方程 的思想转化问题 三 解答题 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 13 分 受轿车在保修期内维修费等因素的影响 企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出 现故障的时间有关 某轿车制造厂生产甲 乙两种品牌轿车 保修期均为 2 年 现从该厂已售出的两种品 2012 年高考福建理科数学 6 牌轿车中随机抽取 50 辆 统计书数据如下 品 牌 甲 乙 首次出现故障时间 x 年 01x 12x 02x 轿车数量 辆 2 3 45 5 45 每辆利润 万元 1 2 3 1 8 2 9 将频率视为概率 解答下列问题 从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆 求首次出现故障发生在保修期内的概率 若该厂生产的轿车均能售出 记生产一辆甲品牌轿车的利润为 1 X 生产一辆乙品牌轿车的利润 为 2 X 分别求 1 X 2 X的分布列 该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当 由于资金限制 只能生产其中一种品牌的轿车 若从经 济效益的角度考虑 你认为应该生产哪种品牌的轿车 说明理由 解析 设 甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内 为事件A 则 231 5010 P A 依题意得 1 X的分布列为 1 X 1 2 3 P 1 25 3 50 9 10 2 X的分布列为 2 X 1 8 2 9 P 1 10 9 10 由 得 1 139 1232 86 255010 E X 万元 2 19 1 82 92 79 1010 E X 万元 因为 12 E XE X 所以应生产甲品牌轿车 点评 本题主要考查古典概型 互斥事件的概率 离散型随机变量的分布列 数学期望等基础知识 考 查数据处理能力 应用意识 考查必然与或然思想 17 本小题满分 13 分 某同学在一次研究性学习中发现 以下五个式子的值都等于同一个常数 1 22 sin 13cos 17sin13 cos17 2 22 sin 15cos 15sin15 cos15 3 22 sin 18cos 12sin18 cos12 4 22 sin18cos 48sin18cos48 5 22 sin25cos 55sin25cos55 试从上述五个式子中选择一个 求出这个常数 根据 的计算结果 将该同学的发现推广为三角恒等式 并证明你的结论 解析 选择 2 式 计算如下 2012 年高考福建理科数学 7 22 13 sin 15cos 15sin15 cos151sin30 24 三角恒等式 22 3 sincos30sincos 30 4 22 2 2 2222 sincos30sincos 30 sincos30 cossin30 sinsincos30 cossin30 sin 33131 sincossincossinsincossin 42422 3 4 点评 本小题主要考查同角三角函数的基本关系 两角和与差的三角函数公式 二倍角公式等基础知识 考查运算求解能力 抽象概括能力 推理论证能力 考查特殊与一般思想 化归与转化思想 18 本小题满分 13 分 如图 在长方体 1111 ABCDABC D 中 1 1AAAD E为CD中点 求证 11 B EAD 在棱 1 AA上是否存在一点P 使得DP 平面 1 B AE 若存在 求AP的长 若不存在 说明理 由 若二面角 11 AB EA 的大小为30 求AB的长 答案 解析 以A为原点 1 AB AD AA 的方向分别为 x y z轴的正方向建立空间直角坐标系 设ABa 则 11 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 2 a ADDEABA 故 1 0 1 1AD 1 1 1 2 a B E 1 0 1ABa 1 0 2 a AE 因为 11 0 1 1 1 10 2 a AD B E 所以 11 B EAD A BC D D1 C1 B1 A1 E 2012 年高考福建理科数学 8 假设在棱 1 AA上存在一点 0 0 0 Pz 使得DP 平面 1 B AE 此时 0 0 1 DPz 又设平面 1 B AE的法向量 nx y z 由 1 nAB nAE 得 0 0 2 axz ax y 取1x 得平面 1 B AE的一个法向量1 2 a na 要使DP 平面 1 B AE 只要nDP 有 00 1 0 22 a azz 又DP 平面 1 B AE 所以存在点P 满足DP 平面 1 B AE 此时 1 2 AP 连结 11 AD BC 由长方体 1111 ABCDABC D 及 1 1AAAD 得 11 ADAD 因为 11 B CAD 所以 11 ADBC 由 知 11 B EAD 且 1 AD 是平面 11 AB E的一个法向量 此时 1 0 1 1AD 设 1 AD 与1 2 a na 所成的角为 则 2 2 2 cos 2 1 4 a a n AD nADa a 因为二面角 11 AB EA 的大小为30 所以coscos30 即 2 3 3 2 2 2 5 2 1 4 a a a 所以AB的长为2 点评 本小题主要考查直线与直线 直线与平面的位置关系及二面角等基础知识 考查空间想象能力 推理论证能力 运算求解能力 