2020届河南省开封市高考一模试卷数学（文科 ）（PDF版含答案）

第 1 页 共 10 页 高考数学一模试卷 文科 高考数学一模试卷 文科 题号 一 二 三 总分 得分 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 已知集合 A x x 2 或 x 3 B N 则 B RA A 1 0 1 2 B 1 C 1 0 D 0 1 2 2 复数的实部小于虚部 则实数 a 的取值范围是 A 0 B 1 C 0 D 1 3 设 与 都是非零向量 则 是 向量 与 夹角为锐角 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 4 已知角 的顶点与原点重合 始边与 x轴正半轴重合 终边经过点 1 2 则 tan2 A B C D 5 已知定义在 m 5 1 2m 上的奇函数 f x 满足 x 0 时 f x 2 x 1 则 f m 的值为 A 15 B 7 C 3 D 15 6 某省普通高中学业水平考试成绩按人数所占比例依次由高到低分为 A B C D E 五个等级 A等级 15 B等级 30 C 等级 30 D E 等级共 25 其中 E 等级为不合格 原则上比例不超过 5 该省某校高二年级学生都参加学业水平考 试 先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计 统计结果如图所示 若该校 高二年级共有1000名学生 则估计该年级拿到C级及以上级别的学生人数有 A 45 人 B 660 人 C 880人 D 900 人 7 2009年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式 如图 在坡度为 15 的观礼台上 某一列 座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上 在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶 端的仰角分别为 60 和 30 且第一排和最后一排的距离为 10米 则旗杆的高度 为 米 第 2 页 共 10 页 A 20 B 30 C 30 D 35 8 设函数 f x alnx bx 3在点 1 1 处的切线经过点 0 1 则实数 a b的值 为 A 2 B 1 C 0 D 1 9 已知 Fn 是斐波那契数列 则 F1 F2 1 Fn Fn 1 Fn 2 n N 且 n 3 如图程序框图表示输出斐波那契数列 的前 n 项的算法 则 n A 10 B 18 C 20 D 22 10 已知双曲线 C 的左 右焦点分别为 F1 F2 圆 O x2 y2 a2 b2 与C在第一象限的交点为M 若 MF1F2的面积为ab 则双曲线C的离心率为 A B C 2 D 11 将函数 f x asinx bcosx的图象向右平移 个单位长度得到 g x 的图象 若 g x 的对称中心为坐标原点 则关于函数 f x 有下述四个结论 f x 的最小正周期为 2 若 f x 的最大值为 2 则 a 1 f x 在 有两个零点 f x 在区间 上单调 其中所有正确结论的标号是 A B C D 12 已知正方体的棱长为 1 平面 过正方体的一个顶点 且与正方体每条棱所在直线 所成的角相等 则该正方体在平面 内的正投影面积是 A B C D 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 13 已知向量 若 则 m 14 已知点 A 0 2 动点 P x y 的坐标满足条件 则 PA 的最小值是 第 3 页 共 10 页 15 如图 两个同心圆的半径分别为 1和 2 点 M 在大圆上从 点 M0出发逆时针匀速运动 点 N在小圆上从点 N0出发顺 时针匀速运动 图中的阴影是运动一秒钟后 OM ON 分 别扫过的扇形 假设动点 M N 运动了两秒钟 在 OM ON 扫过的扇形中任取一点 则该点落在公共区域内的概率 是 16 若数列 an 满足 则称 数列 an 为 差半递增 数列 若数列 an 为 差半递增 数列 且其通项 an与前 n 项和 Sn满足 则实数 t的取值范围是 三 解答题 本大题共 7 小题 共 82 0 分 17 已知等差数列 an 满足 an 1 n 2an 1 1 求 an 的通项公式 2 记 Sn为 an 的前 n 项和 求数列 的前 n项和 Tn 18 在平面直角坐标系 xOy 中 已知点 F 1 0 动点 Q 到点 F 的距离比到 y轴的距 离大 1 个单位长度 1 求动点 Q的轨迹方程 E 2 若过点 F的直线 l与曲线 E交于 A