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新民高中2012界高三备战高考复习提纲-几何证明选讲 编撰人：张铁 王烁排列组合二项定理，概率与统计一 排列组合二项定理知识要点归纳1：分类加法计数原理 做一件事，完成它有类办法办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。2：分步乘法计数原理 做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一个步骤有种不同的方法，做第二个步骤有种不同的方法做第个步骤有种不同的方法，那么完成这件事共有定义种不同的方法。3：排列(1)：排列的概念： 从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取出的元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。（2）：排列数的定义从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示。（3）：排列数公式 （4）：全排列数公式 4：组合 （1）：组合的定义： 从个不同元素中，任取（）个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合。（2）：组合数的定义： 从个不同元素中，任取（）个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数。（3）：组合数公式（4）： （5）：排列与组合的联系与区别.联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”前者有顺序关系，后者无顺序关系.5：排列、组合的综合问题.（1）：排列、组合问题几大解题方法及题型：直接法.排除法.捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n个不同元素排成一列，要求其中某个元素必相邻的排列有个.其中是一个“整体排列”，而则是“局部排列”.插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？（插空法），当n m+1m, 即m时有意义.占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置. 即采用“先特殊后一般”的解题原则. 顺序固定用除法当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有种排列方法.例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）n = ；解法二：（比例分配法）.平均分组法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有.例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有（平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？（）隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为显然，故（）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图 所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数.6：二项式定理（1） 通项公式Tr1是表示展开式的第r1项（2） 要注意系数与二项式系数的差别，二项式系数是指，系数是指字母以外的常数(3):二项式定理中，二项式系数的性质有： 在二项式展开式中，与首末两项“等距离”的两项二项式系数相等，即： 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即当n是偶数时，n+1是奇数，展开式共有n+1项，中间一项，即：第项的二项式系数最大，为；当n是奇数时，n+1是偶数，展开式共有n+1项，中间两项，即第项及第项，它们的二项式系数相等且最大，为 二项式系数的和等于，即 二项展开式中，偶数项二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即二 事件与概率 知识要点归纳（1）：基本事件，基本事件空间 试验连同它出现的每一个结果称为一个基本事件，它是试验中不能再分的最简单的随机事件。所有基本事件构成的集合叫基本事件空间，基本事件空间空间常用大写希腊字母表示。2. 古典概型（等可能事件的概率）：如果一次试验中可能出现的结果有n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率.3： 几何概型（1）定义：如果某个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积等）成比例，则称这样的概率模型为几何概型。（2）特点：结果的无限性 每个结果发生的等可能性（3）公式：,其中表示区域的几何度量，表示区域的几何度量4. 互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：. 对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 例如：从152张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为这两个事件不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件，因为其中一个必发生.注意：i.对立事件的概率和等于1：. ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件 条件概率：（1）：对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，用符号,其公式为 （2）：条件概率具有的性质，如果和是两个互斥事件，则6相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，P(AB)=P(A)P(B). 独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率：.三 离散型随机变量的分布列 知识要点归纳一、随机变量.1. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若是一个随机变量，a，b是常数.则也是一个随机变量.设离散型随机变量可能取的值为：取每一个值的概率，则表称为随机变量的概率分布，简称的分布列.P有性质； .2. 二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：其中 于是得到随机变量的概率分布如下：我们称这样的随机变量服从二项分布，记作B（np），其中n，p为参数， 二项分布的判断与应用. 二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布. 当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.3. 超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（MN）件次品，今抽取件，则其中的次品数是一离散型随机变量，分布列为.分子是从M件次品中取k件，从N-M件正品中取n-k件的取法数， 二、数学期望与方差.1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量的概率分布为P则称为的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2. 随机变量的数学期望： 当时，即常数的数学期望就是这个常数本身.当时，即随机变量与常数之和的期望等于的期望与这个常数的和.当时，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.单点分布：其分布列为：. 两点分布：，其分布列为：（p + q = 1）01Pqp二项分布： 其分布列为.3.方差、标准差的定义：当已知随机变量的分布列为时，则称为的方差. 显然，故为的标准差.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小.4.