江西省上饶中学高三数学上学期第二次月考试卷a 理（含解析）.doc

2015-2016学年江西省上饶中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）（a）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1设集合a=x|1x4，集合b=x|x22x30，则a（rb）=（）a（1，4）b（3，4）c（1，3）d（1，2）（3，4）2已知命题p：xr，3x0，则（）ap：xr，3x0bp：xr，3x0cp：xr，3x0dp：xr，3x03已知函数f（x）=，则ff（4）=（）a4b4cd4已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（）（注：e为自然对数的底数）a（0，）b，c（0，）d，e5已知平面向量与的夹角为60，则=（）abc12d6在等差数列an中，已知a18=3（4a2），则该数列的前11项和s11等于（）a33b44c55d667曲线y=2xlnx在点（1，2）处的切线方程为（）ay=x1by=x+3cy=x+1dy=x18已知函数f（x）=asin（x+）（a0，0，0），其导函数f（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）af（x）=2sin（x+）bf（x）=4sin（x+）cf（x）=2sin（x+）df（x）=4sin（x+）9将函数的图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是（）abcd10已知=（）abcd11已知p，q为abc中不同的两点，若3+2+=，3，则spab：sqab为（）a1：2b2：5c5：2d2：112已知abc是半径为5的圆o的内接三角形，且，若，则x+y的最大值为（）abc1d二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13若函数f（x）=x3x2+ax+4恰在1，4上单调递减，则实数a的值为14若tan=2，则=15abc中，a，b，c分别为a，b，c的对边，如果a，b，c成等差数列，b=30，abc的面积为，那么b=16关于函数，有下列命题：为偶函数；要得到g（x）=4sin2x的图象，只需将f（x）的图象向右平移个单位；y=f（x）的图象关于点对称；y=f（x）的单调递增区间为其中正确的序号为三、解答题（共5小题，满分60分）17已知数列an的首项a1=1，an+1=2an+1（1）求证：an+1是等比数列；（2）求数列nan的前n项和sn18已知函数2cosx（）求f（x）的最小正周期；（）若，求f（x）的单调区间及值域19在abc中，边a、b、c分别是角a、b、c的对边，且满足bcosc=（3ac）cosb（1）求cosb；（2）若=4，b=4，求边a，c的值20已知函数（）若函数f（x）在1，+）上是增函数，求正实数a的取值范围；（）若a=1，kr且，设f（x）=f（x）+（k1）lnx，求函数f（x）在上的最大值和最小值21已知函数f（x）=x3+x2+b，g（x）=alnx（1）若f（x）在上的最大值为，求实数b的值；（2）若对任意x1，e，都有g（x）x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点p、q，使得poq是以o（o为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的单位长度，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆c的方程为=2sin（1）求圆c的直角坐标方程；（2）设圆c与直线l交于a，b两点，若点p坐标为（3，），求|pa|+|pb|选修4-5，不等式选讲23已知函数f（x）=|2x+1|x4|（1）解关于x的不等式 f（x）2（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围2015-2016学年江西省上饶中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）（a）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1设集合a=x|1x4，集合b=x|x22x30，则a（rb）=（）a（1，4）b（3，4）c（1，3）d（1，2）（3，4）【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】由题意，可先解一元二次不等式，化简集合b，再求出b的补集，再由交的运算规则解出a（rb）即可得出正确选项【解答】解：由题意b=x|x22x30=x|1x3，故rb=x|x1或x3，又集合a=x|1x4，a（rb）=（3，4）故选b【点评】本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，熟练掌握运算规则是解解题的关键2已知命题p：xr，3x0，则（）ap：xr，3x0bp：xr，3x0cp：xr，3x0dp：xr，3x0【考点】命题的否定；特称命题【专题】综合题【分析】根据含量词的命题的否定形式：将任意改为存在，结论否定写出否命题【解答】解：xr，3x0，的否定是xr，3x0故选a【点评】本题考查含量词的命题的否定形式：将任意与存在互换，结论否定即可3已知函数f（x）=，则ff（4）=（）a4b4cd【考点】函数的值【专题】计算题【分析】本题考查的分段函数的函数值，由函数解析式，我们可以先计算f（4）的值，再根据f（4）的值