高考数学一轮复习 第十二章 推理证明、算法、复数 12.5 二项分布及其应用 理.doc

第十二章 推理证明、算法、复数 12.5 二项分布及其应用 理1条件概率及其性质(1)一般地，设a，b为两个事件，且p(a)0，称p(b|a)为在事件a发生的条件下，事件b发生的条件概率在古典概型中，若用n(a)表示事件a中基本事件的个数，则p(b|a).(2)条件概率具有的性质0p(b|a)1；如果b和c是两个互斥事件，则p(bc|a)p(b|a)p(c|a)2相互独立事件(1)设a，b为两个事件，若p(ab)p(a)p(b)，则称事件a与事件b相互独立(2)若a与b相互独立，则p(b|a)p(b)，p(ab)p(a)p(b|a)p(a)p(b)(3)若a与b相互独立，则a与，与b，与也都相互独立3二项分布(1)一般地，在相同条件下重复做的几次试验称为n次独立重复试验(2)一般地，在n次独立重复试验中，用x表示事件a发生的次数，设每次试验中事件a发生的概率为p，则p(xk)cpk(1p)nk，k0,1,2，n.此时称随机变量x服从二项分布，记为xb(n，p)，并称p为成功概率【知识拓展】超几何分布与二项分布的区别(1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；(2)超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取(独立重复)【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)条件概率一定不等于它的非条件概率()(2)相互独立事件就是互斥事件()(3)对于任意两个事件，公式p(ab)p(a)p(b)都成立()(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(ab)n二项展开式的通项公式，其中ap，b1p.()(5)p(b|a)表示在事件a发生的条件下，事件b发生的概率，p(ab)表示事件a，b同时发生的概率()1袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为()a. b. c. d.答案b解析第一次摸出红球，还剩2红5黑共7个小球，所以再摸到红球的概率为.2(教材改编)小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是()a. b. c. d.答案a解析所求概率pc()1(1)31.3(2015课标全国)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()a0.648 b0.432 c0.36 d0.312答案a解析3次投篮投中2次的概率为p(k2)c0.62(10.6)，投中3次的概率为p(k3)0.63，所以通过测试的概率为p(k2)p(k3)c0.62(10.6)0.630.648.故选a.4某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是_答案0.8解析已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得p0.8.5(教材改编)国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙去北京旅游的概率为，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为_答案解析记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件a，“乙去北京旅游”为事件b，又p()p()p()1p(a)1p(b)(1)(1)，“甲、乙二人至少有一人去北京旅游”的对立事件为“甲、乙二人都不去北京旅游”，故所求概率为1p()1.题型一条件概率例1(1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件a为“取到的2个数之和为偶数”，事件b为“取到的2个数均为偶数”，则p(b|a)等于()a. b. c. d.(2)如图所示，efgh是以o为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用a表示事件“豆子落在正方形efgh内”，b表示事件“豆子落在扇形ohe(阴影部分)内”，则p(b|a)_.答案(1)b(2)解析(1)p(a)，p(ab)，p(b|a).(2)ab表示事件“豆子落在oeh内”，p(b|a).引申探究1若将本例(1)中的事件b：“取到的2个数均为偶数”改为“取到的2个数均为奇数”，则结果如何？解p(a)，p(b)，又ab，则p(ab)p(b)，所以p(b|a).2在本例(2)的条件下，求p(a|b)解由题意知，eoh90，故p(b)，又p(ab)，p(a|b).思维升华条件概率的求法(1)定义法：先求p(a)和p(ab)，再由p(b|a)求p(b|a)(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件a包含的基本事件数n(a)，再求事件ab所包含的基本事件数n(ab)，得p(b|a).(2016开封模拟)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为()a. b.c. d.答案d解析方法一设事件a为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件b为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则p(a)，p(ab)，则所求概率为p(b|a).方法二第1次抽到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次抽到卡口灯泡的概率为.