上海交通大学 线性代数教材 课后答案 习题五.doc

习题五（一）1.试判断下列集合对所指定的运算是否构成实数域R上的线性空间:(1)实数域R上的全体n阶实对称矩阵之集合, 对矩阵的加法和数乘;(2)平面上不平行于某一向量的全体向量集合, 依照二维向量的加法和数乘;(3)平面上全体向量对于通常的向量加法和数乘;(4)全体复数集合依照数的加法及数的乘法作数乘.解 (1)是；因为实数域R上的全体n阶实对称矩阵之集合，关于矩阵的加法和数乘封闭，且易证满足8条性质。(2)否；因为关于加法不封闭。(3)否；不满足性质(5).(4)是；全体复数集合依照数的加法封闭，依照数的乘法作数乘封闭，且易证满足8条性质。2.设C(R)是实数域R上所有实函数的集合. 对任意, 定义对于这两种运算, C(R)构成R上的线性空间.问下列子集是否是C(R)的子空间, 为什么?(1)所有连续函数的集合;(2)所有可微函数的集合;(3)所有偶函数的集合;(4)所有奇函数的集合;(5);(6) .解 (1)是；因为所有连续函数的集合关于这里定义的加法和纯量乘法封闭。(2)是；因为所有可微函数的集合关于这里定义的加法和纯量乘法封闭。(3)是；因为对任意,即，所有偶函数的集合关于这里定义的加法和纯量乘法封闭。(4)是；因为对任意,即，所有奇函数的集合关于这里定义的加法和纯量乘法封闭。(5)是；因为对任意,即，关于这里定义的加法和纯量乘法封闭。(6)否；因为对任意,即，关于这里定义的加法不封闭。3.在线性空间中, 取一个固定矩阵A, 试证:与A可交换的全体矩阵构成的一个子空间.证 记与A可交换的全体矩阵为W，对于任意，任意即，从而W使的一个子空间.4.设，均是V的子空间，试证：亦为V的子空间的充要条件是或。证 充分性显然。必要性。反证。假设且，那么存在且，以及且。由于为V的子空间，即或。不妨设，则，矛盾。5.证明是的一个子空间，并且求出它的一个基，确定它的维数。证 对于任意，其中，以及任意，从而是的一个子空间。 是其一组基，其维数为2。6.试求齐次线性方程组的解空间的维数和一组基。解 解空间的一组基为维数是3。7.令其中Q为有理数域, 中元素的加法及数乘运算分别为通常数的加法及乘法. 求证:关于这两种运算构成Q上的线性空间,并求的维数和一组基.证 对于任意，其中，及任意，从而，关于这两种运算构成Q上的线性空间，的一组基为，维数是2。8.验证集合是的子空间，且求出它的维数和一组基。证 对于任意，以及任意，其中，从而关于加法和数乘封闭，是的子空间。其维数是3，是一组基。9.在中，。求由 ， ， ， ，生成的子空间的维数和一组基。解 维数是3，是一组基。10.试求实数域上关于矩阵A的全体实系数多项式构成的线性空间V的一个基及维数，其中解 因为，V的一组基为E,A, ,维数为3。11.求证：，为的一个基，并求，在这个基下的坐标。证满秩，从而 ， ，线性无关，因的维数为3，故 ， ，为的一个基。从而的坐标为，同理，的坐标为。12.验证，是线性空间的一个基，求在该基下的坐标。证 设a,b,c,d使得，即，已知是的一组基，故即得a=b=c=d=0，从而线性无关，由的秩为4，故是一组基。设在该基下的坐标为(a,b,c,d)，则有即得(a,b,c,d)=(7,8,-1,2)。13.在三维线性空间的基 ， ，下，非零向量的坐标为，试选取一组基，使得在这组基下的坐标为。解 不妨设，取基，即满足要求。 若，取基。14.次数不超过3的多项式全体按通常多项式加法与数乘构成的向量空间。现有两组基：及,求基变换公式。解 这两组基在常用基下的坐标向量分别为 (I) （II）因为向量与坐标是一一映射，且保持线性关系，由此可知，的两组基分别对应于的基（I）和基（II）；的两组基的线性关系对应于的基（I）和基（II）的线性关系。由基变换公式：，其中C是由基（I）到基（II）的过渡矩阵，因而有即得15.