或范围，代入相应的解析式求出最后的结果【解答】解：40，f（4）=24=16，160，f（16）=4即ff（4）=f（16）=4故选b【点评】本题考查分段函数求函数值，按照由内到外的顺序逐步求解要确定好自变量的取值或范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值4已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（）（注：e为自然对数的底数）a（0，）b，c（0，）d，e【考点】分段函数的应用【专题】函数的性质及应用【分析】由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围【解答】解：方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，y=，设切点为（x0，y0），k=，切线方程为yy0=（xx0），而切线过原点，y0=1，x0=e，k=，直线l1的斜率为，又直线l2与y=x+1平行，直线l2的斜率为，实数a的取值范围是，）故选：b【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题5已知平面向量与的夹角为60，则=（）abc12d【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用【分析】原式利用二次根式性质化简，再利用完全平方公式展开，利用平面向量的数量积运算法则计算即可得到结果【解答】解：平面向量与的夹角为60，=（2，0），|=1，|+2|=2，故选：b【点评】此题考查了平面向量数量积的运算，数量掌握运算法则是解本题的关键6在等差数列an中，已知a18=3（4a2），则该数列的前11项和s11等于（）a33b44c55d66【考点】等差数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】由已知易得a6=3，由求和公式和性质可得s11=11a6，代值计算可得【解答】解：在等差数列an中a18=3（4a2），a2+16d=3（4a2），其中d为数列的公差，化简可得a2+4d=3，即a6=3s11=11a6=33故选：a【点评】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，属基础题7曲线y=2xlnx在点（1，2）处的切线方程为（）ay=x1by=x+3cy=x+1dy=x1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题【分析】求出曲线的导函数，把x=1代入即可得到切线的斜率，然后根据（1，2）和斜率写出切线的方程即可【解答】解：由函数y=2xlnx知y=2，把x=1代入y得到切线的斜率k=2=1则切线方程为：y2=（x1），即y=x+1故选：c【点评】考查学生会根据曲线的导函数求切线的斜率，从而利用切点和斜率写出切线的方程8已知函数f（x）=asin（x+）（a0，0，0），其导函数f（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）af（x）=2sin（x+）bf（x）=4sin（x+）cf（x）=2sin（x+）df（x）=4sin（x+）【考点】由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式；简单复合函数的导数【专题】计算题；数形结合【分析】根据题意，先求出f（x）的导函数，再根据导函数的图象找出导函数的周期，利用周期公式求出的值，进而根据导函数的最大值为2，求出a的值，把求出的与a的值代入导函数中，再从导函数图象上找出一个已知点的坐标代入即可求出的值，将a，及的值代入即可确定出f（x）的解析式，即可得答案【解答】解：根据题意，对函数f（x）=asin（x+）求导，可得f（x）=acos（x+），由导函数的图象可知：导函数的周期为2（）=4，则有t=4，解得=，由导函数图象可得导函数的最大值为2，则有a=2，即a=4，导函数f（x）=2cos（x+），把（，2）代入得：4cos（+）=2，且|，解得=，则f（x）=4sin（x+）故选b【点评】此题考查了由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式，涉及复合函数的导数的运算；借助导函数图象中的周期、最值，来确定a，及的值是解本题的关键9将函数的图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是（）abcd【考点】函数y=asin（x+）的图象变换；正弦函数的对称性【专题】三角函数的图像与性质【分析】根据函数y=asin（x+）的图象变换规律可得变换后所得函数图象对应的函数解析式为y=2sin（x+），令x=k+，kz，求得x的值，即可得到函数图象的一条对称轴方程【解答】解：将函数的图象向左平移个单位，所得函数图象对应的函数解析式为y=2sin（x+）=2sin（x）由x=k+，kz，可得 