第三章-勾股定理.doc

第三章勾股定理第1课时课题：勾股定理（1）教学目标：1、能说出勾股定理的内容，并能用勾股定理进行简单的计算. 2、让学生经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合的思想.重点：勾股定理及其应用难点：利用图形的割补验证勾股定理教学过程：一、揭标引学出示学习目标，引导学生阅读课本P7879内容.二、自学反馈（一）自学检查题1、如图1212的网格上，每一小格的面积为1，以BC为一边的正方形的面积是9，以AC为一边的正方形的面积是16.（1）你是如何计算图中以AB为边的正方形的面积的？从中发现了什么？（2）从小明、小丽的方法中得到什么启发？ （3）在图中这3个正方形面积之间有怎样的数量关系？2、勾股定理的内容是3、求下列直角三角形中未知边的长.（二）引入新课，梳理知识操作实验，并与同学们交流（课本P79） 在方格纸上任意画一个顶点都在格点上的直角三角形，并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外部作正方形，仿照上面方法计算以斜边为一边的正方形的面积.思考：你所画的3个正方形面积之间有怎样的数量关系？请与同学交流.通过学生操作，实验，各小组讨论，画图给出不同的数据，填入表中，猜想出直角三角形三边之间的数量关系.abca2+b2c2关系得出结论：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.剖析：（1）条件：一个直角三角形之间的数量关系结论：两条直角边的平方和等于斜边的平方（2）体现了一个重要的数学思想：数形结合，即只要知道“形”直角三角形，即可得到“数”直角边的平方和等于斜边的平方.（数量关系）（3）符号语言：在RtABC中，若C90，则a2+b2c2 （4）作用：RtABC中，已知任意两边可求第三边 （5）用面积关系解释勾股定理简介勾股定理的历史资料，见书P79（三）例题：在ABC中，AB15，AC13，高AD12，求BC的长.分析：在直角三角形中，利用勾股定理计算线段的长是勾股定理的一个重要应用.三、独立训练1、求下列图中x、y、z的值.2、在RtABC中，C90（1）如果BC9，AC12，则AB；（2）如果BC40，AC9，则AB3、（1）在RtABC中，C90，周长为60，斜边与一条直角边之比为135，则这个三角形三边长分别是（ ） A、5、4、3 B、13、12、5 C、10、8、6 D、26、24、104、一棵树在台风“卡努”的袭击下，在离地5米断裂，树顶落在离根12米远处，问这棵树断之前有多高？5、操作并思考 （1）观察图的ABC 和DEF，它们是直角三角形吗？ （2）观察图中分别以ABC和 DEF的各边为一边向三角形外部作正方形，其中2个小正方形的面积的和等于大正方形的面积吗？四、合作交流1、同桌互阅，互批.2、教师讲评分析.五、拓展延伸1、如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程(取3)是（）A、20cm； B、10cm； C、14cm； D、无法确定.2、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为_cm2.五、总结反思1、勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”是直角三角形的又一个重要性质；2、勾股定理揭示了“形”与“数”的内在联系，是数形结合的经典一例.第三章勾股定理第2课时课题：勾股定理（2）教学目标：1、通过拼图等数学活动，进一步验证勾股定理，发展合情推理的能力，体会数形结合思想.2、经历用多种拼图方法验证勾股定理的过程，发展用数学的眼光观察现实世界和有条理地思考与表达的能力，感受勾股定理的文化价值。重、难点：通过拼图验证勾股定理，利用勾股定理进行计算.教学过程：一、揭标引学出示学习目标，引导学生阅读课本P8081内容。二、自学反馈（一）自学检查题在RtABC中，C90.（1）如果BC9，AC12，那么AB.（2）如果BC8，AB10，那么AC.（3）如果AB13，AC12，那么BC.（4）如果AB61，BC11，那么AC.（二）引入新课，梳理知识1、探索活动（1）制作4张全等的直角三角形纸片（如图1）（2）把这4张纸片拼成一个以弦长为c为边长的正方形（如图2），它的面积为c2，试用另一种方法计算图中的面积，你有什么发现？（3）小明用这图中直角三角形纸片拼成图，你能仿照上面的方法，利用图验证勾股定理吗？分析：用不同的方法计算同一个图形的面积，得到数量之间的关系式.方法一：图形的面积（ab）2.方法二：图形的面积4abc2.（4）如图把一个直立的火柴盒放倒，你能用不同的方法计算梯形ABCD的面积，再次验证勾股定理吗？提示：由梯形面积的两种不同算法去验证勾股定理.2、例题例1（1）在RtABC中，C90，AC：BC3：4，AB10，则AC，BC（2）在ABC中，ABAC25，BC14，求底边上的高和一腰上的高.