实线性空间的两组基分别为；。试求从基到基的过渡矩阵，且求矩阵在这两组基下的坐标。解 由于于是在基下的坐标分别为。因而从基到基的过渡矩阵为：。在基下的坐标为因而在基下的坐标为16. 设是4维线性空间V的一组基，V上的线性变换在这组基下的矩阵为 （1） 求在基 下的矩阵；（2） 求的全部特征值和特征向量；（3） 求的一组基，是在这组基下的矩阵是对角矩阵。解：（1） 即过渡矩阵所以在基下的矩阵为为；（2） ，所以的特征根分别为0，1可计算得的特征向量为：不全为零，的特征向量为：，的特征向量为：；（3）基为。17. 设是线性空间V的线性变换，如果存在正整数，使（为恒同变换），证明：的特征值为1.证：设的特征值为，为属于的非零特征向量，则，所以所以。18.设表示全体n阶实矩阵所构成的线性空间，在上定义一个二元实函数（，）(1)证明（，）满足内积的条件，从而作成一个欧式空间；(2) 求这个欧式空间的一组标准正交基。证 (1)对称性：线性性：正定性：因为是正定矩阵，且的充分必要条件是，即A=0。（，）满足内积的条件，从而作成一个欧式空间。(2) 这个欧式空间的一组标准正交基为为第i行第j列为1，其余元素为0的矩阵|19.设是n阶实矩阵，如果对于内积：作成一个欧式空间，证明A必定是正定矩阵。证 对称性：，适当取，便能到到。正定性：,且的充分必要条件是。从而A必定是正定矩阵。20.试考察下列线性空间所定义的变换是否是线性变换：(1)V是一线性空间，是V中非零向量，定义(2)V是一线性空间，是V中非零向量，定义(3) 中，定义(4) 中，定义其中是固定的数；(5) 中，定义(6) 中，定义(7) 中，投影变换P的定义为。解 (1)否。(2)是。(3)是。(4)是。(5)是。(6)否。(7)是。21.V是实线性空间Ca,b中由函数所生成的子空间。(1)试证为V的一组基。(2)求微分变换D在这组基下的矩阵。证 (1)即证线性无关。设，分别取x=0, ，就得到a=b=c=d=0。(2) 22. 中，线性变换A将一组基变到AAA，这些向量分别是AA A 。(1)求A在基下的矩阵；(2)求A在下面一组基下的矩阵(3)求A的表达式，这里。解 (1)( AAA)=( )A,从而(2)设从到的过渡矩阵为C，A在基下的矩阵为(3)注意到x在基下的坐标为，故A在基下的坐标为B,从而A=（）B=23.在中，定义了线性变换：A A其中是一个固定的矩阵(1) 分别求A A 在基下的矩阵。(2) 分别求A A 在基下的矩阵。解 (1)由于 A 下的像为A ，A ， A ， A ，因此A 在基下的矩阵为同理，A 在基下的矩阵为(2)设由基到基的过渡矩阵为C，由于从而因此A 在基下的矩阵为同理，A 在基下的矩阵为24.次数不超过3的多项式全体按通常多项式加法与数乘构成的向量空间。取基求微分运算D的矩阵。解 由于D在标准基下的矩阵为由标准基到基的过渡矩阵为则D在基下的矩阵为25.在中，T表示将向量投影到平面的线性变换，即(1) 取基为i,j,k,求T的矩阵；(2) 取基为i,j,i+j+k,求T的矩阵。解 (1)由于线性变换T下i,j,k的项分别为T(i)=i,T(j)=j,T(k)=0因此T在基i,j,k下的矩阵为(2) 由于线性变换T下i,j,i+j+k的项分别为T(i)=i,T(j)=j,T(i+j+k)=i+j因此T在基i,j,i+j+k下的矩阵为.26.设中线性变换T在基下的矩阵求T在基下的矩阵。解 由基到基的过渡矩阵为从而T在基下的矩阵为。27.设3维线性空间V的线性变换A在基下的矩阵为(1)求A在下的矩阵；(2)求A在基k下的矩阵，其中k是一个不等于零的实数；(3)求A在基下的矩阵。解 (1) 由基到基的过渡矩阵为从而A在基下的矩阵为(2) 由基到基k的过渡矩阵为从而A在基k下的矩阵为(3) 由基到基的过渡矩阵为从而A在基下的矩阵为28.