方差的性质.（1）随机变量的方差.（a、b均为常数）（2）二项分布：3、 正态分布.1. 正态分布与正态曲线：如果随机变量的概率密度为：. （为常数，且），称服从参数为的正态分布，用表 示.的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线. 正态分布的期望与方差：若，则的期望与方差分别为：. 正态曲线的性质. 曲线在x轴上方，与x轴不相交. 曲线关于直线对称. 当时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线. 当时，曲线上升；当时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近. 当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.【重点难点热点】问题1：排列组合应用题解决此类问题的方法是：直接法，先考虑特殊元素（或特殊位置），再考虑其他元素（或位置）；间接法，所有排法中减去不合要求的排法数；对于复杂的应用题，要合理设计解题步骤，一般是先分组，后分步，要求不重不漏.例1：（06北京卷）在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（A）36个 （B）24个 （C）18个 （D）6个解：依题意，所选的三位数字有两种情况：（1）3个数字都是奇数，有种方法（2）3个数字中有一个是奇数，有，故共有24种方法，故选B例2：（06福建卷）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（A）108种 （B）186种 （C）216种 （D）270种解析：从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共=186种，选B.练习1：（05江苏卷）四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为、的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（ ） A96 B.48 C.24 D.0练习2：（06全国卷I）安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有_种。（用数字作答）解析：先安排甲、乙两人在后5天值班，有=20种排法，其余5人再进行排列，有=120种排法，所以共有20120=2400种安排方法。问题2：求展开式中的系数二项式系数是指二项展开式中出现的组合数；系数是指每一项前的系数，注意它们的区别.要正确运用通项公式和基本定理.例3：（06湖南卷）若的展开式中的系数是-80,则实数的值是 .解：的展开式中的系数=x3， 则实数的值是2.练习3：（06全国卷I）在的展开式中，的系数为A B C D解析：在的展开式中，x4项是=15x4，选C.练习4：（06山东卷）已知()的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是(A)1 (B)1 (C)45 (D)45解：第三项的系数为，第五项的系数为，由第三项与第五项的系数之比为可得n10，则，令405r0，解得r8，故所求的常数项为45，选D问题3：求复合事件的概率对较复杂事件的概率通常是将所求事件化面彼此互斥的事件的和或求其对立事件的概率.例4：甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.（）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；（）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；（）假设某人连续2次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？思路分析：本题是一道概率综合运用问题，第一问中求“至少有一次末击中问题”可从反面求其概率问题；第二问中先求出甲恰有两次末击中目标的概率，乙恰有3次末击中目标的概率，再利用独立事件发生的概率公式求解.第三问设出相关事件，利用独立事件发生的概率公式求解，并注意利用对立、互斥事件发生的概率公式. 解：(1) （2）（3）例5、（06浙江卷）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球.两甲，乙两袋中各任取2个球.()若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；()若取到的4个球中至少有2个红球的概率为，求n.解：（I）（II） .练习5：（05北京卷）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率， （I）甲恰好击中目标的2次的概率； （II）乙至少击中目标2次的概率； （III）求乙恰好比甲多击中目标2次的概率解：（I）甲恰好击中目标的2次的概率为 （II）乙至少击中目标2次的概率为； （III）设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰击中目标2次且甲恰击中目标0次为事件B1，乙恰击中目标3次且甲恰击中目标1次为事件B2，则AB1B2，B1，B2为互斥事件=. 所以，乙恰好比甲多击中目标2次的概率为.问题四：求离散型随机变量的分布列、期望和方差求分布列，首先要确定随机变量的取值，其次求其取某个值的概率，在这里，一般都要通过排列组合的知识来计算其取值的概率.期望和方差是离散型随机变量两个重要特征，求期望和方差的步骤是：（1）写出随机变量的分布列；（2）正确应用期望和方差的公式计算（同时还应掌握如二项分布的期望和方差计算的结论等）例6：(05全国卷)9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用表示补种费用，写出的分布列并求的数学期望。（精确到）（）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为所以甲坑不需要补种的概率为 3个坑都不需要补种的概率恰有1个坑需要补种的概率为恰有2个坑需要补种的概率为3个坑都需要补种的概率为补种费用的分布为0102030P0.6700.2870.0410.002的数学期望为练习6：（06全国卷I）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为。（）求一个试验组为甲类组的概率；（）观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望。解: (1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只 , i=0,1,2,Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只 , i=0,1,2, 依题意有: P(A1)=2 = , P(A2)= = . P(B0)= = , P(B1)=2 = , 所求概率为: P=P(B0A1)+P(B0A2)+P(B1A2)= + + = ()的可能值为0,1,2,3且B(3,) . P(=0)=()3= ,P(=1)=C31()2=,0123PP(=2)=C32()2 = , P(=3)=( )3= 的分布列为: 例7：（06山东卷）袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求： （1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量的概率分布和数学期望；(3)计分介于20分到40分之间的概率. 解：（I）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，则解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为，则事件和事件是互斥事件，因为，所以.（II）由题意有可能的取值为：2，3，4，5.所以随机变量的概率分布为2345因此的数学期望为（）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为，则练习7：（05湖北卷）某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参