2009年高考数学理科试题(全国1卷)(有解析).doc

硕学在线 精品奉献 010 80782175 硕学在线网精品资料 硕学在线 版权所有 09 年全国卷 理科数学试题全析全解 一 河北望都中学 汤敏军 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 必修 选修 本试卷分第错误 未找到引用源 卷 选择题 和第错误 未找到引用源 卷 非选择题 两部 分 第错误 未找到引用源 卷 1 至 2 页 第错误 未找到引用源 卷 3 至 4 页 考试结束后 将本试 卷和答题卡一并交回 第 卷 考生注意 1 答题前 考生在答题卡上务必用 0 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考证号 填写清楚 并贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 2 每小题选出答案后 用 2 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净 后 再选涂其他答案标号 在试题卷上作答无效 3 本卷共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求 的 参考公式 如果事件互斥 那么球的表面积公式AB P ABP AP B 2 4 SR 如果事件相互独立 那么其中表示球的半径AB R 球的体积公式 P A BP A P B AA 如果事件在一次试验中发生的概率是 那么AP 3 4 3 VR 次独立重复试验中恰好发生次的概率其中表示球的半径高 考 资 一 选择题nkR 1 设集合 A 4 5 7 9 B 3 4 7 8 9 全集 U AB 则集合中的元素共有 u AB I A A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 解 故选 A 也可用摩根律 3 4 5 7 8 9 AB 4 7 9 3 5 8 U ABCAB UUU CABC AC B 2 已知 2 i 则复数 z B 1i Z A 1 3i B 1 3i C 3 i D 3 i 解 故选 B 1 2 1 3 1 3ziiizi 硕学在线 精品奉献 010 80782175 硕学在线网精品资料 硕学在线 版权所有 3 不等式 1 的解集为 D 1 1 X X A x B 011xx x 01xx C D 10 xx 0 x x 解 验 x 1 即可 4 设双曲线 a 0 b 0 的渐近线与抛物线 y x2 1 相切 则该双曲线的离心率等于 C 22 22 1 xy ab A B 2 C D 356 解 设切点 则切线的斜率为 由题意有又 00 P xy 0 0 2 x x yx 0 0 0 2 y x x 2 00 1yx 解得 22 0 1 2 1 5 bb xe aa 5 甲组有 5 名男同学 3 名女同学 乙组有 6 名男同学 2 名女同学 若从甲 乙两组中各选出 2 名同 学 则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 D A 150 种 B 180 种 C 300 种 D 345 种 解 分两类 1 甲组中选出一名女生有种选法 112 536 225CCC 2 乙组中选出一名女生有种选法 故共有 345 种选法 选 D 211 562 120CCC 6 设 是单位向量 且 0 则的最小值为 D abcab acbc A B C D 2 22 1 12 解 是单位向量 a b c 2 acbca bab cc AA 故选 D 12cos 121 abcab c A 7 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等 在底面 111 ABCABC 1 A 上的射影为的中点 则异面直线与所成的角的余弦值ABCBCAB 1 CC 为 D A B C D 3 4 5 4 7 4 3 4 B C B C A1 1 1 A D 硕学在线 精品奉献 010 80782175 硕学在线网精品资料 硕学在线 版权所有 解 设的中点为 D 连结D AD 易知即为异面直线与所成的角 由三角余BC 1 A 1 A AB AB 1 CC 弦定理 易知 故选 D 1 1 3 cocs 4 oscos AD AD A ADDAB A A AB 8 如果函数的图像关于点中心对称 那么的最小值为 A A cos 2yx 3 4 3 0 6 B C D 4 3 2 解 函数的图像关于点中心对称 cos 2yx 3 4 3 0 由此易得 故选 A 4 2 32 k 13 6 kkZ min 6 9 已知直线 y x 1 与曲线相切 则 的值为 B yln xa A 1 B 2 C 1 D 2 解 设切点 则 又 00 P xy 0000 ln1 yxayx 0 0 1 1 x x y xa 故答案选 B 000 10 12xayxa 10 已知二面角 l 为 动点 P Q 分别在面 内 P 到 的距离为 Q 到 的距60o3 离为 则 P Q 两点之间距离的最小值为 C 2 3 A B 2 C D 4 2 3 解 如图分别作 