2014广东理数真题及答案.pdf

官网 本资料由夏越教育收集整编 版权归原作者所有 1 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 数学 理科 一一 选择题 本大题共 选择题 本大题共 8 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 40 分分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题 目要求的 目要求的 1 已知集合 1 0 1 0 1 2 MN 则MN A 1 0 1 B 1 0 1 2 C 1 0 2 D 0 1 答案 B 2 已知复数z满足 34 25 i z 则z A 34i B 34i C 34i D 34i 答案 A 3 若变量 x y满足约束条件12 1 yx xyzxy y 且的最大值和最小值分别为M和m 则Mm A 8 B 7 C 6 D 5 答案 C 4 若实数k满足09 k 则曲线 22 1 259 xy k 与曲线 22 1 259 xy k 的 A 离心率相等 B 虚半轴长相等 C 实半轴长相等 D 焦距相等 答案 D 5 已知向量 1 0 1 a 则下列向量中与a成60 夹角的是 A 1 1 0 B 1 1 0 C 0 1 1 D 1 0 1 答案 B 6 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示 为了该地区中小学生的近视形成原因 用分 层抽样的方法抽取2 的学生进行调查 则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是 图图 1 1 图图 2 2 A 200 20 B 100 20 C 200 10 D 100 10 答案 A 7 若空间中四条两两不同的直线 1234 l l l l满足 122334 ll ll ll 则下面结论一定正确的是 A 14 ll B 14 ll C 14 l l既不垂直也不平行 D 14 l l的位置关系不确定 小学生 3500 名 初中生 4500 名 高中生 2000 名 小学 初中 30 高中 10 年级 50 O 近视率 官网 本资料由夏越教育收集整编 版权归原作者所有 2 答案 D 8 设集合 12345 1 0 1 1 2 3 4 5 i Ax x x x xxi 那么集合A中满足条件 1234 1xxxx 5 3x 的元素个数为 A 60 B 90 C 120 D 130 答案 D 解析 根据题意分以下几种情况 1 绝对值之和为1的情况 11 55 10AA 2 绝对值之和 为2的情况 222 555 40CCA 3 绝对值之和为3的情况 331212 555454 80CCC CC C 所以一共有130 个 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 小题 考生作答小题 考生作答 6 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 30 分 分 一 必做题 9 13 题 9 不等式125xx 的解集为 答案 32x xx 或 10 曲线 5 2 x ye 在点 0 3 处的切线方程为 答案 530 xy 11 从0 1 2 3 4 5 6 7 8 9中任取七个不同的数 则这七个数的中位数是6的概率为 答案 1 6 解析 33 63 3 10 1 6 C C C 12 在ABC 中 角 A B C所对应的边分别为 a b c 已知coscos2bCcBb 则 a b 答案 2 13 若等比数列 n a的各项均为正数 且 5 1011912 2a aa ae 则 1220 lnlnlnaaa 答案 50 二 选做题 14 15 题 考生从中选做一题 14 坐标系与参数方程选做题 在极坐标系中 曲线 1 C和 2 C的方程分别为 2 sincos 和sin1 以 极点为平面直角坐标系的原点 极轴为x轴正半轴 建立平面直角坐标系 则曲线 1 C和 2 C交点的直角坐标 为 答案 1 1 15 几何证明选讲选做题 如图3 在平行四边形ABCD中 点E在 AB上且2EBAE AC与DE交于点F 则 CDF AEF 的面积 的面积 图图 3 3 答案 9 C E A B F D 官网 本资料由夏越教育收集整编 版权归原作者所有 3 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 满分小题 满分 80 