高考数学大一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和学案 文 北师大版.doc

6.3等比数列及其前n项和最新考纲考情考向分析1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题3.了解等比数列与指数函数的关系.以考查等比数列的通项、前n项和及性质为主，等比数列的证明也是考查的热点本节内容在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查.1等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q表示(q0)2等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1qn1(a10，q0)3等比中项如果在a与b中插入一个数g，使得a，g，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，g2ab，g，称g为a，b的等比中项4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mn)(2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nn)，则akalaman.(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍是等比数列5等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为sn，当q1时，snna1；当q1时，sn.6等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前n项和为sn，则sn，s2nsn，s3ns2n仍成等比数列，其公比为qn.知识拓展等比数列an的单调性(1)满足或时，an是递增数列(2)满足或时，an是递减数列(3)当时，an为常数列(4)当q0，b22，.5设sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则_.答案11解析设等比数列an的公比为q，8a2a50，8a1qa1q40.q380，q2，11.6一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 kb，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机_分钟，该病毒占据内存64 mb(1 mb210 kb)答案48解析由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列an，且a12，q2，an2n，则2n64210216，n16.即病毒共复制了16次所需时间为16348(分钟).题型一等比数列基本量的运算1(2018开封质检)已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2等于()a2 b1 c. d.答案c解析由an为等比数列，得a3a5a，又a3a54(a41)，所以a4(a41)，解得a42.设等比数列an的公比为q，则由a4a1q3，得2q3，解得q2，所以a2a1q.故选c.2(2018届河北衡水中学二调)设正项等比数列an的前n项和为sn，且1，若a3a520，a3a564，则s4等于()a63或120 b256c120 d63答案c解析由题意得解得或又1，所以数列an为递减数列，故设等比数列an的公比为q，则q2，因为数列为正项数列，故q，从而a164，所以s4120.故选c.思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解题型二等比数列的判定与证明典例 (2018潍坊质检)设数列an的前n项和为sn，已知a11，sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明由a11及sn14an2，得a1a2s24a12.a25，b1a22a13.又由，得an14an4an1(n2)，an12an2(an2an1)(n2)bnan12an，bn2bn1(n2)，故bn是首项b13，公比为2的等比数列(2)解由(1)知bnan12an32n1，故是首项为，公差为的等差数列(n1)，故an(3n1)2n2.引申探究若将本例中“sn14an2”改为“sn12sn(n1)”，其他不变，求数列an的通项公式解由已知得n2时，sn2sn1n.sn1sn2sn2sn11，an12an1，an112(an1)，n2，(*)又a11，s2a1a22a12，即a212(a11)，当n1时(*)式也成立，故an1是以2为首项，以2为公比的等比数列，an122n12n，an2n1.思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可(2)利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证跟踪训练 (2016全国)已知数列an的前n项和sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若s5，求.(1)证明由题意得a1s11a1，故1，a1，a10.由sn1an，sn11an1，得an1an1an，即an1(1)an，由a10，0得an0，所以.因此an是首项为，公比为的等比数列，于是ann1.(2)解由(1)得sn1n.由s5得15，即5.解得1.题型三等比数列性质的应用1已知数列an为等比数列，且a2a3a4a64，则tan等于()a. bc d答案b解析由等比数列的性质可得a2a3a4a64，a34，a7a3q40)的等比数列an的前n项和为sn.若s23a22，s43a42，则a1等于()a2 b1c. d.答案b解析由s23a22，s43a42，得a3a43a43a2，即qq23q23，解得q1(舍去)或q，将q代入s23a22中得a1a13a12，解得a11，故选b.3(2018届河南洛阳联考)在等比数列an中，a2，a16是方程x26x20的根，则的值为()a bc. d或答案d解析由a2，a16是方程x26x20的根，可得a2a166，a2a162，显然两根同为负值，aq162，即有a2，则的值为a9.故选d.4(2017安阳一中模拟)已知数列an的前n项和sn3n2，nn，则()aan是递增的等比数列ban是递增数列，但不是等比数列can是递减的等比数列dan不是等比数列，也不单调答案b解析sn3n2，sn13n12，ansnsn13n2(3n12)23n1(n2)，当n1时，a1s11不适合上式ana11，a26，当n2时，3.数列an从第二项起构成首项为6，公比为3的等比数列综上可得，数列an是递增数列，但不是等比数列5(2017广元模拟)等比数列an的各项均为正数，且a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a10等于()a5 b9 clog345 d10答案d解析由等比数列的性质知a5a6a4a7，又a5a6a4a718，所以a5a69，则原式log3(a1a2a10)log3(a5a6)510.6中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了()a192里 b96里 c48里 d24里答案b解析设等比数列an的首项为a1，公比为q，由题意得378，解得a1192，则a219296，即第二天走了96里，故选b.7已知an是各项都为正数的等比数列，其前n项和为sn，且s23，s415，则a3_.答案4解析s4s2a3a412，s2a1a23，q24，q2或q2(舍去)，a3a4a3(1q)3a312，a34.8在各项均为正数的等比数列an中，若a21，a8a62a4，则a6的值是_答案4解析因为a8a2q6，a6a2q4，a4a2q2，所以由a8a62a4，得a2q6a2q42a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2q220，解得q22，q21(舍去)，a6a2q41224.9已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和为_答案2n1解析设等比数列的公比为q，则有解得或又an为递增数列，数列an的前n项和为2n1.10已知数列an的前n项和为sn，且满足ansn1(nn)，则通项an_.答案解析ansn1，an1sn11(n2)，由，得anan1an0，即(n2)，又a1，数列an是首项为，公比为的等比数列，则ann1.11(2016全国)已知各项都为正数的数列an满足a11，a(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式解(1)由题意，得a2，a3.(2)由a(2an11)an2an10，得2an1(an1)an(an1)因为an的各项都为正数，所以an10，所以.故an是首项为1，公比为的等比数列，因此an.12已知数列an中，a11，anan1n，记t2n为an的前2n项的和，bna2na2n1，nn.(1)判断数列bn是否为等比数列，并求出bn；(2)求t2n.解(1)anan1n，an1an2n1，即an2an.bna2na2n1，a11，a1a2，a2，b1a1a2.bn是首项为，公比为的等比数列bnn1.(2)由(1)可知，an2an，a1，a3，a5，是以a11为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，是以a2为首项，以为公比的等比数列，t2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)3.13(2017新乡三模)若数列an1an是等比数列，且a11，a22，a35，则an_.答案解析a2a11，a3a23，q3，an1an3n1，ana1a2a1a3a2an1an2anan1133n2，a11，an.14设数列an的前n项和为sn，且a11，anan1(n1,2,3，)，则s2n3_.答案解析由题意，得s2n3a1(a2a3)(a4a5)(a2n2a2n3)1.15设an是等比数列，公比q，sn为an的前n项和，记tn，nn，设为数列tn的最大项，则n0_.答案4解析由等比数列的前n项和公式得sn，则tn，令()nt，则tn，当且仅当t，即t4时等号成立，即()n4，n4时，tn取得最大值16(2017武汉市武昌区调研)设sn为数列an的前n项和，sn(1)nan(nn)，则数列sn的前9项和为_答案解析因为sn(1)nan，所以sn1(1)n1an