例2一个等腰三角形的周长是16，底边上的高是4，求这个三角形的三边的长.三、独立训练1、若直角三角形的三边为6、8、x，则x的长为 （）A、6 B、8 C、10 D、以上答案均不对2、在RtABC中，C90，AC12，BC边上的中线AD的长为13，求边BC的长.3、如图，设小方格的面积为1，画出图中以格点为端点且长度为5的线段.4、图中涂色部分是直角边长为a、b，斜边长为c的4个直角三角形，试利用这个图形证明勾股定理.四、合作交流1、同桌互阅，互批，教师组织学生展开讨论.2、师生共同总结：通过拼图验证勾股定理.五、拓展延伸如图RtABC中，C90，AC4，BC3，把BCD沿BD折叠后C刚好落在AB边上E处，求CD的长.六、总结反思1、这节课我们通过多种拼图的方法，进一步验证了勾股定理，体会数形结合思想.（课后需要复习巩固）；2、用勾股定理解决问题的一般思路：寻找或构造直角三角形.第三章勾股定理第3课时课题：勾股定理的逆定理教学目标：1、掌握述直角三角形的判定条件（勾股定理的逆定理）； 2、经历探索一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会“形”与“数”的内在联系.重、难点：用勾股定理的逆定理判定直角三角形.教学过程：一、揭标引学出示学习目标，引导学生阅读课本P8384内容.在ABC中，a2+b2=c2，ABC为正角三角形？二、自学反馈（一）自学检查题1、有一个三角形的三边长为3、4、5，这个三角形是什么三角形？为什么？2、下列各组数是勾股数吗？为什么？12、15、18； 12、35、36； 7、24、25.（二）引入新课，梳理知识1、由自学检查题，引出“直角三角形的判定条件”即勾股定理的逆定理并引导学生将勾股定理与逆定理进行比较.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a，b，c，且a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形.勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系.区别：勾股定理的条件是“直角三角形”，结论是“两直角边的平方和等于斜边的平方”，即由“角”的条件得到“边”的关系，是直角三角形的性质定理；而勾股定理的逆定理的条件是“如果三角形的三边长分别为a，b，c，且a2b2c2”，结论是“直角三角形”，即由“边”的关系判定“角”，是直角三角形的判定定理.联系：两个定理的条件和结论正好相反，并且都与直角三角形及其边有关.2、由自学检查题2，引出勾股数的定义.满足关系a2b2c2的三个正整数a、b、c、称为勾股数.强调：（1）勾股数必须是正整数，勾股数的整数倍也是勾股数.（2）熟记一些常用的勾股数组，如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等.（三）例题：例1、如图，ADBC，垂足为D，如果CD1，AD2，BD4，那么BAC是直角吗？证明你的结论.分析：要判定BAC是否为直角，应先分别计算出AC2、AB2、BC2，然后利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形.例2、ABC的三边分别是a、b、c，且an21，b2n，cn21，ABC是直角三角形吗？三、独立训练1、在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，下列说法中正确的个数是（）如果BCA，那么ABC是直角三角形.如果c2b2a2，那么ABC是直角三角形，且C90如果（ca）（ca）b2，那么ABC是直角三角形如果A：B：C5：2：3，那么ABC是直角三角形A、1B、2C、3D、42、判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形.（1）a7，b24，c25（2）a1.5，b2，c2.5（3）a，b1，c（4）3a，4a，5a（a0）3、判断下列各组数是否为勾股数：（1）15，8，17（2）13，14，154、某车间要加一种四边形的零件，要求ABBC，CDDA，如图，已知有一个四边形零件，ABBC，量得各边长为AB15cm，BC20cm，CD7cm，AD24cm，这个零件符合要求吗？四、合作交流1、同桌互阅，互批，教师组织学生展开讨论.2、师生共同总结（1）判断三角形是否是直角三角形，常用的方法除了求一个角为90外，还可利用勾股定理的逆定理判别，但此时需判断出哪条是最长边.（2）不规则图形，往往通过辅助线把它转化成一个特殊图形.（直角三角形）五、拓展延伸如图所示，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA、PB、PC，以BP为边作PBQ60，且BQBP，连接CQ.