2010高考数学四川理.pdf

高考真题专家全解 1 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 四川卷 数学 理科 本试题卷分选择题和非选择题两部分 满分 150 分 考试时间 120 分钟 请考生按规定用笔讲所有试题的答案涂 写在答题纸上 一 选择题 1 i 是虚数单位 计算 i i2 i3 A 1 B 1 C i D i 解 由复数性质知 i2 1 故 i i2 i3 i 1 i 1 选 A 2 下列四个图像所表示的函数 在点 x 0 处连续的是 A B C D 解析 由图象及函数连续的性质知 D 正确 选 D 3 2log510 log50 25 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 2log510 log50 25 log5100 log50 25 log525 2 选 C 4 函数 f x x2 mx 1 的图像关于直线 x 1 对称的充要条件是 A m 2 B m 2 C m 1 D m 1 解 函数 f x x2 mx 1 的对称轴为 x 2 m 于是 2 m 1 m 2 高考真题专家全解 2 选 A 5 设点 M 是线段 BC 的中点 点 A 在直线 BC 外 2 16 BCABACABAC 则AM A 8 B 4 C 2 D 1 解法一 由 2 BC 16 得 BC 4 ABACABACBC 4 而ABACAM 故AM 2 解法二 如图所示 ABACABAC 所以在平行四边形 ABDC 中 AD ABAC BCABAC 所以 ABDC 为矩形 则4 ADBC 所以 1 2 2 AMAD 选 C 6 将函数 y sinx 的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度 再把所得各点的横坐标伸 长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得图像的函数解析式是 A sin 2 10 yx B sin 2 5 yx C 1 sin 210 yx D 1 sin 220 yx 解 将函数 y sinx 的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度 所得函数图象的解析式为 y sin x 10 M D A C B 高考真题专家全解 3 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得图像的函数解析式是 1 sin 210 yx 选 C 7 某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品 由乙车间加工出 B 产品 甲车间加工一箱原料 需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品 每千克 A 产品获利 40 元 乙车间加工一箱原 料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品 每千克 B 产品获利 50 元 甲 乙两车间每天共 能完成至多 70 箱原料的加工 每天甲 乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时 甲 乙 两车间每天总获利最大的生产计划为 A 甲车间加工原料 10 箱 乙车间加工原料 60 箱 B 甲车间加工原料 15 箱 乙车间加工原料 55 箱 C 甲车间加工原料 18 箱 乙车间加工原料 50 箱 D 甲车间加工原料 40 箱 乙车间加工原料 30 箱 解析 设甲车间加工原料 x 箱 乙车间加工原料 y 箱 则 70 106480 xy xy x yN 目标函数 z 280 x 300y 结合图象可得 当 x 15 y 55 时 z 最大 本题也可以将答案逐项代入检验 选 B 8 已知数列 an 的首项 a1 0 其前 n 项的和为 Sn 且 Sn 1 2Sn a1 则lim n n n a S A 0 B 1 2 C 1 D 2 解 由 Sn 1 2Sn a1 且 Sn 2 2Sn 1 a1 作差得 an 2 2an 1 又 S2 2S1 a1 即 a2 a1 2a1 a1 a2 2a1 故 an 是公比为 2 的等比数列 Sn a1 2a1 22a1 2n 1a1 2n 1 a1 则 1 1 1 21 limlim 2 21 n n n nn n aa Sa 选 B y 0 x 70 48 80 70 15 55 高考真题专家全解 4 9 椭圆 22 22 1 xy ab ab 的右焦点 F 其右准线与 x 轴的交点为 A 在椭圆上存在点 P 满 足线段 AP 的垂直平分线过点 F 则椭圆离心率的取值范围是 A 2 0 2 B 1 0 2 C 2 1 1 D 1 1 2 解 由题意 椭圆上存在点 P 使得线段 AP 的垂直平分线过点 F 即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等 而 FA 22 ab c cc PF a c a c 于是 2 b c a c a