高考数学二轮复习 考前专题五 立体几何与空间向量 第2讲 空间中的平行与垂直讲学案 理.doc

第2讲空间中的平行与垂直1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定定理与性质定理对命题的真假进行判断，属于基础题2以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等热点一空间线面位置关系的判定空间线面位置关系判断的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断例1(1)(2017四川省眉山中学月考)已知m，n为空间中两条不同的直线，为空间中两个不同的平面，下列命题正确的是()a若n，n，m，则mb若m，则mc若m，n在内的射影互相平行，则mnd若ml，l，则m答案a解析由题意知，n，n，则，又m，则m，a正确；若m，可能会现m， b错误；若m，n在内的射影互相平行，两直线异面也可以， c错误；若ml，l，可能会出现m， d错误故选a.(2)(2017届泉州模拟)设四棱锥pabcd的底面不是平行四边形，用平面去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面()a有无数多个b恰有4个c只有1个d不存在答案a解析如图，由题知面pad与面pbc相交，面pab与面pcd相交，可设两组相交平面的交线分别为m，n，由m，n决定的平面为，作与平行且与四条侧棱相交，交点分别为a1，b1，c1，d1，则由面面平行的性质定理得a1b1nc1d1，a1d1mb1c1，从而得截面必为平行四边形由于平面可以上下平移，可知满足条件的平面有无数多个故选a.思维升华解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中跟踪演练1(1)，是三个平面，m, n是两条直线，则下列命题正确的是()a若m, n，mn，则b若，m, n，则mnc若m不垂直平面，则m不可能垂直于平面内的无数条直线d若m，n，mn，则答案d解析逐一分析所给的命题：a项，若m, n，mn，并非一条直线垂直于平面内的两条相交直线，不一定有，该说法错误；b项，若，m, n，无法确定m，n的关系，该说法错误；c项，若m不垂直平面，则m可能垂直于平面内的无数条直线，该说法错误；d项，若m，n，mn，则，该说法正确故选d.(2)(2017届株洲一模)如图，平面平面，直线l, a，c是内不同的两点，b，d是内不同的两点，且a，b，c，d直线l, m，n分别是线段ab，cd的中点下列判断正确的是()a当cd2ab时，m，n两点不可能重合bm，n两点可能重合，但此时直线ac与l不可能相交c当ab与cd相交，直线ac平行于l时，直线bd可以与l相交d当ab，cd是异面直线时，直线mn可能与l平行答案b解析由于直线cd的两个端点都可以动，所以m，n两点可能重合，此时两条直线ab，cd共面，由于两条线段互相平分，所以四边形acbd是平行四边形，因此acbd，则bd，所以由线面平行的判定定理可得ac，又因为ac，l，所以由线面平行的性质定理可得acl，故应排除答案a，c，d，故选b.热点二空间平行、垂直关系的证明空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化例2(1)(2017全国)如图，四棱锥pabcd中，侧面pad为等边三角形且垂直于底面abcd，abbcad，badabc90.证明：直线bc平面pad；若pcd的面积为2，求四棱锥pabcd的体积证明在平面abcd内，因为badabc90，所以bcad.又bc平面pad，ad平面pad，所以bc平面pad.解如图，取ad的中点m，连接pm，cm.由abbcad及bcad，abc90得四边形abcm为正方形，则cmad.因为侧面pad为等边三角形且垂直于底面abcd，平面pad平面abcdad，所以pmad，pm底面abcd.因为cm底面abcd，所以pmcm.设bcx，则cmx，cdx，pmx，pcpd2x.取cd的中点n，连接pn，则pncd，所以pnx.因为pcd的面积为2，所以xx2，解得x2(舍去)或x2.于是abbc2，ad4，pm2.所以四棱锥pabcd的体积v24.(2)(2017重庆市巴蜀中学三模)如图，平面abcd平面adef，四边形abcd为菱形，四边形adef为矩形，m，n分别是ef，bc的中点，ab2af, cba60.求证：dm平面mna；若三棱锥admn的体积为，求mn的长证明连接ac，在菱形abcd中，cba60，且abbc，abc为等边三角形，又n为bc的中点，anbc，bcad，anad，又平面abcd平面adef，平面abcd平面adefad，an平面abcd，an平面adef，又dm平面adef，dman.在矩形adef中，ad2af，m为ef的中点，amf为等腰直角三角形，amf45，同理可证dme45，dma90，dmam，又amana，且am，an平面mna，dm平面mna.设afx，则ab2af2x，在rtabn中，ab2x, bnx, abn60，anx，sadn2xxx2.平面abcd平面adef, ad为交线，faad，fa平面abcd，设h为点m到平面adn的距离，则hafx，vmadnsadnhx2xx3，vmadnvadmn，x1.mn.