x=k+，故所得函数图象的一条对称轴是，故选c【点评】本题主要考查函数y=asin（x+）的图象变换规律，函数y=asin（x+）的对称轴的求法，属于中档题10已知=（）abcd【考点】两角和与差的正切函数【专题】三角函数的图像与性质【分析】利用=，根据两角差的正切公式，即可得到结论【解答】解： =tan=故选b【点评】本题考查两角差的正切公式考查学生的计算能力，解题的关键是利用=11已知p，q为abc中不同的两点，若3+2+=，3，则spab：sqab为（）a1：2b2：5c5：2d2：1【考点】向量的线性运算性质及几何意义【专题】平面向量及应用【分析】由已知向量等式得到spab=sabc，sqab=sabc，可求面积比【解答】解：由题意，如图所示，设ac，bc的中点分别为m，n，由3+2+=，得：2（+）=（+），点p在mn上，且pm：pn=1：2，p到边ac的距离等于b到边ac的距离=，则spab=sabc，同理，sqab=sabc，所以，spab：sqab=2：5故选：b【点评】本题主要考查了向量的计算与运用考查了学生综合分析问题的能力12已知abc是半径为5的圆o的内接三角形，且，若，则x+y的最大值为（）abc1d【考点】向量在几何中的应用【专题】平面向量及应用【分析】延长ao与bc相交于点d，作oa1da2ab，ob1db2ac，设，推出，结合b、d、c三点共线，得到x+y的表达式，利用三角代换，求解最值即可【解答】解：延长ao与bc相交于点d，作oa1da2ab，ob1db2ac，设，易知x0，y0，则，又b、d、c三点共线，所以，只需最小，就能使x+y最大，所以当od最小即可，过点o作ombc于点m，从而odom，又bom=bac=，由，那么故选：d【点评】本题考查向量在集合中的应用，三角代换以及共线向量的应用，是中档题二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13若函数f（x）=x3x2+ax+4恰在1，4上单调递减，则实数a的值为4【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】计算题【分析】原函数是一个三次多项式函数，因此考虑用导函数的方法研究它的单调性先求出f（x）=x23x+a，函数，恰在1，4上递减，说明f（x）0的解集恰好是1，4，最后利用一元二次方程根与系数的关系，可得出实数a的取值范围【解答】解：先求出f（x）=x23x+a，函数，恰在1，4上递减，不等式f（x）0的解集恰好是1，4，也就是说：方程x23x+a=0的根是x1=1，x2=4用一元二次方程根与系数的关系，得：所以a=4故答案为：4【点评】本题以三次多项式函数为例，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题深刻理解一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，是解决好本题的关键14若tan=2，则=1【考点】三角函数的化简求值【专题】计算题；函数思想；方程思想；三角函数的求值【分析】化简所求的表达式为正切函数的形式，代入求解即可【解答】解：tan=2，则=1故答案为：1【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查计算能力15abc中，a，b，c分别为a，b，c的对边，如果a，b，c成等差数列，b=30，abc的面积为，那么b=【考点】解三角形；等差数列的性质；正弦定理；余弦定理【专题】计算题【分析】根据等差中项的性质可知2b=a+c平方后整理得a2+c2=4b22ac利用三角形面积求得ac的值，进而把a2+c2=4b22ac代入余弦定理求得b的值【解答】解：a，b，c成等差数列，2b=a+c平方得a2+c2=4b22ac又abc的面积为，且b=30，故由s=acsinb=acsin30=ac=，得ac=6，a2+c2=4b212由余弦定理cosb=解得b2=4+2又b为边长，b=1+故答案为：1+【点评】本题主要考查了解三角形的问题解题过程中常需要正弦定理，余弦定理，三角形面积公式以及勾股定理等知识16关于函数，有下列命题：为偶函数；要得到g（x）=4sin2x的图象，只需将f（x）的图象向右平移个单位；y=f（x）的图象关于点对称；y=f（x）的单调递增区间为其中正确的序号为【考点】命题的真假判断与应用【专题】转化思想；数形结合法；简易逻辑【分析】=4cos2x，即可判断出真假；将f（x）的图象向右平移个单位可得：y=4sin2x，即可判断出真假；由于=0，即可判断出真假；由2k+，解得xk+，kz，即可判断出真假【解答】解： =4cos2x为偶函数，正确；将f（x）的图象向右平移个单位可得：y=4sin2x，因此正确；由于=0，因此y=f（x）的图象关于点对称，正确；由2k+，解得xk+，kz，可得：y=f（x）的单调递增区间为，k+，kz，故不正确其中正确的序号为 故答案为：【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（共5小题，满分60分）17已知数列an的首项a1=1，an+1=2an+1（1）求证：an+1是等比数列；（2）求数列nan的前n项和sn【考点】数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）由an+1=2an+1可得an+1+1=2（an+1），结合等比数列的通项公式即可求解；（2）由（1）可得，nan=n2nn，分组后结合等差数列的求和公式及错位相减求和方法即可求【解答】解：（1）a1=1，an+1=2an+1an+1+1=2（an+1），a1+1=2，数列an+1是以2为首项，以2为公比的等比数列；（2）由（1）可得an+1=22n1=2n，an=2n1，则nan=n2nn，令tn=12+222+n2n，则2tn=122+223+（n1）2n+n2n+1，两式相减可得，tn=2+22+2nn2n+1=n2n+1=2n+12n2n+1，tn=（n1）2n+1+2，前n项和sn=（n1）2n+1+2n（1+n）【点评】本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求数列的通项公式，及分组求和、错位相减求和方法的应用18已知函