设V为4维线性空间，线性变换A在一组基下的矩阵为求A在基下的矩阵。解 由基到基的过渡矩阵为从而A在基下的矩阵为29.设是向量空间V的一个线性变换，且但试证线性无关。证 设，使得，从而即得，从而线性无关。30.在n维线性空间中，设有线性变换A与向量使得，但。求证：A在某组基下的矩阵是。证 由29题结论知，线性无关，构成该n维线性空间的一组基。且易证，A在该组基下的矩阵是。31.2阶方阵的全体在矩阵的线性运算下构成的向量空间中有基A为中一固定二阶方阵，定义变换T为T(X)=AX-XA。证明：T是中的线性变换，并求此变换在给定基下的矩阵。证 对于任意X,Y，任意kK,从而T是中的线性变换。设且易得T在给定基下的矩阵为32.令V是R上一切矩阵所成的集合对通常矩阵的加法和数乘所作成的线性空间，取对于 V , 令. 求线性变换的核及象的维数.解 设那么由=0得故。33. 试求线性空间的线性变换的象Im()及核ker(),并确定它们的维数,其中。解 令=0，得，。又在自然基底下的象易得，。34. 设V =是R上的n维线性空间, 定义(1) 试证: 是V的一个线性变换, 且, 其中为零变换;(2) 求ker()及Im()的维数.证 (1)对于任意，任意，故是V的一个线性变换。由得。(2)令=0，得ker()=，从而，。35. 设U是线性空间V的子空间, 并且U与V的维数相等. 证明U = V .证 设U的维数是r。如果r=0，则U,V都是零空间，当然相等。 当时，任取U的一组基由于U是线性空间V的子空间，且V的维数也是r，故也是V的一组基，因此V中每个向量都可由它线性表示。而的任一线性组合都是U中的向量，故。从而U=V。(二)36. 试证: 复数域C作为实数域R上的线性空间, 维数是2. 如果C作为它本身上的线性空间, 维数是几?证 对于任意，即1是C的一组基，故C作为它本身上的线性空间, 维数是1。37. 设是n维线性空间的一个子空间, 是的一个基, 试证: 中存在元素, 使得,成为的一个基.证是的一个基，从而在中线性无关。由基扩张定理，中存在元素, 使得,成为的一个基。38. 验证: 主对角线上元素之和为零的2阶方阵的全体V , 对于矩阵的加法和数乘运算构成线性空间, 并写出此空间的一个基.证 对于任意，满足，以及任意kK，有满足，满足，故主对角线上元素之和为零的2阶方阵的全体V , 对于矩阵的加法和数乘运算构成线性空间。其一个基为39. 设P是线性空间V的基到基的过渡阵. 试证: V中存在关于前后两基有相同坐标的非零向量的充要条件是|E P| =0.证 必要性。设V中存在关于前后两基有相同坐标的非零向量，其坐标为x，即（）x=（）x=（）Px从而即（E P）x=0由于，故|E P| =0。 充分性。|E P| =0，从而（E P）x=0有非零解，即有非零解，即（）x=（）x=（）Px故V中存在关于前后两基有相同坐标的非零向量。40. 设V是线性空间,都是V的真子集和子空间, 试证: V , 不属于,也不属于.证 。41. 设W, 是线性空间V的子空间, 其中, 且W =W ,+W =+W, 试证: =.证 dim()=dim(+W)+dim(W )-dim(W)=dim(+W)+dim(W )-dim(W)=dim(),由35题结论，=。42. 在欧氏空间中, 已知三个向量=(1,2, 1,1, 1), =(2, 1,1,2,3), =(3,2,1,1,2). 求两个互相正交的向量使它们都与正交.解 令解方程Ax=0，并将解空间的基正交化，得43. 设有n +1个列向量, A是一个n阶正定矩阵, 如果满足:(1) ,j =1,2,n;(2) j =1,2,n;(3) 与每一个都正交.证明: =0.证 由(2)，对于任意i，即即线性无关，从而是的一组基。由(3),若，则，线性无关，矛盾。