思维升华垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换(2)证明线线垂直常用的方法：利用等腰三角形底边中线即高线的性质；勾股定理；线面垂直的性质，即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l，ala.跟踪演练2(2017北京市海淀区适应性考试)如图，四棱锥pabcd的底面是边长为1的正方形，侧棱pa底面abcd，且pa，e是侧棱pa上的动点(1)求四棱锥pabcd的体积；(2)如果e是pa的中点，求证：pc平面bde；(3)是否无论点e在侧棱pa的任何位置，都有bdce？证明你的结论(1)解pa平面abcd，vpabcds正方形abcdpa12，即四棱锥pabcd的体积为.(2)证明连接ac交bd于o，连接oe.四边形abcd是正方形，o是ac的中点，又e是pa的中点，pcoe，pc平面bde, oe平面bde，pc平面bde.(3)解无论点e在任何位置，都有bdce.证明如下：四边形abcd是正方形，bdac，pa底面abcd，且bd平面abcd，bdpa，又acpaa，ac，pa平面pac，bd平面pac.无论点e在任何位置，都有ce平面pac，无论点e在任何位置，都有bdce.热点三平面图形的折叠问题平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化，有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法例3(2017孝义质检)如图(1)，在五边形abcde中，edea，abcd，cd2ab，edc150.如图(2)，将ead沿ad折到pad的位置，得到四棱锥pabcd.点m为线段pc的中点，且bm平面pcd.(1)求证：平面pad平面abcd；(2)若四棱锥pabcd的体积为2，求四面体bcdm的体积(1)证明取pd的中点n，连接an，mn，如图所示，则mncd，mncd.又abcd，abcd，mnab且mnab，四边形abmn为平行四边形，anbm，又bm平面pcd，an平面pcd，anpd，ancd.由edea，即pdpa及n为pd的中点，可得pad为等边三角形，pda60，又edc150，cda90，cdad，又anada，an平面pad，ad平面pad，cd平面pad，又cd平面abcd，平面pad平面abcd.(2)解设四棱锥pabcd的高为h，四边形abcd的面积为s，则vpabcdhs2，又sbcds，四面体bcdm的高为.vbcdmsbcdhs6，四面体bcdm的体积为.思维升华(1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论跟踪演练3(2017届四川省成都市九校模拟)如图，在直角梯形abcd中，adbc, abbc, bddc，点e是bc边的中点，将abd沿bd折起，使平面abd平面bcd，连接ae, ac, de, 得到如图所示的空间几何体(1)求证：ab平面adc；(2)若ad1，ab，求点b到平面ade的距离(1)证明因为平面abd平面bcd，平面abd平面bcdbd，又bddc，dc平面bcd，所以dc平面abd.因为ab平面abd，所以dcab.又adab，dcadd，ad，dc平面adc，所以ab平面adc.(2)解因为ab，ad1，所以bd.依题意abddcb，所以，即.所以cd.故bc3.由于ab平面adc，abac，e为bc的中点，所以ae.同理de.所以sade1.因为dc平面abd，所以vabcdcdsabd.设点b到平面ade的距离为d，则dsadevbadevabdevabcd，所以d，即点b到平面ade的距离为.真题体验1(2017全国改编)如图，在下列四个正方体中，a，b为正方体的两个顶点，m，n，q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线ab与平面mnq不平行的是_答案(1)解析对于(1)，作如图所示的辅助线，其中d为bc的中点，则qdab.qd平面mnqq，qd与平面mnq相交，直线ab与平面mnq相交；对于(2)，作如图所示的辅助线，则abcd，cdmq，abmq，又ab平面mnq，mq平面mnq，ab平面mnq；对于(3)，作如图所示的辅助线，则abcd，cdmq，abmq，又ab平面mnq，mq平面mnq，ab平面mnq；对于(4)，作如图所示的辅助线，则abcd，cdnq，abnq，又ab平面mnq，nq平面mnq，ab平面mnq.2(2017江苏)如图，在三棱锥abcd中，abad，bcbd，平面abd平面bcd，点e，f(e与a，d不重合)分别在棱ad，bd上，且efad.求证：(1)ef平面abc；(2)adac.证明(1)在平面abd内，因为abad，efad，所以abef.又ef平面abc，ab平面abc，所以ef平面abc.(2)因为平面abd平面bcd，平面abd平面bcdbd，bc平面bcd，bcbd，所以bc平面abd.因为ad平面abd，所以bcad.又abad，bcabb，ab平面abc，bc平面abc，所以ad平面abc.又ac平面abc，所以adac.