题型二相互独立事件的概率例2设某校新、老校区之间开车单程所需时间为t，t只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：t(分钟)25303540频数(次)20304010 (1)求t的分布列； (2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率解(1)由统计结果可得t的频率分布为t(分钟)25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得t的分布列为t25303540p0.20.30.40.1(2)设t1，t2分别表示往、返所需时间，t1，t2的取值相互独立，且与t的分布列相同，设事件a表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件a对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”方法一p(a)p(t1t270)p(t125，t245)p(t130，t240)p(t135，t235)p(t140，t230)0.210.310.40.90.10.50.91.方法二p()p(t1t270)p(t135，t240)p(t140，t235)p(t140，t240)0.40.10.10.40.10.10.09，故p(a)1p()0.91.思维升华求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算(2017青岛月考)为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度不超过22千米的地铁票价如下表：乘坐里程x(单位：km)0x66x1212x22票价(单位：元)345现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22千米已知甲、乙乘车不超过6千米的概率分别为，甲、乙乘车超过6千米且不超过12千米的概率分别为，.(1)求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；(2)设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量，求的分布列解(1)由题意可知，甲、乙乘车超过12千米且不超过22千米的概率分别为，则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率p1，所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率p1p11.(2)由题意可知，6,7,8,9,10，则p(6)，p(7)，p(8)，p(9)，p(10).所以的分布列为678910p题型三独立重复试验与二项分布命题点1根据独立重复试验求概率例3甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立(1)分别求甲队以30,31,32胜利的概率；(2)若比赛结果为30或31，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为32，则胜利方得2分，对方得1分求乙队得分x的分布列解(1)设“甲队以30,31,32胜利”分别为事件a，b，c，则p(a)，p(b)c2，p(c)c22.(2)x的可能取值为0,1,2,3，则p(x0)p(a)p(b)，p(x1)p(c)，p(x2)c22，p(x3)3c2.故x的分布列为x0123p命题点2根据独立重复试验求二项分布例4一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得200分)设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立(1)设每盘游戏获得的分数为x，求x的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？解(1)x可能的取值为10,20,100，200.根据题意，有p(x10)c12，p(x20)c21，p(x100)c30，p(x200)c03.所以x的分布列为x1020100200p(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件ai(i1,2,3)，则p(a1)p(a2)p(a3)p(x200).所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1p(a1a2a3)131.因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是.思维升华独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略(1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率(2016沈阳模拟)某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖甲、乙、丙三名老师都有“获奖”、“待定”、“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和x的分布列解(1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”这一事件为a，则事件a包括：该节目可以获两张“获奖”票，或者获三张“获奖”票甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响，p(a)c()2()1c()3.(2)所含“获奖”和“待定”票票数之和x的值为0,1,2,3.p(x0)()3，p(x1)c()1()2，p(x2)c()2()1，p(x3)()3.因此x的分布列为x0123p18独立事件与互斥事件典例(1)中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率是，乙夺得冠军的概率是，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为_(2)某射手每次射击击中目标的概率都是，这名射手射击5次，有3次连续击中目标，另外两次未击中目标的概率是_错解展示解析(1)设“甲夺得冠军”为事件a，“乙夺得冠军”为事件b，则p(a)，p(b)，由a、b是相互独立事件，得所求概率为p(a)p(b)p(ab).(2)所求概率pc()3()2.答案(1)(2)现场纠错解析(1)设“甲夺得冠军”为事件a，“乙夺得冠军”为事件b，则p(a)，p(b).a、b是互斥事件，p(ab)p(a)p(b).