高中数学 第二章 圆锥曲线 2.3 面与平面的截面 2.4 面截圆锥面学案 北师大版选修4-1.doc

2.3 面与平面的截面2.4 面截圆锥面课标解读1.了解柱面、旋转面、圆锥面的形成过程2.了解平面截圆柱面所得交线为圆或椭圆3.了解平面截对顶圆锥面所得交线为圆、椭圆、双曲线和抛物线.1柱面与平面的截面(1)柱面、旋转面圆柱面 如图231所示，圆柱面可以看成是一个矩形abcd以一边cd所在的直线为轴，旋转一周后ab边所形成的曲面图231旋转面如图231所示，平面上一条曲线c绕着一条直线l旋转一周后所形成的曲面称为旋转面(2)垂直截面用垂直于轴的平面截圆柱面，所得的交线为一个圆(3)一般截面当截面与圆柱面的轴不垂直时，所得交线为椭圆2平面截圆锥面(1)圆锥面取直线l为轴，直线l与l相交于点o，其夹角为(090)，l绕l旋转一周得到一个以o为顶点，l为母线的圆锥面(2)垂直截面当截面与圆锥面的轴垂直时，所得的交线是一个圆(3)一般截面定理：在空间，直线l与l相交于点o，其夹角为，l绕l旋转一周得到以o为顶点，l为母线的圆锥面，任取平面，若它与轴l的交角为，则当时，平面与圆锥面的交线为椭圆；当时，平面与圆锥面的交线为抛物线；当时，平面与圆锥面的交线为双曲线1平面截圆柱面，与圆柱面的轴的夹角变化，所截出的椭圆有什么变化？【提示】变化不影响椭圆的短轴，越小，长轴越长，椭圆越扁，离心率越大2试研究以过抛物线的焦点的弦为直径的圆与抛物线的准线的位置关系【提示】如图，弦ab过焦点f，设其中点为p，a、b、p在抛物线准线l上的射影分别为a、b、p，则pp为梯形aabb的中位线，pp(aabb)，又由抛物线定义可知，aabbafbfab，以弦ab为直径的圆与l相切3若平面与圆柱面轴的夹角为，圆柱面的半径为r，则平面截圆柱面所得的椭圆的长轴长2a，短轴长2b，离心率e的值如何用、r表示？【提示】由两焦球球心距离等于截得椭圆的长轴长，故2a，椭圆的短轴长2b2r，离心率ecos .平面与圆柱面交线性质的应用圆柱的底面半径为5，高为5，若一平行于轴的平面截圆柱得一正方形，求轴到截面的距离【思路探究】将题目中给出的关系转化为线面关系求解【自主解答】如图所示，abcd为边长为5的正方形，连接oc、od，ocd为等边三角形设cd的中点为e，连接oe，则oecd，且oe，又ad上底面，adoe，故oe平面abcd，故oe为轴到截面的距离，轴到截面的距离为.1解答本题时，应根据线面关系作出线面距2当圆柱面的截面平行于轴或垂直于轴时，利用点、线、面关系可解决图232如图232所示，圆柱面的母线长为2 cm，点o，o分别是上、下底面的圆心若oaob，oa1 cm.求：(1)oo与ab所成的角的正切值；(2)过ab与oo平行的截面面积；(3)o到截面的距离【解】(1)设过a的母线为aa，则ooaa，ooaa是矩形易知oba是等腰直角三角形，ab.又aa2，oo与ab所成的角为baa，tan baa.(2)所求截面为矩形aabb，面积等于2 cm2.(3)o到截面的距离即oo到截面的距离，也是o到截面的距离为 cm.平面与圆锥面交线性质的应用图233如图233所示，ab、cd是圆锥面的正截面(垂直于轴的截面)上互相垂直的两条直线，过cd和母线vb的中点e作一截面已知圆锥侧面展开图扇形的中心角为，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么曲线【思路探究】求圆锥顶角求voe结论：抛物线【自主解答】设o的半径为r，母线vbl，则圆锥侧面展开图的中心角为，sinbvo.圆锥的母线与轴的夹角bvo.o、e分别是ab、vb的中点，oeva.voeavobvo，veo，即veoe.又abcd，vocd，cd平面vab.ve平面vab，vecd.又oecdo，ve平面cde，oe是vo在平面cde上的射影voe是截面与轴线的夹角，截面轴线夹角大小为.由圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，知截面cde与圆锥面的截线为一抛物线1解答本题的关键是求出截面与轴的夹角以及母线与轴的夹角2判断平面与圆锥面交线形状的方法(1)求圆锥面的母线与轴线的夹角，截面与轴的夹角；(2)判断与的大小关系；(3)根据定理判断截线是什么曲线图234如图234所示，平面abc是圆锥面的正截面，pab是圆锥的轴截面，已知apc60，bpc90，pa4.(1)求二面角apcb的余弦值；(2)求正截面圆圆心o到平面pac的距离【解】(1)apc60，apc为等边三角形如图所示，分别取pc，bc的中点d，e，连接ad，de，则adpc，depb.又pbpc，depc.故ade为二面角apcb的平面角连接ae，在rtace中，求得ae224.又adpa2，depb2，在ade中，由余弦定理，得cosade.(2)取ac的中点f，连接pf，of，则ac平面pof，从而平面pac平面pof.