押题预测1不重合的两条直线m，n分别在不重合的两个平面，内，下列为真命题的是()amnmbmncmdmn押题依据空间两条直线、两个平面之间的平行与垂直的判定是立体几何的重点内容，也是高考命题的热点此类题常与命题的真假性、充分条件和必要条件等知识相交汇，意在考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力答案c解析构造长方体，如图所示因为a1c1aa1，a1c1平面aa1c1c，aa1平面aa1b1b，但a1c1与平面aa1b1b不垂直，所以平面aa1c1c与平面aa1b1b不垂直所以选项a，b都是假命题cc1aa1，但平面aa1c1c与平面aa1b1b相交而不平行，所以选项d为假命题“若两平面平行，则一个平面内任何一条直线必平行于另一个平面”是真命题，故选c.2如图(1)，在正abc中，e，f分别是ab，ac边上的点，且beaf2cf.点p为边bc上的点，将aef沿ef折起到a1ef的位置，使平面a1ef平面befc，连接a1b，a1p，ep，如图(2)所示(1)求证：a1efp；(2)若bpbe，点k为棱a1f的中点，则在平面a1fp上是否存在过点k的直线与平面a1be平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由押题依据以平面图形的翻折为背景，探索空间直角与平面位置关系的考题创新性强，可以考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，预计将成为今年高考的命题形式(1)证明在正abc中，取be的中点d，连接df，如图所示因为beaf2cf，所以afad，aede，而a60，所以adf为正三角形又aede，所以efad.所以在题图(2)中a1eef，又a1e平面a1ef，平面a1ef平面befc，且平面a1ef平面befcef，所以a1e平面befc.因为fp平面befc，所以a1efp.(2)解在平面a1fp上存在过点k的直线与平面a1be平行理由如下：如题图(1)，在正abc中，因为bpbe，beaf，所以bpaf，所以fpab，所以fpbe.如图所示，取a1p的中点m，连接mk，因为点k为棱a1f的中点，所以mkfp.因为fpbe，所以mkbe.因为mk平面a1be，be平面a1be，所以mk平面a1be.故在平面a1fp上存在过点k的直线mk与平面a1be平行a组专题通关1(2017河南省六市联考)如图，g, h, m, n分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示gh, mn是异面直线的图形的序号为()abcd答案d解析由题意可得图中gh与mn平行，不合题意；图中的gh与mn异面，符合题意；图中gh与mn相交，不合题意；图中gh与mn异面，符合题意则表示gh, mn是异面直线的图形的序号为.故选d.2(2017宣城调研)已知m, n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题，错误的命题是()a若m，m，n，则mnb若，m，n，则mnc若，m，则md若，m，则m答案d解析由m，m，n，利用线面平行的判定与性质定理可得mn，a正确；由，m，n，利用线面、面面垂直的性质定理可得mn，b正确；由，m，利用线面、面面垂直的性质定理可得m，c正确；由，m，则m或m，可得d不正确故选d.3已知平面及直线a，b下列说法正确的是()a若直线a，b与平面所成角都是30，则这两条直线平行b若直线a，b与平面所成角都是30，则这两条直线不可能垂直c若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面平行d若直线a，b垂直，则这两条直线与平面不可能都垂直答案d解析由题意逐一分析所给的选项若直线a，b与平面所成角都是30，则这两条直线不一定平行；若直线a，b与平面所成角都是30，则这两条直线可能垂直；若直线a，b平行，则这两条直线中可能两条都与平面不平行；若直线a，b垂直，则这两条直线与平面不可能都垂直故选d.4已知m，n，l1，l2表示不同的直线，表示不同的平面，若m，n，l1，l2，l1l2m，则的一个充分条件是()am且l1bm且ncm且nl2dml1且nl2答案d解析对于选项a，当m且l1时，可能平行也可能相交，故a不是的充分条件；对于选项b，当m且n时，若mn，则，可能平行也可能相交，故b不是的充分条件；对于选项c，当m且nl2时，可能平行也可能相交，故c不是的充分条件；对于选项d，当ml1，nl2时，由线面平行的判定定理可得l1，l2，又l1l2m，由面面平行的判定定理可以得到，但时，ml1且nl2不一定成立，故d是的一个充分条件故选d.5对于四面体abcd，有以下命题：若abacad，则ab，ac，ad与底面所成的角相等；若abcd，acbd，则点a在底面bcd内的射影是bcd的内心；四面体abcd的四个面中最多有四个直角三角形；若四面体abcd的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为.