不定方程和解不定方程应用题经典.doc

49不定方程研究其解法方程，这个词对于同学们来说，再熟悉不过了，它在数学中占了很大的一个板块，许多题目都可以通过方程来得到答案，那么自然而然，它的解法就尤为重要了。 然而，我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程不定方程，因为它往往有多个或无数个解，他的解法相对较多较难，以下就是关于不定方程的一些问题。一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程，其特点是往往有不唯一的解。二、不定方程的解法1、筛选试验法根据方程特点，确定满足方程整数的取值范围，对此范围内的整数一一加以试验，筛去不合理的值。如：方程xyz = 100共有几组正整数解？解：当x = 1时yz = 99，这时共有98个解：(y，z)为(1，98) (2，97)(98，1)。 当x = 2时yz = 98，这时共有97个解：(y，z)为(1，97) (2，96)(97，1)。 当 x = 98时，yz = 2，这时有一个解。 9897961= = 4851 方程xyz = 100共有4851个正整数解。2、表格记数法如：方程式4x7 y =55共有哪些正整数解。解：X1234512y51 方程4x7 y =55的正整数解有x = 5 x = 12 y = 5 y = 13、分离系数法如： 求7x2 y =38的整数解解： y =19-3x-x令 t=xx=2 t则 y=19-7t2t019-7t0 （t为整） 2t0t=2，1当 t=2时， x=22=4 x=4y=19-72=5 y =5当 t=1时， x=21=2 x=2 y=19-71=12 y=12 第四十周 不定方程专题简析：当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x3y9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x3y9的解有：x2.4 x2.7 x3.06 x3.6 y1 y1.5 y2.1 y3 如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x3，Y2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。 解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。 对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。 解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。例1 求3x+4y23的自然数解。 先将原方程变形，y。可列表试验求解：X1234567Y52所以方程3x+4y23的自然数解为 X=1 x=5 Y=5 y=2练习一1、 求3x+2y25的自然数解。2、 求4x+5y37的自然数解。3、 求5x3y16的最小自然数解。例2 求下列方程组的正整数解。5x+7y+3z253xy6z2这是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。5x+7y+3z25 3xy6z2 由2+，得13x+13y52 X+y4 把式变形，得y4x。因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3. 当x1时，y3 当x2时，y2 当x3时，y1 把上面的结果再分别代入或，得x1，y3时，z无正整数解。 x2，y2时，z也无正整数解。 x3时，y1时，z1.所以，原方程组的正整数解为 x1 y1 z1练习2求下面方程组的自然数解。1、 4x+3y2z7 2、 7x+9y+11z683x+2y+4z21 5x+7y+9z524、 5x+7y+4z263xy6z2例3 一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。如果弹子数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？ 两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它的自然数解。 设大盒子有x个，小盒子有y个，则 12x+5y99（x0，y0，x+y9） y（9912y）5经检验，符合条件的解有： x2 x7 y15 y3 所以，大盒子有2个，小盒子有15个，或大盒子有7个，小盒子有3个。练习3.1、 某校6（1）班学生48人到公园划船。如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人。