过o点作ohpf，垂足为h，则oh平面pac，故oh的长为o点到平面pac的距离在rtacb中，acpa4，bcpb4，从而ab4，op2.在rtpof中，ofbc2，op2，pfpa2，由面积关系，得oh.即o点到平面pac的距离为.(教材第39页练习题23b组第1题)在教材第38页图218中，设圆kk所在的平面为，平面与的交线为直线m，试证明：椭圆上任意一点p到f1和直线m的距离之比为一个常数(记为e)，且0e1.(2013沈阳质检)如图235，已知两焦点的距离f1f22c，两端点g1g22a.求证：l1与l2之间的距离为.图235【命题意图】本题考查平面与圆柱面的交线及椭圆的定义与离心率【证明】设椭圆上任意一点p，过p作pq1l1于q1，过p作pq2l2于q2.e，pf1pq1，pf2pq2.由椭圆定义pf1pf22a，pq1pq22a.pq1pq2，即l1与l2之间的距离为.1一个平面和圆柱面的轴成角(090)，则同时与圆柱面和该平面都相切的球的个数为()a0b1c2 d由的不同而定【解析】由焦球的定义知，符合定义的球有2个【答案】c2用一个过圆锥面顶点的平面去截圆锥面，则交线为()a椭圆 b双曲线c抛物线 d两条相交直线【解析】所得交线为圆锥面的两条母线【答案】d3圆锥面的母线与轴线成角，过顶点的平面和轴线成角，且与圆锥面的交线是椭圆，则和的大小关系为_【解析】由平面截圆锥面的定理知.【答案】4在圆锥的内部嵌入dandelin双球，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面和圆锥面均相切，则两切点是所得圆锥曲线的_【解析】根据焦球的定义知，两切点是所得圆锥曲线的焦点【答案】两焦点一、选择题1用一个平面去截一个圆柱面，其交线是()a圆b椭圆c两条平行线 d以上均可能【解析】当平面垂直于圆柱面的轴时，交线为圆；当平面与圆柱面的轴平行时，交线为两条平行线，当平面与圆柱面的轴不平行也不垂直时，交线为椭圆，故选d.【答案】d2一个圆锥轴截面的顶角为120，母线长为1，过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为()a. b.c. d.【解析】设截面两母线的夹角为，则0120，当90时，截面面积s最大，此时s11sin 90.【答案】a3已知半径为2的圆柱面，一平面与圆柱面的轴线成45角，则截线椭圆的焦距为()a2 b2c4 d4【解析】由2a4，a2，b2，c2，故焦距为4.【答案】c4已知圆锥面的轴截面为等腰直角三角形，用一个与轴线成30角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线的离心率为()a. b.c. d.【解析】圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以母线与轴线的夹角45；又截面与轴线的夹角30，即，截线是双曲线，其离心率e.【答案】a二、填空题5已知圆锥面的母线与轴成44角，用一个与轴线成44角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所截得的交线是_【解析】根据平面截圆锥面定理知，交线为抛物线【答案】抛物线6一平面截半径为3的圆柱面得椭圆，若椭圆的dandelin双球的球心距离为10，则截面与圆柱面母线夹角的余弦值为_【解析】dandelin双球球心距离即为椭圆的长轴长，2a10，即a5，又椭圆短轴长2b6，b3.c4.故离心率e，cos ，故截面与母线所成角的余弦值为.【答案】三、解答题7已知圆柱面轴线上一点o到圆柱的同一条母线上两点a、b的距离分别为2和3，且aob45.求圆柱面内切球的半径【解】右图所示为圆柱面的轴截面依题意，oa2，ob3，aob45，ab2oa2ob22oaobcos 4541822310，ab.设内切球的半径为r，则saobabrr.又soaboaobsinaob23sin 453，r3，r，即圆柱面内切球半径为.8已知圆锥面s，母线与轴线所成的角为45，在轴线上取一点c，使sc5，过点c作一平面与轴线的夹角为30，所截得的曲线是什么样的图形？求出dandelin双球的半径【解】由已知45，30.，截线是双曲线设dandelin双球中其中一球的半径为r，球心为o.则sor，oc2r，scsooc(2)r.又sc5，r.设dandelin双球另一球的半径为r，球心为o.则oo(rr)又截面与轴线的夹角为30，rroo(rr)，r(32)r，即dandelin双球半径分别为，.图2369在阳光照射下，地面上篮球的影子是个椭圆，如图236所示，求证：篮球与地面的接触点是椭圆的焦点【证明】如图，作篮球与影子的纵截面图，m为球心，d为篮球与地面的接触点，易知mda1a2，mdb.因为光线ea1fa2，且ea1，fa2，a1a2均与圆m相切，所以ma1dma2d90，所以a1ma290，于是moa1oa2oa.于是odc，所以d是椭圆的一个焦点10.如图，圆柱被平面