应用数学基础习题解答4.pdf

1 习题 4 解答 1 用顺序 Gauss 消元法解下列线性方程组 1 123 123 123 24 326 225 xxx xxx xxx 解 解 将方程组进行顺序 Gauss 消元法 得同解三角方程组 123 23 3 24 0 1 xxx xx x 回代得 3 1x 2 1x 1 1x 2 1 2 3 4 1233415 1831115 11116 31112 x x x x 解 解 对增广矩阵进行初等变换 得 12334151233415 183111503 27 2515 2 111160011 329 611 31112000 91 330 得同解三角方程组 1234 234 34 4 1233415 3715 5 222 1129 11 36 91 0 33 xxxx xxx xx x 回代得 4 0 x 3 3x 2 2x 1 1x 2 2 试用列主元 Gauss 消元法解方程组系 Ax b Ay c Az d 其中 401007 212 1 0 1 032444 Abcd 解 解 对增广进行初等变换 4 01 007 2 12 101 0 32 444 A b c d 21 4 01 007 1 0 13 2 109 2 2 0 32 444 rr 32 4 01 007 0 32 444 0 13 2 109 2 rr 32 4 01007 1 0 32444 3 0 013 61 3 4 335 6 rr 得同解方程组 13 23 3 40 324 13 61 3 xx xx x 13 23 3 40 324 13 64 3 yy yy y 13 23 3 47 324 13 635 6 zz zz z 3 回代得 1 1 26 x 2 16 13 x 3 2 13 x 1 2 13 y 2 12 13 y 3 8 13 y 1 63 26 z 2 6 13 x 3 35 13 z 3 分别用顺序 Gauss 消元法和列主元 Gauss 消元法求矩阵 8 1023 13 7124 623 21 0725 643 A 的行列式det A的值 解 解 由顺序 Gauss 消元得 88 9999 99 10231023 00 2 100 3 1000 2 100 3 10 00 4 100 6 10000 A 从而det0 A 用列主元 Gauss 消元法得 21 0725 64321 0725 643 03 1761 801803 1761 8018 02 0003 00000 0001 8656 A 则有det11 85 A 4 设线性方程组Ax b的系数矩阵 ij a A 11 0a 经过一步顺序 Gauss 消 元法得到 T 2 111 2 a A 0 a A 其中 2 2 222 2 2 2 2 n nnn aa aa A 试证 1 若A对称 则 2 A也对称 2 若A严格对角占优 则 2 A也严格对角占优 证明 证明 1 由顺序 Gauss 消元公式及A对称得 4 1 2 2 1 11 1111 2 3 j i ijijjjiiji a a aaaaaai jn aa 故 2 A也对称 2 由A严格对角占优 则 1 1 2 n ijii j j i aain 而 2 1 1 11 i ijijj a aaa a 故 1 2 1 11 2222 1111 ijij nnnn i i ijjj jjjj j ij ij ij i aa aaaaa aa 11 11111 122 1111 ij nnn ii ijiij jjj j ij ij i aa aaaaaa aa 11 11111 2 1111 n ii iijiiii j j i aa aaaaaa aa 2 1 1 11 2 3 ii i iii a aaain a 故 2 A也严格对角占优 5 设 n n A B 为非奇异矩阵 证明 1 cond1 A 1 condcond AA 2 1 cond cond 0 AA 3 cond condcond ABAB 证明 证明 1 11 cond1 AAAA AI 1 1111 condcond AAAAAA 2 11 cond cond AAAAAA 3 111 cond B ABABAABA B 5 11 condcond AA BBAB 6 设 12 1 00012 A 002 020 300 B 10099 9998 C 求条件数cond A 1 cond B 2 cond C 解 解 因为 1 1000010000 5000 55000 A max 12 1 000123 0001 A 1 max 10000 10000 5000 5 5000 20000 A 所以cond 3 0001 2000060002 A 又 1 1 00 3 1 00 2 1 00 2 B 1 max 3 2 23 B 1 1 1 1 11 max 2 2 32 B 所以 1 13 cond 3 22 B 又由于C为对称矩阵 且 2 10099 19810 9998 IC 得 max 999802 C min 999802 C 所以 max 2 min cond 19603 198 9802 C C C 6 7 已知 11 1 23 111 234 111 345 A 11 6 13 12 47 60 b 1 计算A的条件数cond A 2 解方程组Ax b时 A和b有微小误差 取三位有效数字 估计解x的误差 x x 解 解 1 因为 1 93630 36192180 30180180 A 11 6 A 1 408 A 所以cond 748 A 2 若A和b取三位有效数字 则方程组变为 11 22 33 1 0000 5000 3331 833 0 5000 3330 2501 083 0 3330 2500 2000 783 xx xx xx 记此方程组为 A A x x b b 其解为 T 1 0895 0 4880 1 4910 x x 而原方程组Ax b的精确解为 T 1 1 1 x 于是 T 0 0895 0 5120 0 4910 x 3 0 18 100 02 M 从而 Jacobi 迭代格 式发散 G S 迭代矩阵为 1 2 MDLU 其特征方程为 2 2 6 0 3 IMDLU 得特征值为 0 6 其谱半径为 2 61 M 从而 G S 迭代格式发散 15 给定线性方程组Ax b 其中 32 12 A 3 1 b 用迭代公式 1 0 1 2 kkk k xxbAx 求解Ax b 问 取什么实数时可使迭代格式收敛 取什么实数时可使迭代格式收 敛最快 解 已知迭代公式的迭代矩阵为 1 32 1 2 MIAA 其特征方程为 1 3 2 0 1 2 IM 12 得其特征值为 1 1 2 1 4 从而 max 1 1 4 M 当0 时 1 4 M 当 2 0 5 时 1 M 当 2 5 时 41 M 1 M当且仅当 1 0 2 迭代格式收敛 当 2 5 时 min 3 5 M 迭代格式收敛最快 16 设 1110 1110 1100 A 求 A 1 3 A 1 4 A 解 对A进行初等变换求A的等价标准形 记录所做的初等行变换可得m阶可 逆阵P 记录所做的初等列变换可得n阶可逆阵Q 由 11101001000001 11100100100101 11000010000110 10000001010000 01000000010000 00100000100000 00010000001000 故 2 4 3 I A QP 0 00 1010100 001 0010010 101 0100000 110 0001000 001 000 101 000 H 001011110 101001121 110110012 PP 则 1 22 1 2 2 PP 3 0 1 P 因此 13 1 1 3 232 4 3 IP P AQP ST 121 342 1001010 001 011 20010 101 0100 110 0001 sst sst 其中 1 2 3 4 1 2 ij s itj 为任意常数 H 100010101010 001000100100 110001001020 000100010001 Q Q 1 223 201 2010 010100 QQQ 2 1 4 1H 2 4 3 3 IR AQP Q QT 1 2 1 2 101010 001 010010 101 1 200100 110 000001 r r t t 17 设 1 1 121 1 1 101 0 0 AB 求 AB 解 解 因为A为行满秩矩阵 则 1 11111 21 6 121 202010 101 11111 21 6 A B的满秩分解为 1 11 1 111 1 0 00 B 14 故 1 11 111 1 0 1 1 11 1 011 1 0 111 1 04 0 B 18 证明定理 4 12 证 证 略 19 求无解线性方程组Ax b的极小范数最小二乘解 其中 10