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第二节 复数的几何表示 第一章 一 复数的几何表示 二 模和辐角 一 复数的几何表示 1 用复平面上的点表示复数 2 2 z 2 2i 虚轴 实轴 注意 复数z 点z 向量z可视为同一个概念 2 用复平面上的向量表示复数 向量与复数一一对应 故用它表示复数 z与z在复平面上关于实轴对称 容易看出 二 复数的模和幅角 记作 复数z的模 向量的长度 注意 向量的方向角 2 0的模为零 0的辐角不确定 记作 满足的那个幅角 记作 复数z的辐角 3 复数z的幅角主值 于是幅角与幅角主值的关系 幅角主值的计算 若z在第一 四象限 若z在第二 三象限 若 若 由于z位于第二象限 解 1 模为 解 由于z位于第三象限 两复数的加减运算满足向量的平行四边形法则 例2证明复平面上的三角不等式 证 例3 求下列在复平面上所表示的曲线 解 i 化简后得 利用直角坐标与极坐标的关系 则z也可以表示成 再利用欧拉公式 三 复数的三角表示和指数表示 则z也可以表示成 复数的三角表示式 复数的指数表示式 解 复数的三角表示式为 复数的指数表示式为 习惯上取主辐角 例4 2020 3 17 14 可编辑 例5将下列复数化为三角表示式与指数表示式 解 故三角表示式为 指数表示式为 1 复数的模 辐角 幅角主值 2 复数的各种表示法 内容小结 各种表示法可相互转化 1 是否任意复数都有辐角 思考题 它的模为零而辐角不确定 作业 习题一 1 2 4 2 4 1 6 7 8 3 4 5 例4 解 所以它的复数形式的参数方程为 复方程 例5 求下列复方程所表示的曲线 代入复方程得 二 复球面 1 南极 北极的定义 球面上的点 除去北极N外 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系 我们可以用球面上的点来表示复数 规定 复数中有一个唯一的 无穷大 与复平面上的无穷远点相对应 记作 因而球面上的北极N就是复数无穷大 的几何表示 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应 这样的球面称为复球面 2 复球面的定义 3 扩充复平面的定义 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面 或简称复平面 对于复数 来说 实部 虚部 辐角等概念均无意义 它的模规定为正无穷大 复球面的优越处 能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来 为了用球面上的点来表示复数 引入了无穷远点 无穷远点与无穷大这个复数相对应 所谓无穷大是指模为正无穷大
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