QAA AClC PBB 于于于 连PDlD 于 60 CQ BDACQPBD 则 2 3 3AQBP 2ACPD 又 222 122 3PQAQAPAP 当且仅当 即重合时取最小值 故答案选 C 0AP AP点与点 11 函数的定义域为 R 若与都是奇函数 则 D f x 1 f x 1 f x A 是偶函数 B 是奇函数 C D 是奇函数 f x f x 2 f xf x 3 f x 硕学在线 精品奉献 010 80782175 硕学在线网精品资料 硕学在线 版权所有 解 与都是奇函数 1 f x 1 f x 1 1 1 1 fxf xfxf x 函数关于点 及点对称 函数是周期的周期函数 f x 1 0 1 0 f x2 1 1 4T 即是奇函数 故选 D 14 14 fxf x 3 3 fxf x 3 f x 12 已知椭圆的右焦点为 右准线为 点 线段交于点 若 2 2 1 2 x Cy FlAl AFCB3FAFB 则 AF A B 2 C D 3 23 解 过点 B 作于 M 并设右准线 与 X 轴的交点为 N 易知 FN 1 由题意 故 BMl l3FAFB 2 3 BM 又由椭圆的第二定义 得 故选 A 2 22 233 BF 2AF 第 II 卷 二 填空题 13 的展开式中 的系数与的系数之和等于 10 xy 73 x y 37 x y 解 373 101010 2240CCC 14 设等差数列的前项和为 若 则 n an n S 9 72S 249 aaa 解 是等差数列 由 得 n a 9 72S 59 9 Sa 5 8a 2492945645 324aaaaaaaaaa 15 直三棱柱的各顶点都在同一球面上 若 则此球 111 ABCABC 1 2ABACAA 120BAC 的表面积等于 解 在中 可得 由正弦定理 可得外接圆半径 r 2 设ABC 2ABAC 120BAC 2 3BC ABC 此圆圆心为 球心为 在中 易得球半径 故此球的表面积为 O ORT OBO 5R 2 420R 16 若 则函数的最大值为 42 x 3 tan2 tanyxx 解 令 tan xt 1 42 xt 硕学在线 精品奉献 010 80782175 硕学在线网精品资料 硕学在线 版权所有 44 3 22 2 422 2tan2222 tan2 tan8 111111 1tan1 244 xt yxx xt ttt 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 注意 在试题卷上作答无效 在中 内角 A B C 的对边长分别为 已知 且ABC abc 22 2acb 求 b sincos3cossin ACAC 分析 此题事实上比较简单 但考生反应不知从何入手 对已知条件 1 左侧是二次的右侧 22 2acb 是一次的 学生总感觉用余弦定理不好处理 而对已知条件 2 过多的关注两sincos3cossin ACAC 角和与差的正弦公式 甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差 导致找不到突破口而失分 解法一 在中则由正弦定理及余弦定理有 ABC sincos3cossin ACAC 化简并整理得 又由已知 222222 3 22 abcbca ac abbc AA 222 2 acb 22 2acb 解得 2 4bb 40 bb 或舍 解法二 由余弦定理得 又 222 2cosacbbcA 22 2acb 0b 所以 2 cos2bcA 又 sincos3cossinACAC sincoscossin4cossinACACAC 即sin 4cossinACAC sin4cossinBAC 由正弦定理得 故 sinsin b BC c 4 cosbcA 由 解得 4b 评析 从 08 年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查 在备考中应注意总结 提高自己对问题 的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力 另外提醒 两纲中明确不再考的知识和方法了解就行 不必强化训练 18 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 如图 四棱锥中 底面为矩形 底面SABCD ABCDSD 点 M 在侧棱上 ABCD2AD 2DCSD SC 60 ABM 硕学在线 精品奉献 010 80782175 硕学在线网精品资料 硕学在线 版权所有 I 证明 M 在侧棱的中点SC II 求二面角的大小 SAMB I 解法一 作 交于 N 作交于 E MNSDCDNEAB AB 连 ME NB 则面 MN ABCDMEAB 2NEAD 设 则 MNx NCEBx 在中 RT MEB 60MBE 3MEx 在中由RT MNE 222 MENEMN 22 32xx 解得 从而 M 为侧棱的中点 M 1x 1 2 MNSD SC 解法二 过作的平行线 MCD 解法三 利用向量处理 详细可见 09 年高考参考答案 II 分析一 利用三垂线定理求解 在新教材中弱化了三垂线 定理 