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分 12 分 已知函数 sin 4 f xAxxR 且 53 122 f 1 求A的值 2 若 3 2 ff 0 2 求 3 4 f 答案 1 由已知 55233 sinsin 12124322 fAAA 所以3A 2 由 1 知 3sin 4 f xx 所以 3sin3sin 44 3sin3sin 44 3 sincoscos sin3 sincoscossin 4444 3 2 3sincos6cos 42 ff 解得 6 cos 4 又因为0 2 所以 2 10 sin1cos 4 所以 3330 3sin3sin3sin 4444 f 17 本小题满分 13 分 随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数 单位 件 获得数据如下 30 42 41 36 44 40 37 37 25 45 29 43 31 36 49 34 33 43 38 42 32 34 46 39 36 根据上述数据得到样本的频率分布表如下 分组 频数 频率 25 30 3 0 12 30 35 5 0 20 35 40 8 0 32 40 45 1 n 1 f 45 50 2 n 2 f 1 确定样本频率分布表中 121 n nf和 2 f的值 2 根据上述频率分布表 画出样本频率分布直方图 3 根据样本频率分布直方图 求在该厂任取4人 至少有1人的日加工零件数落在区间 30 35 的概率 官网 本资料由夏越教育收集整编 版权归原作者所有 4 答案 1 1212 72 7 2 0 28 0 08 2525 nnff 2 如图 略 3 设在该厂任取 4 人 没有一个人的日加工零件数落在区间 30 35为事件A 则至少一个人的日加工 零件数落在区间 30 35为事件A 由已知 该厂每个人的日加工零件数落在区间 30 35的概率为 51 255 所以 4 0 4 1256 1 5625 P A C 所以 369 1 625 P AP A 所以在该厂任取 4 人 至少有 1 人的日加工零件数落在区间 30 35的概率为 369 625 18 本小题满分 13 分 如图4 四边形ABCD为正方形 PD 平面ABCD 0 30DPC AFPC 于点F FECD 交PD 于点E 1 证明 CFADF 平面 2 求二面角DAFE 的余弦值 图图 4 4 图图 5 5 答案 1 因为ABCD为正方形 所以ADDC 且PD 平面ABCD 而AD 平面ABCD 所以 PDAD 因为DCPDD DC PD 平面PDC 所以AD 平面PDC 因为CF 平面PDC 所以ADCF 又因为AFPC 即AFCF 且ADAFA AD AF 平面ADF 所以CF 平面ADF 2 如图 5 以D为坐标原点 DE为x轴 DC为y轴 DA为z轴 建立如图空间之间坐标系Dxyz 由 1 知 CF 平面ADF 且DF 平面ADF 所以CFDF 设正方形ABCD的边长为2a 因为30DPC 所以2 3 4PDa PCa 在Rt DCF 中 3CFa DFa 又因为FECD 所以 33 22 DEa EFa A B C D E F p A B C D E F P x y z 官网 本资料由夏越教育收集整编 版权归原作者所有 5 所以 333 0 0 2 0 2 0 0 0 0 222 AaCaEaFaa 33 0 0 0 2 22 EFaAEaa 由 1 知 31 0 22 CFaa 为平面ADF的一个法向量 设平面AEF的一个法向量为 111 nx y z 由 0 0 n EF n AE 得 1 11 3 0 2 3 20 2 a y a xa z 令 1 2x 解得 1 1 1 2 0 3 2 x y z 所以法向量 3 2 0 2 n 所以 32 57 cos 1919 2 n CFa n CF nCF a 设二面角DAFE 的平面角为 则 2 57 cos 19 19 本小题 14 分 设数列 n a的前n项和为 n S 满足 2 1 234 nn Snann nN 且 3 15S 1 求 123 a a a的值 2 求数 列 n a的通项公式 答案 1 当1n 时 1122 23427aSaa 即 12 27aa 当2n 时 212 Saa 33 4128420aa 即 123 420aaa 又因为 3123 15Saaa 解 得 12 3 5 aa 3 7a 2 当2n 时 2 2 11 234213141 nnnn SnannSnann 由 得 1 22161 nnn ananan 