B 两点 且 求直线 l的方程 19 底面 ABCD为菱形的直四棱柱 被一平面截取后得到如 图所示的几何体 若 DA DH DB 4 AE CG 3 1 求证 EG DF 2 求三棱锥 F BEG的体积 第 4 页 共 10 页 20 某次高三年级模拟考试中 数学试卷有一道满分 10分的选做题 学生可以从 A B 两道题目中任选一题作答 某校有 900名高三学生参加了本次考试 为了了解该校 学生解答该选做题的得分情况 作为下一步教学的参考依据 计划从 900名考生的 选做题成绩中随机抽取一个容量为 10的样本 为此将 900 名考生选做题的成绩按 照随机顺序依次编号为 001 900 1 若采用系统抽样法抽样 从编号为 001 090 的成绩中用简单随机抽样确定的 成绩编号为 025 求样本中所有成绩编号之和 2 若采用分层抽样 按照学生选择 A 题目或 B题目 将成绩分为两层 已知该 校高三学生有 540人选做 A 题目 有 360 人选做 B题目 选取的样本中 A题目的 成绩平均数为 5 方差为 2 B题目的成绩平均数为 5 5 方差为 0 25 i 用样本估计该校这 900 名考生选做题得分的平均数与方差 ii 本选做题阅卷分值都为整数 且选取的样本中 A题目成绩的中位数和 B 题 目成绩的中位数都是 5 5 从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据做进一步 调查 求取到的两个成绩来自不同题目的概率 21 已知函数 a R e 为自然对数的底数 1 当 a 1时 证明 x 0 f x 1 2 若函数 f x 在上存在极值点 求实数 a 的取值范围 22 在直角坐标系 xOy 中 曲线 C1的参数方程为 为参数 以坐标原 点 O 为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C2的极坐标方程为 1 求曲线 C1的极坐标方程和 C2的直角坐标方程 2 设 P 是曲线 C1上一点 此时参数 将射线 OP 绕原点 O逆时针旋转 交曲 线 C2于点 Q 记曲线 C1的上顶点为点 T 求 OTQ 的面积 第 5 页 共 10 页 23 已知 a b c为一个三角形的三边长 证明 1 3 2 2 第 6 页 共 10 页 答案答案 1 答案 D 2 答案 A 3 答案 B 4 答案 D 5 答案 A 6 答案 D 7 答案 B 8 答案 C 9 答案 B 10 答案 A 11 答案 D 12 答案 B 13 答案 1 14 答案 15 答案 16 答案 17 答案 解 1 由已知 an 为等差数列 记其公差为 d 当 n 2时 两式相减可得 d 1 2d 所以 d 1 当 n 1 时 a2 1 2a1 1 所以 a1 1 所以 an 1 n 1 n 2 所以 解析 1 设等差数列的公差为 d 将已知等式中的 n换为 n 1 相减可得公差 d 1 再令 n 1 可得首项 进而得到所求通项公式 2 由等差数列的求和公式可得 Sn 求得 再由数列的裂项相 消求和 化简可得所求和 本题考查等差数列的定义 通项公式和求和公式 以及数列的裂项相消求和 化简运算 能力 属于中档题 18 答案 解 1 根据抛物线的定义 知动点 Q的轨迹是以 F 为焦点 以 x 1 为 准线的抛物线 所以动点 Q的轨迹方程 E为 y2 4x 2 当 l的斜率不存在时 可知 不符合条件 当 l的斜率存在且不为 0时 设 l y k x 1 第 7 页 共 10 页 则 联立可得 k2x2 2k2 4 x k2 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 1 因为向量 方向相反 所以 所以 k2 1 即 k 1 所以直线 l的方程为 y x 1或 y x 1 解析 1 由抛物线的定义可知求出 Q的轨迹方程 2 设直线方程与抛物线联立 根与系数的关系及数量积可得直线 l的方程 考查抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系 属于中档题 19 答案 1 证明 连接 AC 由 AE CG AE CG 可知四边形 AEGC为平行四 边形 EG AC 由题意知 AC BD AC BF EG BD EG BF BD BF B EG 平面 BDHF 又 DF 平面 BDHF EG DF 2 解 设 AC BD O EG HF P 由已知可得 平面 ADHE 平面 BCGF EH FG 同理可得 EF HG 四边形 EFGH为平行四边形 得 P为 EG的中点 又 O 为 AC的中点 OP AE且 OP AE 由 OP 3 DH 4 由梯形中位线定理得 BF 2 EA FB