其中正确的命题是()abcd答案d解析正确，若abacad，则ab，ac，ad在底面的射影相等，即与底面所成角相等；不正确，如图，点a在平面bcd的射影为点o，连接bo，co，可得bocd，cobd，所以点o是bcd的垂心；正确，如图，ab平面bcd, bcd90，其中有4个直角三角形；正确，正四面体的内切球的半径为r，棱长为1，高为，根据等体积公式s4sr，解得r，那么内切球的表面积s4r2，故选d.6正方体abcda1b1c1d1中，e为线段b1d1上的一个动点，则下列结论中正确的是_(填序号)acbe；b1e平面abcd；三棱锥eabc的体积为定值；直线b1e直线bc1.答案解析因为ac平面bdd1b1，故正确；因为b1d1平面abcd，故正确；记正方体的体积为v，则veabcv，为定值，故正确；b1e与bc1不垂直，故错误7下列四个正方体图形中，点a，b为正方体的两个顶点，点m，n，p分别为其所在棱的中点，能得出ab平面mnp的图形的序号是_(写出所有符合要求的图形序号)答案解析对于，注意到该正方体的面中过直线ab的侧面与平面mnp平行，因此直线ab平面mnp；对于，注意到直线ab和过点a的一个与平面mnp平行的平面相交，因此直线ab与平面mnp相交；对于，注意到此时直线ab与平面mnp内的一条直线mp平行，且直线ab位于平面mnp外，因此直线ab与平面mnp平行；对于，易知此时ab与平面mnp相交综上所述，能得出直线ab平行于平面mnp的图形的序号是.8.如图，在三棱柱abca1b1c1中，侧棱aa1底面abc，底面是以abc为直角的等腰直角三角形，ac2a，bb13a，点d是a1c1的中点，点f在线段aa1上，当af_时，cf平面b1df.答案a或2a解析由题意易知，b1d平面acc1a1，所以b1dcf.要使cf平面b1df，只需cfdf即可令cfdf，设afx，则a1f3ax.易知rtcafrtfa1d，得，即，整理得x23ax2a20，解得xa或x2a.9(2017山东)由四棱柱abcda1b1c1d1截去三棱锥c1b1cd1后得到的几何体如图所示四边形abcd为正方形，o为ac与bd的交点，e为ad的中点，a1e平面abcd.(1)证明：a1o平面b1cd1；(2)设m是od的中点，证明：平面a1em平面b1cd1.证明(1)取b1d1的中点o1，连接co1，a1o1，由于abcda1b1c1d1是四棱柱，所以a1o1oc，a1o1oc，因此四边形a1oco1为平行四边形，所以a1oo1c.又o1c平面b1cd1，a1o平面b1cd1，所以a1o平面b1cd1.(2)因为acbd，e，m分别为ad和od的中点，所以embd.又a1e平面abcd，bd平面abcd，所以a1ebd.因为b1d1bd，所以emb1d1，a1eb1d1.又a1e，em平面a1em，a1eeme，所以b1d1平面a1em.又b1d1平面b1cd1，所以平面a1em平面b1cd1.10(2017届宁夏六盘山高级中学模拟)如图所示，矩形abcd中，ab3, bc4，沿对角线bd把abd折起，使点a在平面bcd上的射影e落在bc上(1)求证：平面acd平面abc；(2)求三棱锥abcd的体积(1)证明ae平面bcd，aecd.又bccd，且aebce，cd平面abc.又cd平面acd，平面acd平面abc.(2)解由(1)知，cd平面abc，又ab平面abc，cdab.又abad，cdadd，ab平面acd.vabcdvbacdsacdab.又在acd中，accd，adbc4，abcd3，ac，vabcd33.b组能力提高11如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12，ab1，m，n分别在ad1，bc上移动，且始终保持mn平面dcc1d1，设bnx，mny，则函数yf(x)的图象大致是()答案c解析过m作mqdd1，交ad于点q，连接qn.mn平面dcc1d1，mq平面dcc1d1，mnmqm，平面mnq平面dcc1d1，又平面abcd与平面mnq和dcc1d1分别交于直线qn和直线dc，nqdc，可得qncdab1，aqbnx，2，mq2x.在rtmqn中，mn2mq2qn2，即y24x21，y24x21 (0x1)，函数yf(x)的图象为焦点在y轴上的双曲线上支的一部分故选c.12.(2017届江西省重点中学协作体联考)如图，在长方体abcda1b1c1d1中，aa16，ab3，ad8, 点m是棱ad的中点，n在棱aa1上，且满足an2na1, p是侧面四边形add1a1内一动点(含边界)，若c1p平面cmn，则线段c1p长度的最小值是_答案解析取a1d1的中点q，过点q在平面add1a1内作mn的平行线交dd1于e，则易知平面c1qe平面cmn，在c1qe中作c1pqe，则c1p为所求13.(2017届江西省重点中学协作体联考)如图，多面体abcb1c1d是由三棱柱abca1b1c1截去一部分后而成，d是aa1的中点(1)若f在cc1上，且cc14cf，e为ab的中点，求证：直线ef平面b1c1d；(2)若adac1，ad平面abc, bcac, 求点c到面b1c1d的距离(1)证明方法一取ac的中点g，cc1的中点为h，连接ah，gf，ge，如图所示ad綊c1h，四边形adc1h为平行四边形，ahc1d，又f是ch的中点，g是ac的中点，gfah, gfc1d，又gf平面c1db1，c1d平面c1db1，gf平面c1