考查函数与方程思想 数形结合思想 化归与转化思想 19 本小题满分 13 分 如图 椭圆 22 22 1 0 xy Eab ab 的左焦点为 1 F 右焦点为 2 F 离心率 1 2 e 过 1 F的直线交椭圆于 A B两点 且 2 ABF 的周长为8 求椭圆E的方程 设动直线l ykxm 与椭圆E有且只有一个公共点P 且 与直线4x 相交于点Q 试探究 在坐标平面内是否存在定点M 使 得以PQ为直径的圆恒过点M 若存在 求出点M的坐标 若不存在 说明理由 答案 A B O x y F2F1 2012 年高考福建理科数学 9 解析 由椭圆的定义可知 2 ABF 的周长为4a 所以2 a 1 1 2 c ec a 222 4 13 bac 所以椭圆E的方程为 22 1 43 xy 由 22 1 43 ykxm xy 得 222 4384120 kxkmxm 因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点 00 P xy 所以0m 且0 2 22 84 434120 kmkm 化简得 22 430 km 此时 0 2 44 43 kmk x km 00 3 ykxm m 所以 43 k P m m 由 4 ykxm x 得 4 4Qkm 假设平面内存在定点M满足条件 由图形对称性知 点M必在x轴上 设 1 0 M x 则0MP MQ 对满足 22 430km 的 m k恒成立 因为 11 43 4 4 k MPxMQxkm mm 所以 11 43 4 40 k MP MQxxkm mm 2 1 11 41612 430 kxkk xx mmm 整理得 2 111 44430 k xxx m 由于上式对满足 22 430km 的 m k恒成立 所以 1 2 11 440 430 x xx 解得 1 1 x 故存在定点 1 0M 使得以PQ为直径的圆恒过点M 点评 本小题主要考查椭圆的性质 圆的性质 直线与圆锥曲线的位置关系 平面向量等基础知识 考 查运算求解能力 推理论证能力 考查化归与转化思想 数形结合思想 函数与方程思想 特殊与一般思 2012 年高考福建理科数学 10 想 20 本小题满分 14 分 已知函数 2 x f xeaxex aR 若曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线平行于x轴 求函数 f x的单调区间 试确定a的取值范围 使得曲线 yf x 上存在唯一的点P 曲线在该点处的切线与曲线只有 一个公共点P 答案 解析 由于 eaxexf x 2 曲线 xfy 在点 1 1 f处切线斜率02 ak 所以0 a 即 exexf x 此时eexf x 由0 xf得1 x 当 1 x时 有 0 xf 所以 f x的单调递减区间为 1 单调递增区间为 1 设点 00 xfxP 曲线 yf x 在点P处的切线方程为 000 xfxxxfy 令 000 g xf xfxxxf x 故曲线 xfy 在点P处的切线与曲线只有一个公共点P等 价于 g x有唯一零点 因为 0 0g x 且 0 00 2 xx gxfxfxeea xx 1 0a 当 0 xx 时 0 gx 则当 0 xx 时 0 0 g xg x 当 0 xx 时 0 gx 则当 0 xx 故 g x只有唯一零点 0 xx 由P的任意性 0a 不合题意 2 0a 令 0 0 2 xx h xeea xx 则 0 0 h x 2 x h xea 令 20 x h xea 得 ln2 xa 记 ln2at 则 当 tx 时 0 h x 从而 h x在 t内单调递增 若 0 xt 由 tx 时 0 gxh xh t 由 tx时 0 gxh xh t 因此 g x在R上单调递增 所以函数 g x在R上有且只有一个零点 ln2 xa 若 0 xt 由于 h x在 t内单调递增 且 0 h t 则当 0 xtx 时有 2012 年高考福建理科数学 11 0 0 gxh xh x 任取 01 xtx 有 1 0 g x 又当 1 xx 时 1 2 0000 2 2 0000 x x g xeaxefxf xx fx eaxefxxf xx fxaxbxc 其中 1 0000 x befxcef xx fx 由于0a 则必存在 21 xx 使得 2 22 0 axbxc 所以 2 0 g x 故 g x在 21 xx内存在零点 即 g x在R上至少有两个零点 若 0 xt可以证明函数 g x在R上至少有两个零点 综上所述 当0a 对应的变换作用下得到的曲线为 22 1xy 求实数a b的值 求 2 A的逆矩阵 解析 设曲线122 22 yxyx上任意点 P x y在矩阵A对应的变换作用下的像是 P x y 由 0 1 r xaxax bybxy y 得 ybxy axx 又点 Px y在 22 1xy 上 所以 2 2 1xy 即1 222 ybxxa 整理得12 2222 ybxyxba 依题意得 22 2 22 b ba 解得 1 1 b a 或 1 1 b a 因为0 a 所以 1 1 b a 由 知 12 01 11 01 11 01 11 01 2 AA 所以 12 01 1 122 AA 2012 年高考福建理科数学 12 点评 本小题主要考查矩阵与变换等基础知识 考查运算求解能力 考查划归与转化思想 2 本小题满分 7 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中 以坐标原点O