枣三东校-高二-一元二次方程根的分布(332).doc

一元二次方程根的分布韩芳（枣庄市第三中学 277100）教材分析一元二次方程是高中数学中极其重要的内容，这段内容与一元二次不等式，二次函数等内容有着直接而密切的联系.讲解一元二次不等式及其解法不能不涉及一元二次方程根的分布，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用.下面我们将主要结合二次函数图象的性质，系统地介绍一元二次方程实根分布的条件及其运用.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解用一元二次方程根的分布的有关知识求字母的取值范围.教学目标重点：借助二次函数的图象讲解“含参二次方程的实根分布”问题的基本方法.难点：借助二次函数的图象列出满足题意的式子.知识点：一元二次方程根的分布与系数的关系.能力点：培养分类讨论、转化的能力，综合分析问题、解决问题的能力.教育点：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神.自主探究点：如何画出满足题意的抛物线，如何结合图形列出满足题意的式子.训练点：用一元二次方程根的分布的有关知识求字母的取值范围.考试点：用一元二次方程根的分布的有关知识求字母的取值范围.易错点：在转化过程中未很好地结合图像，从而造成不等价转化，使求解的范围扩大或缩小.易混点：根的范围是开区间还是闭区间容易看不清.拓展点：用一元二次方程根的分布的有关知识证明不等式.教具准备 多媒体课件课堂模式 学案导学一、引入新课 在初中时，一元二次方程就是数学中的重点和难点内容，我们已经知道了方程，的求解方法，知道了判别式与方程是否存在实数根的关系，也掌握了一元二次方程根的分布最简单的情况，如判别式和系数满足什么条件时，方程有两个正根，两个负根，一正根一负根等.二、探究新知问题1 求实数的范围，使关于的方程 (1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小； (2)有两个实根，且都比1大； (3)有两个实根、，且满足； (4)至少有一个正根.【师生活动】学生分析（1）的求解思路：设是方程的两实根，则即教师引导：此题有没有更好更具特色的解法呢？设,这是一条开口向上的抛物线，通过观察图形能得到什么？学生回答：由题意，抛物线与直线的交点在轴的下方，于是，即.教师总结：第二种方法比起第一种方法，在思维上是一种飞跃，它是将抛物线的有关知识运用到一元二次方程上来.学生分析（2）的求解思路：通过观察抛物线我们可以发现，对称轴1，且.教师引导：第（3）题，在令之后，图该怎样画？由这张图，你能得到怎样的条件组？与已知条件等价吗？师生共同分析出（3）的求解思路：令，则即教师分析（4）的求解思路：至少有一个正根包括两正根、一正根一零根、一正根一负根，则或，即或 【设计意图】通过本题让学生见识一元二次方程的根的分布的基本题型，同时培养学生分类讨论、数形结合的思想.问题2. 在下列条件下，分别求出的取值范围（）方程在有解；（）函数的图象与横轴在上有交点.【师生活动】师生共同分析出（1）的求解思路：有解包括有两解、一解，又此函数过轴正半轴上（0，4）,所以只需或或或，即或或或.另本题采用分类讨论、变量分离相对简单些.师生共同分析出（2）的求解思路：由于本题抛物线的对称轴固定，所以只需即.另：本题用变量分离特别简单.【设计意图】本题第（）问抛物线过轴正半轴上一定点，第（）问抛物线的对称轴固定，让学生见识一下这两种类型的一元二次方程的根的分布的处理方法，拓展视野；同时也体会一下分类讨论思想在这类问题中是如何运用的. 三、理解新知处理一元二次方程的根的分布的一般步骤：（1）看抛物线开口，（2）看是否过轴上一定点，（3）对称轴是否固定，（4）画出满足题意的抛物线，（5）结合图形列出式子.四、运用新知例1 关于的方程的两个实根一个小于1，另一个大于1，求实数的取值范围.解：由题意得，所以，即或【设计意图】巩固问题1例2 已知关于的方程有两个实根，其中一根在之间，另一根在之间，求实数的取值范围.解：由题意得，当时由得， 当时，由得，这与矛盾. 综上有的取值范围为【设计意图】巩固一元二次方程的根的分布及分类讨论、数形结合的思想. 例2 关于的方程的两根均在之间，求的范围.解：由题意得即另：本题分离变量也很简单.【设计意图】本题对称轴固定，但对称轴位于内，与问题2（2）稍有区别，让学生见识不同题型的不同处理方法.五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识？涉及到哪些数学思想方法？学生作答.1知识：用一元二次方程根的分布的有关知识求字母的取值范围2思想：分类讨论的思想、数形结合的思想六、布置作业必做题：若关于的方程有两个不同的实数根，只有一根在内，求的取值范围 选做题：集合,，若，求实数的取值范围.【设计意图】（1）使学生对本节内容有所复习（2）训练学生等价转化思想（3）选做题拓展思维开阔视野.七、教后反思1.本教案的亮点是问题1、2包括的题型比较全面且有梯度，这样有助于训练学生的思维逐步不断提高.2.一题多解开阔思路，既注重了与原问题的联系，又在不知不觉中提高了难度，提高了学生的解题能力.3.本教案能很好地培养学生的分类讨论、数形结合思想.4.在整个一节课上，基本上是学生讲为主，我讲为辅.像问题2这样较为困难的问题，我也鼓励学生大胆思考，不怕困难，一个人完不成讲不透，第二个人、第三个人补充，直到完成整个例题.这样上课气氛非常活跃，学生之间常会因为某个观点的不同而争论，作为教师可能比较辛苦，一方面要控制好整节课的节奏，另一方面