(2)设“第i次射击击中目标”为事件ai(i1,2,3,4,5)，“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件a，则p(a)p(a1a2a345)p(1a2a3a45)p(12a3a4a5)32323.答案(1)(2)纠错心得(1)搞清事件之间的关系，不要混淆“互斥”与“独立”(2)区分独立事件与n次独立重复试验.1把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件a，“第二次出现正面”为事件b，则p(b|a)等于()a. b. c. d.答案a解析由古典概型知p(a)，p(ab)，则由条件概率知p(b|a).2(2016长春模拟)一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了x次球，则p(x12)等于()ac()10()2 bc()9()2cc()9()2 dc()10()2答案d解析“x12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此p(x12)c()9()2c()10()2.3已知a，b是两个相互独立事件，p(a)，p(b)分别表示它们发生的概率，则1p(a)p(b)是下列哪个事件的概率()a事件a，b同时发生b事件a，b至少有一个发生c事件a，b至多有一个发生d事件a，b都不发生答案c解析p(a)p(b)是指a，b同时发生的概率，1p(a)p(b)是a，b不同时发生的概率，即事件a，b至多有一个发生的概率4甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为()a. b.c. d.答案a解析设“甲命中目标”为事件a，“乙命中目标”为事件b，“丙命中目标”为事件c，则击中目标表示事件a，b，c中至少有一个发生又p()p()p()p()1p(a)1p(b)1p(c).故目标被击中的概率p1p().5(2017南昌质检)设随机变量x服从二项分布xb(5，)，则函数f(x)x24xx存在零点的概率是()a. b. c. d.答案c解析函数f(x)x24xx存在零点，164x0，x4.x服从xb(5，)，p(x4)1p(x5)1.6(2016安徽黄山屯溪一中月考)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以a1，a2和a3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以b表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是()ap(b)b事件b与事件a1相互独立cp(b|a1)dp(b)的值不能确定，它与a1，a2，a3中哪一个发生都有关答案c解析由题意a1，a2，a3是两两互斥的事件，p(a1)，p(a2)，p(a3)，p(b|a1)，由此知，c正确；p(b|a2)，p(b|a3)，而p(b)p(a1b)p(a2b)p(a3b)p(a1)p(b|a1)p(a2)p(b|a2)p(a3)p(b|a3).由此知a，d不正确故选c.7设随机变量xb(2，p)，随机变量yb(3，p)，若p(x1)，则p(y1)_.答案解析xb(2，p)，p(x1)1p(x0)1c(1p)2，解得p.又yb(3，p)，p(y1)1p(y0)1c(1p)3.8如图所示的电路有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为_答案解析灯泡甲亮满足的条件是a，c两个开关都开，b开关必须断开，否则短路设“a闭合”为事件a，“b闭合”为事件b，“c闭合”为事件c，则甲灯亮应为事件ac，且a，b，c之间彼此独立，且p(a)p(b)p(c)，由独立事件概率公式知p(ac)p(a)p()p(c).9(2017广州月考)设事件a在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件a至少发生一次的概率为，则事件a恰好发生一次的概率为_答案解析设事件a发生的概率为p，由题意知(1p)31，解得p，则事件a恰好发生一次的概率为c()2.10(2016荆州质检)把一枚硬币任意抛掷三次，事件a“至少一次出现反面”，事件b“恰有一次出现正面”，则p(b|a)_.答案解析由题意知，p(ab)，p(a)1，所以p(b|a).11现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用x，y分别表示这4个人中去参加甲，乙游戏的人数，记|xy|，求随机变量的分布列解(1)依题意知，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有k人去参加甲游戏”为事件ak(k0,1,2,3,4)则p(ak)ck4k.这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为p(a2)c22.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件b，则ba3a4.由于a3与a4互斥，故p(b)p(a3)p(a4)c3c4.所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.(3)的所有可能取值为0,2,4.由于a1与a3互斥，a0与a4互斥，故p(0)p(a2)，p(2)p(a1)p(a3)，p(4)p(a0)p(a4).所以的分布列是024p12.(2016西安模拟)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1)设x表示在这块地上种植1季此作物的利润，求x的分布列；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率解(1)设a表示事件“作物产量为300 kg”，b表示事件“作物市场价格为6 元/kg”，由题设知p(a)0.5，p(b)0.4，因为利润产量市场价格成本所以x所有可能的取值为500101 0004 000,50061 0002 000，300101 0002 000,30061 000800.p(x4 000)p()p()(10.5)(10.4)0.3，p(x2 000)p()p(b)p(a)p()(10.5)0.40.5(10.4)0.5，p(x800)p(a)p(b)0.50.40.2，故x