这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作 二面角 过作 交于 作交于 作MMJCDSDJSHAJ AJH 交于 则 面 面HKAM AMKJMCDJM SAD 面 面即为所求二面角的补角 SAD MBASH AMB SKH 分析二 利用二面角的定义 在等边三角形中过点作交于点 则点ABMBBFAM AMF 为 AM 的中点 取 SA 的中点 G 连 GF 易证 则即为所求二面角 FGFAM GFB 分析三 利用空间向量求 在两个半平面内分别与交线 AM 垂直的两个向量的夹角即可 另外 利用射影面积或利用等体积法求点到面的距离等等 这些方法也能奏效 总之在目前 立体几何中的两种主要的处理方法 传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状 况 命题人在这里一定会照顾双方的利益 19 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 甲 乙二人进行一次围棋比赛 约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利 比赛结束 假设在一局中 甲获胜的概率为 0 6 乙获胜的概率为 0 4 各局比赛结果相互独立 已知前 2 局中 甲 乙各胜 1 局 I 求甲获得这次比赛胜利的概率 II 设表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数 求得分布列及数学期望 硕学在线 精品奉献 010 80782175 硕学在线网精品资料 硕学在线 版权所有 分析 本题较常规 比 08 年的概率统计题要容易 需提醒的是 认真审题是前提 部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分 这是很可惜的 主 要原因在于没读懂题 另外 还要注意表述 这也是考生较薄弱的环节 20 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 在数列中 n a 11 11 1 1 2 nn n n aaa n I 设 求数列的通项公式 n n a b n n b II 求数列的前项和 n an n S 分析 I 由已知有 1 1 12 nn n aa nn 1 1 2 nn n bb 利用累差迭加即可求出数列的通项公式 n b 1 1 2 2 n n b nN II 由 I 知 1 2 2 n n n an n S 1 1 2 2 n k k k k 1 11 2 2 nn k kk k k 而 又是一个典型的错位相减法模型 1 2 1 n k kn n 1 12 n k k k 易得 11 1 2 4 22 n kn k kn n S 1 n n 1 2 4 2n n 评析 09 年高考理科数学全国 一 试题将数列题前置 考查构造新数列和利用错位相减法求前 n 项和 一 改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式 具有让考生和一线教师重视教材和基础 知识 基本方法基本技能 重视两纲的导向作用 也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心 21 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 如图 已知抛物线与圆相交于 2 E yx 222 4 0 Mxyrr A 四个点 BCD I 求得取值范围 r II 当四边形的面积最大时 求对角线 的交点坐标ABCDACBDP 分析 I 这一问学生易下手 将抛物线与圆的方程联立 消 2 E yx 222 4 0 Mxyrr 去 整理得 2 y 22 7160 xxr 硕学在线 精品奉献 010 80782175 硕学在线网精品资料 硕学在线 版权所有 抛物线与圆相交于 2 E yx 222 4 0 Mxyrr A 四个点的充要条件是 方程 有两个不相等BCD 的正根即可 易得 考生利用数形结合及函数和方程 15 4 2 r 的思想来处理也可以 II 考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标 因此利用设而不求 整体代入的 方法处理 本小题是一个较好的切入点 设四个交点的坐标分别为 11 A xx 11 B xx 22 C xx 22 D xx 则由 I 根据韦达定理有 2 1212 7 16xxx xr 15 4 2 r 则 21122112 1 2 2 Sxxxxxxxx 2222 12121212 4 2 72 16 415 Sxxx xxxx xrr 令 则 下面求的最大值 2 16rt 22 72 72 Stt 2 S 方法一 利用三次均值求解 三次均值目前在两纲中虽不要求 但在处理一些最值问题有时很方便 它 的主要手段是配凑系数或常数 但要注意取等号的条件 这和二次均值类似 22 1 72 72 72 72 144 2 Sttttt 33 1 7272144128 2323 ttt 当且仅当 即时取最大值 经检验此时满足题意 72144tt 7 6 t 15 4 2 r