44. 设C是n阶可逆方阵, A =, 在定义内积(x,y)= , x,y (1) 试证: 所定义的内积符号符合内积的性质, 从而在此内积下构成欧氏空间;(2) 写出这个欧氏空间的Cauchy-Schwarz不等式的具体形式;(3) 对n =3, 试求中任意两个的内积,i,j =1,2,3.证 (1)对称性：(x,y)= =，x,y 线性性：(kx+lz,y)= , x,y，z ,k,lR非负性：由于A正定矩阵，(x,x)= ,x,且(x,x)=0当且仅当x=0(2) x,y (3)设，由矩阵乘法，易得，i,j =1,2,3.45. 设V是n维欧氏空间, 是V中一非零向量, 试证:(1) W = V |(,)=0是V的子空间;(2) W的维数等于n 1.证 (1)对于任意，W，任意kK,有(2)由基扩张定理，V中可以找到一组正交基，从而W，从而W的维数大于等于n-1。又因为不属于W，W是V的真子集，维数小于n。故W的维数等于n 1。46. 找出的把(1,0,0)变成(1,2,3), 把(0,1,0)变成(1,1,0)的两个线性变换.解 Ax=xA,其中Bx=xB，其中47. 设A是欧氏空间V到自身的一个非零映射, 并且, V,k R有(A,)= k(,A).证明k = 1且A是V的线性变换.证 k = 1。又(A（+）,)=k(+,A)=k(,A)+k(,A)=(A+A,),(A(l),)= k(l,A)=kl(,A)=(lA,), V, l R.从而A是V的线性变换。48. 设是线性空间V的一个线性变换, 证明下列两个条件等价:(1) 把V中某一组线性无关向量变成一组线性无关的向量;(2) 把V中某个非零向量变成非零向量.证 (1) (2)显然。(2) (1)设 V且线性无关，设0=若线性相关，则存在不全为零的使上式成立.因线性无关, 非零,从而把V中某个非零向量变成零向量,矛盾.49. 说明在xOy平面上变换的几何意义, 这里.解，T把平面上的点投射到纵坐标上。50. 线性空间中线性变换为线性变换定义为,其中=(1,0,2), =(0,1,1), =(3,-1,0). 求在基(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)下的矩阵.解 设在基(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)下的矩阵分别为A,B,C。，在下的矩阵分别为D,F.易得又设由到基(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)的过渡矩阵为P，那么同理，从而51. 2阶对称矩阵的全体在矩阵的线性运算下构成的向量空间中有基在中定义合同变换T(A)= 求T在给定基下的矩阵.解 T（）=，同理，T（）= ，T（）= ，从而T在给定基下的矩阵为52. 设V是R上的n维向量空间, L(V)是V的所有线性变换作成的线性空间,试证:dimL(V)= .证 任取V的一组基，令：，其中A为T在基下的矩阵。 可知，为L(V)到的一个同构映射。即线性空间L(V)和同构。但由于同构的线性空间有相同维数，是维的，故dimL(V)= 。53. 求线性空间的微分变换D(f(x)= f(x)的特征值及对应的特征向量.解 D在基下的矩阵为其特征多项式，从而特征值为0，特征向量为任意不为零的常数。54. 欧氏空间V中的线性变换A称为反对称的, 若有(A，)= (，A)， ， V。试证: A是反对称变换的充分必要条件为在一组标准正交基下的矩阵是反对称矩阵.证 设为V的一组标准正交基，且A在此基下的矩阵为A，令为V中任意向量，且则它们在该基下的坐标分别为而且A与A在该基下的坐标分别为AX与AY，而内积，于是有(A,)=,(,A) =比较以上两式知A是反对称的充分必要条件