整理得 1 221612 nn nanann 经检验 当1n 时 21 27aa 也适合上式 所以 1 22161 nn nanan 由 1 猜想数列 n a的通项公式为21 n an 以下用数学归纳法证明 官网 本资料由夏越教育收集整编 版权归原作者所有 6 1 当1n 时 1 2 1 13a 满足该通项公式 成立 2 当 nk kN 时 假设21 k ak 成立 代入 式 可得 1 22161 kk kakak 化简得 1 23211 k akk 即当1nk 时 假设也成立 综上 对于 nN 归纳假设成立 所以数列 n a的通项公式为21 n an 20 本小题满分 14 分 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的一个焦点为 5 0 离心率为 5 3 1 求椭圆C的标准方程 2 若动点 00 P xy为椭圆外一点 且点P到椭圆C的两条切线相互垂直 求点P的轨迹方程 答案 1 因为椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的一个焦点为 5 0 所以5c 又因为 5 3 e 所 以3a 22 952bac 所以椭圆C的方程为 22 1 94 xy 2 解法一 若点P到椭圆C的两条切线中 一条切线斜率为零 一条切线斜率不存在时 P点的恒 纵坐标满足 00 3 2xy 若点P到椭圆C的两条切线斜率存在 且不为零时 设其中一条斜率为 0 k k 切点为A 另一条切线斜率为 1 k 切点为B 设PA的方程为ykxm 解 22 1 94 ykxm xy 消y得 222 94 189360kxkmxm 令0 得 22 94mk 设PA的方程为 1 yxn k 同理可解得 2 2 9 4n k 解 1 y k x m yx n k 得 2 2 2 1 1 nm k x k nkm y k 令 0 2 2 0 2 1 1 nm k x k nkm y k 化简整理得 222 22 00 2 1 n km xy k 代入 得 22 00 13xy 对 00 3 2xy 也满足 所以P的轨迹方程为 22 13xy 官网 本资料由夏越教育收集整编 版权归原作者所有 7 解法二 1 由已知5c 因为离心率 5 3 c e a 所以5a 所以 222 4bac 则椭圆C的标准方程为 22 1 94 xy 2 若过P点与椭圆相切的两条直线中一条直线的斜率为0 另一条直线的斜率不存在 显然此时P点坐标为 3 23 23 23 2 或或或 若这两条切线的斜率均存在且不为零时 设其中一条切线为 100 lyyk xx 即 100 lykxykx 则由已知 另一条切线为 0 20 1 x lyxy kk 因为直线 1 l与椭圆C相切 联立 00 22 1 94 ykxykx xy 消去y 整理得 2 22 0000 94189360kxk ykxxykx 得到判别式 22 222 0000 184 9 49360kykxkykx 整理得 2 2 0 94ykxk 又因为直线 2 l与椭圆C相切 同理可得 2 0 0 2 9 4 x y kk 2 k 得 22 2 000 131ykxkyxk 整理得 22 13xy 经检验 点 3 23 23 23 2 或或或均符合上述方程 所以动点P的轨迹方程为 22 13xy 21 本小题满分 14 分 设函数 222 1 2 2 2 3 f x xxkxxk 其中2k 1 求函数 f x的定义域D 用区间表示 2 讨论 f x在区间D上的单调性 3 若6k 求D上满足条件 1 f xf 的x的集合 答案 1 令 222 2 2 2 30 xxkxxk 则 22 2 1 2 30 xxkxxk 官网 本资料由夏越教育收集整编 版权归原作者所有 8 所以 2 23xxk 或 2 21xxk 当 2 23xxk 时 即 2 230 xxk 44 3 k 4 2 0k 解得1 2 1 2 kxk 当 2 21xxk 时 即 2 210 xxk 44 1 4 2 0kk 解得1 2 xk 或1 2 xk 综上 所以 f x的定义域D为 1 2 1 2 1 2 1 2 kkkk 2 设 2 2txxk 由 1 知 1 当12xk 时 此时t为关于x的二次函数 t在该区间上单调递减 而 2 23tt 为关于t的二次 函数 此时1t 故 2 2 2314ttt 在该区间上单调递增 则 2 1 23tt 关于t在区间1t 上单调递 减 根据复合函数的单调性 函数 f x在区间 12k 上单调递增 2 当121kx 时 此时t为关于x的二次函数 t在该区间上单调递减 而