数2cosx（）求f（x）的最小正周期；（）若，求f（x）的单调区间及值域【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性【专题】计算题【分析】（）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为，由此求得它的周期（）由，可得，由求出增区间，由求出减区间，再根据求得的范围，即可求得函数的域值【解答】解：（） =2cosx（1+sinx）+=故周期（），由，f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为；由，可得函数的域值为【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，复合正弦函数的增区间的求法，属于中档题19在abc中，边a、b、c分别是角a、b、c的对边，且满足bcosc=（3ac）cosb（1）求cosb；（2）若=4，b=4，求边a，c的值【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；余弦定理【专题】解三角形【分析】（1）利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理求得cosb的值（2）由=4 可得 ac=12，再由余弦定理可得 a2+c2=40，由此求得边a，c的值【解答】解：（1）在abc中，bcosc=（3ac）cosb，由正弦定理可得 sinbcosc=（3sinasinc）cosb，3sinacosbsinccosb=sinbcosc，化为：3sinacosb=sinccosb+sinbcosc=sin（b+c）=sina在abc中，sina0，故cosb=（2）由=4，b=4，可得，accosb=4，即 ac=12再由余弦定理可得 b2=32=a2+c22accosb=a2+c2，即 a2+c2=40，由求得a=2，c=6； 或者a=6，c=2综上可得，或【点评】本题以三角形为载体，主要考查了正弦定理、余弦定理的运用，考查两角和公式考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题20已知函数（）若函数f（x）在1，+）上是增函数，求正实数a的取值范围；（）若a=1，kr且，设f（x）=f（x）+（k1）lnx，求函数f（x）在上的最大值和最小值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【专题】综合题【分析】（）求导函数，利用函数f（x）在1，+）上是增函数，可得x1，+）时，不等式，即恒成立，求出右边函数的最大值，即可求得实数a的取值范围；（）a=1时，分类讨论：（1）若k=0，f（x）在上单调递减；（2）k0时，确定函数的单调性，即可求得函数的最值【解答】解：（）由题设可得因为函数f（x）在1，+）上是增函数，所以当x1，+）时，不等式，即恒成立因为当x1，+）时，的最大值为1，所以实数a的取值范围是1，+）（4分）（）a=1时，所以，（6分）（1）若k=0，则，在上，恒有f（x）0，所以f（x）在上单调递减，（7分）（2）k0时，（i）若k0，在上，恒有，所以f（x）在上单调递减，（9分）（ii）k0时，因为，所以，所以，所以f（x）在上单调递减，（11分）综上所述：当k=0时，f（x）max=e1；当k0且时，f（x）max=ek1，（12分）【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导，恰当分类是关键21已知函数f（x）=x3+x2+b，g（x）=alnx（1）若f（x）在上的最大值为，求实数b的值；（2）若对任意x1，e，都有g（x）x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点p、q，使得poq是以o（o为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性【专题】综合题；压轴题【分析】（1）求导函数，令f（x）=0，确定函数的单调性与极值，从而可得函数的最大值，由此可求b的值；（2）由g（x）x2+（a+2）x，得恒成立，即，求出最小值，即可求得a的取值范围；（3）由条件，假设曲线y=f（x）上存在两点p，q满足题意，则p，q只能在y轴两侧，不妨设p（t，f（t）（t0），则q（t，t3+t2），且t1，则是否存在p，q等价于方程t2+f（t）（t3+t2）=0在t0且t1时是否有解【解答】解：（1）由f（x）=x3+x2+b，得f（x）=3x2+2x=x（3x2），令f（x）=0，得x=0或列表如下：x0f（x）0+0f（x）极小值极大值，即最大值为，b=0（4分）（2）由g（x）x2+（a+2）x，得（xlnx）ax22xx1，e，lnx1x，且等号不能同时取，lnxx，即xlnx0，恒成立，即令，求导得，当x1，e时，x10，lnx1，x+12lnx0，从而t（x）0，t（x）在1，e上为增函数，tmin（x）=t（1）=1，a1（8分）（3）由条件，假设曲线y=f（x）上存在两点p，q满足题意，则p，q只能在y轴两侧，不妨设p（t，f（t）（t0），则q（t，t3+t2），且t1poq是以o（o为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，t2+f（t）（t3+t2）=0（*），（10分）是否存在p，q等价于方程（*）在t0且t1时是否有解若0t1时，方程（*）为t2+（t3+t2）（t3+t2）=0，化简得t4t2+1=0，此方程无解； （11分）若t