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文档简介

求曲线的方程 引例 在美丽的南沙群岛中 甲岛与乙岛相距8海里 军舰在海上巡逻 巡逻过程中 从军舰上看甲乙两岛 保持视角为直角 你认为军舰巡逻的路线应是怎样的曲线 你能为它写出一个方程吗 思考1 如果将两岛和军舰都看作点 那转化为什么数学问题 从军舰看甲乙两岛 保持视角为直角可转化为什么几何条件 c a b 8 1 什么是曲线的方程和方程的曲线 答 一般地 在直角坐标系中 如果某曲线c上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立了如下的关系 1 曲线c上的点的坐标都是方程f x y 0的解 2 以方程f x y 0的解为坐标的点都是曲线c上的点 那么方程f x y 0叫做曲线c的方程 曲线c叫做方程f x y 0的曲线 知识回顾 解析几何研究的主要问题 1 根据已知条件 求出表示 2 通过曲线的方程 研究曲线的 自学导引 3 曲线的方程 性质 1 在数学中 通过建立曲线方程 然后用方程研究曲线的方法 叫做 坐标法 坐标法 2 解析几何的定义 用研究的知识形成的学科叫解析几何 坐标法 几何图形 题型一直接法求曲线方程 已知点a 1 1 点b 3 7 求线段ab的垂直平分线的方程 例1 思路1 直接求ab的中点及垂直平分线的斜率 由点斜式即可得 解 设m x y 是线段ab的垂直平分线上任意一点 由两点间的距离公式得 将上式两边平方 整理得 x 2y 7 0 下面证明方程 是线段ab的垂直平分线的方程 1 由求方程的过程可知 垂直平分线上每一点的坐标都是方程 的解 2 设点的坐标是方程 的解 即 点m1到a b的距离分别是 即点m1在线段ab的垂直平分线上 由 1 2 可知方程 是线段ab的垂直平分线的方程 变式1 已知等腰三角形底边的两个端点是 1 1 b 3 7 求第三个顶点m的轨迹方程 点m的轨迹方程为x 2y 7 0 x 1 分析 点m的轨迹为ab的垂直平分线且不过点 1 3 变式2 已知等腰三角形底边ab长为 建立适当的坐标系 求顶点m的轨迹方程 1 建系 若已给出 本步可省 建立的坐标系使方程尽可能简单 尽可能多的使图形上的点 或已知点 落在坐标轴上 充分利用图形本身的对称性 若曲线是轴对称图形 则可以选它的对称轴为坐标轴 也可以选取曲线上的特殊点为坐标原点 检验 验证以化简后的方程的解为坐标的点都在曲上 一般变为确定x y的范围即可 检验方法 研究运动中的特殊情形或极端情形 可不证明 但要检验是否产生增解或漏解 c a b 思考2 你觉得应如何建立直角坐标系 思考3 由角c为直角你能联想到什么 已知在直角三角形abc中 角c为直角 斜边ab长为8 建立适当的坐标系 求点c的轨迹方程 分析1 利用m的坐标写出a b的坐标 再利用两直线垂直 分析2 利用m的坐标写出a b的坐标 再利用两直线垂直 小结 1 求曲线方程的一般步骤 建系设点 列几何式 坐标表示 化简方程 检验说明 建系要适当 检
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