FB 平面 BCGF EA 平面 BCGF EA 平面 BCGF 点 A到平面 BCGF 的距离等于点 E到平面 BCGF的距离 为 解析 1 连接 AC 由题意可知四边形 AEGC为平行四边形 得到 EG AC 再由 已知证明 EG BF 可得 EG 平面 BDHF 进一步得到 EG DF 2 设 AC BD O EG HF P 由已知证明 EH FG EF HG 得到四边形 EFGH 为平行四边形 则 P为 EG的中点 由 OP 3 DH 4 由梯形中位线定理得 BF 2 求 出三角形 BFG的面积 再证明 EA 平面 BCGF 可得点 A到平面 BCGF 的距离等于点 E 到平面 BCGF 的距离 然后利用等积法求三棱锥 F BEG 的体积 本题考查空间中直线与直线 直线与平面位置关系的判定及其应用 考查空间想象能力 与思维能力 训练了利用等积法求多面体的体积 是中档题 20 答案 解 1 由题意知 若按照系统抽样的方法 抽出的编号可以组成以 25 为首项 以 90 为公差的等差数列 所以样本编号之和即为该数列的前 10项之和 所以 2 i 由题意知 若按分层抽样的方法 抽出的样本中 A题目的成绩有 6 个 按分 值降序分别记为 x1 x2 x6 B 题目的成绩有 4 个 按分值降序分别记为 y1 y2 y3 y4 第 8 页 共 10 页 记样本的平均数为 样本的方差为 s2 由题意可知 i 1 2 6 i 1 2 4 所以估计该校 900名考生选做题得分的平均数为 5 2 方差为 1 36 ii 本选做题阅卷分值都为整数 且选取的样本中 A题目成绩的中位数和 B 题目成 绩的中位数都是 5 5 易知样本中 A 题目的成绩大于样本平均值的成绩有 3 个 分别为 x1 x2 x3 B 题目的成绩大于样本平均值的成绩有 2 个 分别为 y1 y2 从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据共有种 10 方法 为 x1 x2 x1 x3 x2 x3 y1 y2 x 1 y1 x2 y1 x3 y1 x1 y2 x2 y2 x 3 y2 其中取到的两个成绩来自不同题目的取法共有 6种 为 x1 y1 x2 y1 x3 y1 x1 y2 x 2 y2 x3 y2 记 从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据 取到的两个成绩来自不同题目 为 事件 A 所以 解析 1 按照系统抽样方法抽出的编号组成等差数列 计算编号之和即为该数列 的前 10项和 求出即可 2 i 由题意分别计算样本的平均数和方差 由此估计所求的平均数和方差 ii 由题意知样本中 A B 题目的成绩大于样本平均值的成绩个数 用列举法求出基 本事件数 再计算所求的概率值 本题考查了统计数据分析与古典概型的概率计算问题 也考查了分析问题与解答问题的 能力 是中档题 21 答案 解 1 当 a 1时 则 当 x 0 时 0 ex 1 则 又因为 cosx 1 所以当 x 0 时 仅 x 0时 f x 0 所以 f x 在 0 上是单调递减 所以 f x f 0 1 即 f x 1 2 因为 所以 cosx 0 ex 0 当 a 0时 f x 0恒成立 所以 f x 在上单调递增 没有极值点 当 a 0 时 在区间上单调递增 第 9 页 共 10 页 因为 f 0 a 1 当 a 1 时 时 f x f 0 a 1 0 所以 f x 在上单调递减 没有极值点 当 0 a 1 时 f 0 a 1 0 所以存在 使 f x0 0 当时 f x 0 x x0 0 时 f x 0 所以 f x 在 x x0处取得极小值 x0为极小值点 综上可知 若函数 f x 在上存在极值点 则实数 a 0 1 解析 1 把 a 1 代入 直接用导数法证明即可 2 对 f x 求导 对 a进行讨论 判断函数 f x 的极值 确定 a 的范围 本题考查了导数的综合应用及极值点引出的含参问题 综合性高 难度较大 22 答案 解 1 由 为参数 消去参数 可得曲线 C1的普通方程为 由 x cos y sin 可得曲线 C1的极坐标方程为 2cos2 2 2sin2 2 0 由 得 2 2 则 C2的直角坐标方程为 x2 y2 2 2 当 时 P 1 sin xOP cos 将射线 OP绕原点 O逆时针旋转 交曲线 C2于点 Q 又曲线 C1的上顶点为点 T OQ OT 1 则 解析 1 由 为参数 消去参数 可得曲线 C1的普通方程 结 合 x cos y sin 可得曲线 C1的极坐标方程 由 得 2 2 则 C2的直角坐标 方程可求 2 当 时 P 1 sin xOP cos 将射线 OP 绕原点 O