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3 1数乘向量 北师大版 高中数学 必修四 第二章 平面向量 阜南二中刘俊 一辆汽车以10m s的速度向东行驶 求3秒后汽车相对于起点的位移s1以及6秒后的位移s2 思考1 位移s1和s2有什么关系 问题提出 数乘向量 思考2 若汽车由起点处向西行驶 求6秒后汽车汽车相对于起点的位移s3 那么位移s1与s3有什么关系 思考1 已知向量a 作出a a a和 a a a 你能说明它们与向量a的关系吗 思考2 我们把a a a的和记作3a 那么 a a a 的和该怎么表示 知识探究 一 数乘向量的概念 思考3 一般地 实数 与向量a的乘积 a的大小和方向和与向量a有什么关系 与向量a的积仍然是一个向量 它的大小与方向规定如下 2 a的方向 当时 a与a的方向相同 当时 a与a的方向相反 当时 a 0 方向任意 0 0 0 1 a的大小为 a a 1 已知a 作出2a 4a 1 3 a 即学即练 思考1 实数乘以向量的几何意义是什么 知识探究 二 数乘向量的运算律 a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩 1 当时 表示将向量a的有向线段在原方向上伸长为原来的 倍 2 当时 表示将向量a的有向线段在相反方向上伸长为原来的 倍 3 当时 表示将向量a的有向线段在原方向上缩短为原来的 倍 4 当时 表示将向量a的有向线段在相反方向上缩短为原来的 倍 1 1 0 1 1 0 1 试指出下列各式中数乘向量的几何意义并将它们的结果表示成某个实数 乘向量a的形式 即学即练 1 1 2 3a 2 5 1 7 a 3 3a 7a 4 1 3 a 2a 思考2 设 为实数 那么 a 等于谁 a a等于谁 a a 数乘向量的结合律 a a a 数乘向量的第一分配律 思考3 向量a b 试判断 a b 与 a b是否相等 a b a b 数乘向量的第二分配律 知识探究 三 向量共线的判定定理和性质定理 思考1 设向量a为非零向量 那么向量 1 a a 与向量a有什么关系 思考2 若向量b与非零向量a共线 那么向量b能否表示成某个实数与向量a的乘积的形式 若向量b与非零向量a不共线 能否将向量b表示成某个实数与向量a的乘积的形式 思考3 对于向量b我们如何判断它与非零向量a是否共线 a是一个非零向量 若存在一个实数 使得b a 则向量b与非零向量a共线 思考4 如果向量b与非零向量a共线 那么它们具有什么样的性质 若向量b与非零向量a共线 则存在一个实数实数 使得b a 例1已知 试判断与是否共线 理论迁移 课堂小结
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