那么需要小船和大船各几只？（大、小船都有）2、 甲级铅笔7角钱一枝，乙级铅笔3角钱一枝，小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔共几枝？3、 小华和小强各用6角4分买了若干枝铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一枝和7分一枝的两种，而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来多少枝？例题4买三种水果30千克，共用去80元。其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。问三种水果各买了多少千克？设苹果买了x千克，橘子买了y千克，梨买了（30xy）千克。根据题意得： 4x+3y+2（30xy）82 x10由式子可知：y8Y，不符合题意。解得: 答：蟋蟀有5只，蜘蛛2只；或者蟋蟀有1只，蜘蛛5只。例3解：设大盒用X个，小盒用Y个，根据题意列方程 5X+3Y=6015X=6013YX=X、Y均为整数，是一个整数，则6013Y的值是5的倍数。601除以5余1，3Y除以5也应该余1，则Y=2、7、12、197，Y的值是一个首项是2，公差是5的等差数列，都有一个与之相对应的X值。共有40种不同的安排方法。说明：本题中讨论Y的取值，实质是从同余的角度来理解，若用同余的知识来讨论会更快捷一些，有兴的同学可以试一试。例4、分析 题目中大、中、小三种盒子，根据共装24盒，可设X个大盒，Y个中盒，小盒个数用代数式24-X-Y来表示。再根据共有426个乒乓球这个等量关系列方程。解： 设用X个大盒，Y个中盒，那么用小盒24-X-Y个。列方程有 25X+20Y+16（24-X-Y）=426化简整理，得 9X+4Y=42由方程9X+4Y=42可知，X5。42是偶数，4Y的值也是偶数，则9X的值也应该是偶数，那么X也一定是偶数。解得 答： 用了2个大盒。例5、二月9日例6、25例7、x=11 y=2 x=2 y=4例8、六年级奥数：不定方程（一） 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1.已知1999+4=9991,其中, 是自然数,那么= . 2.数学测试卷有20道题.做对一道得7分;做错一道扣4分;不答得0分.张红得了100分,她有 道题没答. 3.x是自然数,字母a表示一个数字,x是 . 4.不定方程的整数解是 . 5.某青年1997年的年龄等于出生年份各数字的和,那么,他的出生年份是 .6.如果在分数的分子分母上分别加上自然数a、b,所得结果是,那么a+b的最小值等于 .7.40只脚的蜈蚣与3个头的龙同在一个笼子中,共有26个头和298只脚,若40只脚的蜈蚣有1个头,那么3个头的龙有 只脚.8.甲、乙两个小队的同学去植树.甲小队一人植树6棵,其余每人都植树13棵;乙小队有一人植树5棵,其余每人都植树10棵.已知两小队植树棵数相等,且每小时植树的棵数大于100而不超过200,那么甲、乙两小队共有 人.9.小明用5天时间看完了一本200页的故事书.已知第二天看的页数比第一天多,第三天看的页数是第一、二两天看的页数之和,第四天看的页数是第二、三两天看的页数之和,第五天看的页数是第三、四两天看的页数之和.那么,小明第五天至少看了 页.10.一群猴子采摘水蜜挑.猴王不在的时候,一个大猴子一小时可采摘15公斤,一个小猴子一小时可采11公斤;猴王在场监督的时候,大猴子的和小猴子的必须停止采摘,去伺侯猴王.有一天,采摘了8小时,其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督,结果共采摘3382公斤水密桃,那么在这个猴群中,大猴子共有 个.二、解答题 11.今有公鸡每只五个钱,母鸡每只三个钱,小鸡每个钱三只.用100个钱买100只鸡,问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只?12.某地收取电费的标准是:每月用电不超过50度,每度收5角;如果超过50度,超出部分按每度8角收费.某月甲用户比乙用户多交3元3角电费,这个月甲、乙各用了多少度电?13.哲洙替爸爸买了50张圣诞节卡片.他先到“甲”文具店去买了几张每张500分钱的卡片,剩余的卡片到“乙”文具店去买了.“乙”文具店的一张卡价格是以每百分为单位,且小于2000分.哲洙买了50张卡片共花了30400分.请你写出他在“乙”文具店买的卡片数量的所有可能情形.14.现有两小堆小石头,如果从第一堆中取出100块放进第二堆,那么第二堆比第一堆多一倍,相反,如果从第二堆中取出一些放进第一堆,那么第一堆比第二堆多五倍.问第一堆中可能的最少石头块数等于多少?