c 即 ac c2 b2 ac c2 222 222 accac acacc 1 1 1 2 c a cc aa 或 又 e 0 1 故 e 1 1 2 选 D 10 由 1 2 3 4 5 6 组成没有重复数字且 1 3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是 A 72 B 96 C 108 D 144 解析 先选一个偶数字排个位 有 3 种选法 若 5 在十位或十万位 则 1 3 有三个位置可排 3 22 32 A A 24 个 若 5 排在百位 千位或万位 则 1 3 只有两个位置可排 共 3 22 22 A A 12 个 算上个位偶数字的排法 共计 3 24 12 108 个 选 C 11 半径为 R 的球 O 的直径 AB 垂直于平面 垂足为 B BCD 是平 面 内边长为 R 的正三角形 线段 AC AD 分别与球面交于点 M N 那么 M N 两点间的球面距离是 MN O1 O D C B A 高考真题专家全解 5 A 17 arccos 25 R B 18 arccos 25 R C 1 3 R D 4 15 R 解法一 由已知 AB 2R BC R 故 tan BAC 1 2 cos BAC 2 5 5 连结 OM 则 OAM 为等腰三角形 AM 2AOcos BAC 4 5 5 R 同理 AN 4 5 5 R 且 MN CD 而 AC 5R CD R 故 MN CD AN AC MN 4 5 R 连结 OM ON 有 OM ON R 于是 cos MON 222 17 225 OMONMN OM ON 所以 M N 两点间的球面距离是 17 arccos 25 R 解法二 过 M N 作 AB 垂直的球的截面圆 则平面 MNO1 平面 CDB 平面 ABC 与平面 MNO1 平面 CDB 分别交于 O1M BC 则 O1M BC 同理 O1N BD 所以 MO1N CBD 60 所以 MO1N 是正三角形 由已知 AB 2R BC R 故 tan BAC 1 2 1 1 2 4 2 tantan2 1 3 1 4 MOOBAC 1 4 5 MNO MR 在三角形 MON 中 cos MON 222 17 225 OMONMN OM ON 所以 M N 两点间的球面距离是 17 arccos 25 R 解法三 在平面 ABC 中 以 B 为原点 BC 为 x 轴 BA 为 y 轴 建立平面直角坐标系 则 B 0 0 A 0 2 O 0 1 C 1 0 MN O1 O D C B A 高考真题专家全解 6 设 M x y 因为 M 在直线 AC 上 所以1 2 y x 因为 M 在球面上 所以 OM 1 所以 x2 y 1 2 1 联立 解得 4 5 2 5 x y 所以 MA 2 1624 5 2 2555 同理可求 NA MA 4 5 5 因为 ACD 是等腰三角形 AC AD 所以 MN CD 所以 4 5 AMMN MN ACCD 在三角形 MON 中 16 1 1 17 25 cos 225 MON 所以 17 arccos 25 MON 所以 17 arccos 25 MNR 所以 M N 两点间的球面距离是 17 arccos 25 R 选 A 12 设 a b c 0 则 22 11 21025 aacc aba ab 的最小值是 A 2 B 4 C 2 5 D 5 解析 22 11 21025 aacc aba ab 22 11 5 acaabab aba ab 2 11 5 acaba ab aba ab 0 2 2 4 当且仅当 a 5c 0 ab 1 a a b 1 时等号成立 如取 a 2 b 2 2 c 2 5 满足条件 选 B MN O1 O DC x y B A 高考真题专家全解 7 A B 第 卷 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 把答案填在题中横线上 13 6 3 1 2 x 的展开式中的第四项是 解 T4 333 6 3 1160 2 C xx 答案 160 x 14 直线 x 2y 5 0 与圆 x2 y2 8 相交于 A B 两点 则 AB 解 方法一 圆心为 0 0 半径为 22 圆心到直线 x 2y 5 0 的距离为 d 22 005 5 1 2 故 AB 2 得 AB 23 答案 23 15 如图 二面角 l 的大小是 60 线段 AB B l AB 与 l 所成的角为 30 则 AB 与平面 所成的角的正弦值是 解 过点 A 作平面 的垂线 垂足为 C 在 内过 C 作 l 的垂线 垂足为 D 连结 AD 有三垂线定理可知 AD l 故 ADC 为二面角 l 的平面角 为 60 又由已知 ABD 30 连结 CB 则 ABC 为 AB 与平面 所成的角 设 AD 2 则 AC 3 CD 1 AB 0 sin30 AD 4 sin ABC 3 4 AC AB 答案 3 4 16 设 S 为复数集 C 的非空子集 若对任意 x y S 都有 x y S x y S xy S 则称 S 为封闭集 下列命题 集合 S a bi a b 为整数 i 为虚数单位 为封闭集 若 S 为封闭集 则一定有 0 S A B C D 高考真题专家全解 8 封闭集一定是无限集 若 S 为封闭集 则满足 S T C 的任意集合 T 也是封闭集 其中真命题是 写出所有真命题的序号 解 直接验证可知 正确 当 S 为封闭集时 因为 x y S 取 x y 得 0 S 正确 对于集合 S 0 显然满足所有条件 但 S 是有限集 错误 取 S 0 T 0 1 满足 S T C 但由于 0 1 1 T 故 T 不是封闭集 错误 答案 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 某种有奖销售的饮料 瓶盖内印有 奖励一瓶 或 谢谢购买 字样 购买一瓶若其瓶盖内 印有 奖励一瓶 字样即为中奖 中奖概率为 1 6 甲 乙 丙三位同学每人购买了一瓶该饮料 求甲中奖且乙 丙都没有中奖的概率 求中奖人数 的分布列及数学期望 E 解 设甲 乙 丙中奖的事件分别为 A B C 那么 P A P B P C 1 6 2 1525 66216 P A B CP A P B P C 解法一 的所有可能值 0 1 2 3 P 0 3 5125 6216 P 1 12 3 1575 66216 C P 2 22 3 1515 66216 C P 3 3 11 6216 的分布列是 0 1 2 3 P 125 216 75 216 15 216 1 216 E 0 125 216 1 75 216 2 15 216 3 1 216 1 2 高考真题专家全解 9 解法二 B 3 1 6 的分布列是 15 0 1 2 3 66 kkn k n PkCk E 3 1 6 1 2 18 已知正方体 ABCD A B C D 的棱长为 1 点 M 是棱 AA 的中点 点 O 是对角线 BD 的中点 求证 OM 为异面直线 AA 和 BD 的公垂线 求二面角 M BC B 的大小 求三棱锥 M OBC 的体积 解法一 1 连结 AC 取 AC 中点 K 则 K 为 BD 的中点 连 结 OK 因为 M 是棱 AA 的中点 点 O 是 BD 的中点 所以 AM 1 2 DDOK 所以 MO AK 由 AA AK 得 MO AA 因为 AK BD AK BB 所以 AK 平面 BDD B 所以 AK BD 所以 MO BD 又因为 OM 是异面直线 AA 和 BD 都相交 故 OM 为异面直线 AA 和 BD 的公垂线 2 取 BB 中点 N 连结 MN 则 MN 平面 BCC B 过点 N 作 NH BC 于 H 连结 MH 则由三垂线定理得 BC MH 从而 MHN 为二面角 M BC B 的平面角 MN 1 NH Bnsin45 122 224 在 Rt MNH 中 tan MHN 1 2 2 2 4 MN NH 故二面角 M BC B 的大小为 arctan22 O M C D B A C D A B N K O M C D B A C D A B H 高考真题专家全解 10 3 易知 S OBC S OA D 且 OBC 和 OA D 都在平面 BCD A 内 点 O 到平面 MA D 距离 h 1 2 VM OBC VM OA D VO MA D 1 3 S MA D h 1 24 解法二 以点 D 为坐标原点 建立如图所示空间直角坐标系 D xyz 则 A 1 0 0 B 1 1 0 C 0 1 0 A 1 0 1 C 0 1 1 D 0 0 1 1 因为点 M 是棱 AA 的中点 点 O 是 BD 的中点 所以 M 1 0 1 2 O 1 2 1 2 1 2 11 0 22 OM AA 0 0 1 BD 1 1 1 OM AA 0 11 22 OM BD 0 0 所以 OM AA OM BD 又因为 OM 与异面直线 AA 和 BD 都相交 故 OM 为异面直线 AA 和 BD 的公垂线 2 设平面 BMC 的一个法向量为 1 n x y z BM 0 1 1 2 BC 1 0 1 1 1 0 0 n BM n BC 即 1 0 2 0 yz xz 取 z 2 则 x 2 y 1 从而 1 n 2 1 2 取平面 BC B 的一个法向量为 2 n 0 1 0 cos 12 12 12 11 3 9 1 n n n n nn 由图可知 二面角 M BC B 的平面角为锐角 故二面角 M BC B 的大小为 arccos 1 3 3 易知 S OBC 1 4 S BCD A 12 12 44 设平面 OBC 的一个法向量为 3 n x1 y1 z1 O M C D B A C D A B z x y 高考真题专家全解 11 BD 1 1 1 BC 1 0 0 3 1 0 0 n BD n BC 即 111 1 0 0 xyz x 取 z1 1 得 y1 1 从而 3 n 0 1 1 点 M 到平面 OBC 的距离 d 3 1 2 2 4 2 BM n VM OBC 11221 334424 OBC Sd 19 证明两角和的余弦公式 C cos cos cos sin sin 由 C 推导两角和的正弦公式 S sin sin cos cos sin 已知 ABC 的面积 1 3 2 SAB AC 且 3 5 cosB 求 cosC 解 1 如图 在平面直角坐标系 xOy 内做单位圆 O 并作出 