并在这种情况下求出第二堆的石头块数.答 案1. 1998.提示: 是小于4的奇数,检验=1或3两种情况即可.2. 1.设张红做对x道题,做错y道题,依题意得: 所以 .又 x+y20 所以 x20-y20,故 x20.又4|4 y,4|100,由知4|7 x,又4与7互质,所以4| x,故 x=16或20.当x=20时,由得y=10,与产生矛盾.因此x=16,代入得y=3.张红共有20-x-y=1(道)题没做.3. 750.根据题意,整理得, .因为x为自然数,37是质数,所以4a+1一定能被37整除,推知a=9,因此.4. 没有整数解.若方程有整数解,则,因此,且3|17,产生矛盾,因此原方程没有整数解.5. 1975.设他出生年份为,依题意,得:整理得:所以 由0b9得 ,即a.故a=7,从而b=5,他出生于1975年.6. 24.依题意,有,于是可得12(28+a)=7(43+b)即 12a+35=7b 显然,7|35.又因(12,7)=1,故7|a.由知, b随a增大而增大,所以a取最小值7时, b也取最小值,是17.所以, a+b的最小值是7+17=24.7. 14.设有x只蜈蚣,y只三头龙,每只三头龙有n只脚,依题意得方程组: 40-,得,即 由于x和y都是正整数,从式得y8.又因为,所以从式得y=7,由此得n=14.8. 32.设甲小队有x人,乙小队有y人.由两小队植树棵数相等,得到 13 x-7=10 y-5.因为上式右端个位数为5,所以13x的个位数应是2,得到x=4, y=5是上式的一组解,且x每增大10, y就增大13,仍是上式的解.为使10y-5在100与200之间,只有y =5+13=18,所以乙小队有18人,甲小队有4+10=14(人),共有18+14=32(人).9. 84.设小明第一天看了a页,第二天看了b页,则前五天看的页数依次为: a, b, a+b, a+2b, 2a+3b.上面各个数的和是200,得到 5a+7b=200.因为5a与200都是5的倍数,所以b是5的倍数.因为ba,所以上式只有两组解: b=20, a=12; b=25, a=5.将这两组解分别代入2a+3b,得到第五天至少看了84页.10. 15. 以5只大猴子为一组,根据题意,一组大猴子这天可采摘1538(千克).同理,以5只小猴子为一组,这天可采摘1138(千克).设有大猴子x组,小猴子y组,则有 , .易知其整数解为x=3, y=4,所以有大猴子53=15(只).11. 设公鸡、母鸡、小鸡各买x, y, z只,由题意列方程组: 3-整理得 . 又4|4 y,4|100,所以4|7 x,又(4,7)=1,所以4| x.又.所以x=4,8或12. x=4时,y=18, z=78; x=8时,y=11,z=81; x=12时,y=4,z=84.即可能有三种情况:4只公鸡,18只母鸡,78只小鸡;或8只公鸡,11只母鸡,81只小鸡;12只公鸡,4只母鸡,84只小鸡.12. 因为33既不是5的倍数又不是8的倍数,所以甲用电超过50度,乙用电不足50度.设甲用电(50+x)度,乙用电(50- y)度.因为甲比乙多交33角电费,所以有: 8x+5y=33. 容易看出x=1时,y=5.推知甲用电51度,乙用电45度.13. 设哲洙在乙文具店买了x张卡片,花了100分.由共花钱数可列方程 整理得 因为x是小于50的54的约数,则x与y的关系如下表:x123691827y-55427189632 因为乙文具店一张卡片的价格小于2000分,推知y小于2000100=20,即y-5a,所以上式只有两组解: b=20, a=12; b=25, a=5.将这两组解分别代入2a+3b,得到第五天至少看了84页.10. 15. 以5只大猴子为一组,根据题意,一组大猴子这天可采摘1538(千克).同理,以5只小猴子为一组,这天可采摘1138(千克).设有大猴子x组,小猴子y组,则有 , .易知其整数解为x=3, y=4,所以有大猴子53=15(只).11. 设公鸡、母鸡、小鸡各买x, y, z只,由题意列方程组: 3-整理得 . 又4|4 y,4|100,所以4|7 x,又(4,7)=1,所以4| x.又.所以x=4,8或12. x=4时,y=18, z=78; x=8时,y=11,z=81; x=12时,y=4,z=84.即可能有三种情况:4只公鸡,18只母鸡,78只小鸡;或8只公鸡,11只母鸡,81只小鸡;12只公鸡,4只母鸡,84只小鸡.12. 因为33既不是5的倍数又不是8的倍数,所以甲用电超过50度,乙用电不足50度.设甲用电(50+x)度,乙用电(50- y)度.因为甲比乙多交33角电费,所以有: 8x+5y=33. 容易看出x=1时,y=5.推知甲用电51度,乙用电45度.13. 设哲洙在乙文具店买了x张卡片,花了100分.由共花钱数可列方