角 与 使角 的始边为 Ox 交 O 于点 P1 终边交 O 于 P2 角 的始边为 OP2 终边交 O 于 P3 角 的始 边为 OP1 终边交 O 于 P4 则 P1 1 0 P2 cos sin P3 cos sin P4 cos sin 由 P1P3 P2P4及两点间的距离公式 得 cos 1 2 sin2 cos cos 2 sin sin 2 展开并整理得 2 2cos 2 2 cos cos sin sin cos cos cos sin sin 由 易得 cos 2 sin sin 2 cos sin cos 2 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin sin cos cos sin 2 由题意 设 ABC 的角 B C 的对边分别为 b c 则 S 1 2 bcsinA 1 2 高考真题专家全解 12 AB AC bccosA 3 0 A 0 2 cosA 3sinA 又 sin2A cos2A 1 sinA 10 10 cosA 3 10 10 由题意 cosB 3 5 得 sinB 4 5 cos A B cosAcosB sinAsinB 10 10 故 cosC cos A B cos A B 10 10 20 已知定点 A 1 0 F 2 0 定直线 l x 1 2 不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是 它到直线 l 的距离的 2 倍 设点 P 的轨迹为 E 过点 F 的直线交 E 于 B C 两点 直线 AB AC 分别交 l 于点 M N 求 E 的方程 试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F 并说明理由 解 1 设 P x y 则 22 1 2 2 2 xyx 化简得 x2 2 3 y 1 y 0 2 当直线 BC 与 x 轴不垂直时 设 BC 的方程为 y k x 2 k 0 与双曲线 x2 2 3 y 1 联立消去 y 得 3 k2 x2 4k2x 4k2 3 0 由题意知 3 k2 0 且 0 设 B x1 y1 C x2 y2 则 2 12 2 2 12 2 4 3 43 3 k xx k k x x k y1y2 k2 x1 2 x2 2 k2 x1x2 2 x1 x2 4 k2 22 22 438 33 kk kk 4 2 2 9 3 k k 因为 x1 x2 1 所以直线 AB 的方程为 y 1 1 1 y x x 1 高考真题专家全解 13 因此 M 点的坐标为 1 1 31 2 2 1 y x 1 1 33 2 2 1 y FM x 同理可得 2 2 33 2 2 1 y FN x 因此 212 12 93 22 1 1 y y FM FN xx 2 2 22 22 81 9 3 4434 4 1 33 k k kk kk 2 2 222 2 81 9 3 44343 3 k k kkk k 0 当直线 BC 与 x 轴垂直时 其方程为 x 2 则 B 2 3 C 2 3 AB 的方程为 y x 1 因此 M 点的坐标为 1 3 2 2 3 3 2 2 FM 同理可得 33 22 FN 因此 2 333 222 FM FN 0 综上FM FN 0 即 FM FN 故以线段 MN 为直径的圆经过点 F 21 已知数列 an 满足 a1 0 a2 2 且对任意 m n N 都有 a2m 1 a2n 1 2am n 1 2 m n 2 求 a3 a5 设 bn a2n 1 a2n 1 n N 证明 bn 是等差数列 设 cn an 1 an qn 1 q 0 n N 求数列 c n 的前 n 项和 Sn 解 1 由题意 令 m 2 n 1 可得 a3 2a2 a1 2 6 再令 m 3 n 1 可得 a5 2a3 a1 8 20 2 分 2 当 n N 时 由已知 以 n 2 代替 m 可得 a2n 3 a2n 1 2a2n 1 8 于是 a2 n 1 1 a2 n 1 1 a2n 1 a2n 1 8 即 bn 1 bn 8 高考真题专家全解 14 所以 bn 是公差为 8 的等差数列 5 分 3 由 1 2 解答可知 bn 是首项为 b1 a3 a1 6 公差为 8 的等差数列 则 bn 8n 2 即 a2n 1 a2n 1 8n 2 由已知 令 m 1 可得 a1 a2n 1 2a1 n 1 2 1 n 2 an 211 2 n aa n 1 2 那么 an 1 an 211 2 n aa n2 211 2 n aa n 1 2 2121 2 nn aa 2n 1 82 2 n 2n 1 2n 于是 cn 2nqn 1 当 q 1 时 Sn 2 4 6 2n n n 1 当 q 1 时 Sn 2 q0 4 q1 6 q2 2n qn 1 两边同乘以 q 可得 qSn 2 q1 4 q2 6 q3 2n qn 上述两式相减得 1 q Sn 2 1 q q2 qn 1 2nqn 2 1 1 n q q 2nqn 2 1 1 1 1 nn nqnq q 所以 Sn 2 1 2 1 1 1 nn nqnq q 综上所述 Sn 1 2 1 1