（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论.（2）若PA：PB：PC3：4：5，连接PQ，试判断PQC的形状，并说明理由.变式：P为等边ABC内一点，且PA：PB：PC3：4：5，求APB的度数.六、总结反思1、直角三角形的判定有两种思路：（1）用角的关系；（2）用边的关系.2、在已知三角形的三边，判断此三角形是否为直角三角形时，一般先确定最长的边，再计算较短的两边的平方和与最长边的平方，若两者能相等，则此三角形为直角三角形，且最长边为斜边，所对的角为直角；若两者不能相等，则不是直角三角形；也可以先分别计算出三边的平方，再验证是否有两边的平方和等于第三边的平方.3、应用平方关系判断勾股数的前提条件是这三个数必须都是正整数.第三章勾股定理第4课时课题：勾股定理的简单应用教学目标：1、还利用勾股定理及勾股定理的逆定理解决一些简单的实际问题；2、经历把实际问题数学化这一过程，感悟数学的“转化”思想，此外，能通过学习，使学生进一步养成“学数学，用数学”的意识.重、难点：把实际问题抽象成直角三角形的问题，再利用勾股定理来解决.教学过程：一、揭标引学出示学习目标，引导学生阅读课本P8687内容.二、自学反馈（一）自学检查题1、如图，起重机吊运物体，BC7.5m，AC19.5m，求AB的长.2、如图，在垂直高度与水平距离之比为3：4的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是8米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米？3、计算图中四边形ABCD的面积.（二）引入新课，梳理知识1、探求运用勾股定理及其逆定理解决实际问题，首先要掌握两个定理.2、要求两点间的距离，常常围绕这两点构造直角三角形，把这两点间的线段放在某一个直角三角形中，然后利用勾股定理求出.（三）例题例1：九章算术中的“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：有一根竹子原高1丈（1丈10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？分析：竹子与地面是垂直的，因此可根据勾股定理建立方程.例2：如图，AD是ABC的中线，AD24，AB26，BC20，求AC.练习：一个三角形三边长的比为3：4：5，它的周长是60cm，求这个三角形的面积.三、独立训练1、一架长为5m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为4m，如果梯子的顶端下滑1m，你认为梯子的底端会发生什么变化？2、如图，育苗棚的顶部是矩形，求育苗棚顶部塑料薄膜的面积.3、如图，在RtABC中，C90，AC12，BC9，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，求AE、EC的长.4、如图，以RtABC的三边为直径的3个半圆的面积之间有什么关系？请说明理由.5、九章算术中的“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深，葭长各几何？”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B（如图），问水深和芦苇长各多少？四、合作交流1、同桌互阅，互批.2、师生共同总结在实际生活中，有些问题中两点之间的距离，角的相互关系难以直接找到，在曲面上有些甚至根本就无法直接找到，那么我们就可以利用直角三角形的勾股定理（以及解直角三角形）将其转化为数学模型来求解.说明：运用勾股定理时，必须掌握转化与化归的数学思想，即在求三角形边或进行论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为解直角三角形来解决.五、拓展延伸甲、乙两人在沙漠中进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6千米/小时速度向东南方向行走，1小时后乙出发，他以5千米/时速度向西南方向行走，上午10：00时，甲、乙两人相距多远？分析：要求甲、乙两人之间的距离，首先必须画出图形确定甲、乙两人在平面内的位置关系，由于甲往东南方向，乙往西南方向，所以甲走的路线和乙走的路线垂直，分别求出甲、乙两人所走的路线，标注到图形上，然后利用勾股定理即可求出甲、乙两所走的距离.解：如图，甲走路程为OA6（108）12（千米）乙走路程为OB5（109）5（千米）甲、乙两人所走路线垂直OBOAAB13（千米）答：这时甲、乙两人相距13千米.六、总结反思我们知道勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的数量关系，已知直角三角形中的任意两边就可依据勾股定理求出第三边，从应用勾股定理解决实际问题中，我们进一步认识到把直角三角形中三边关系“a2b2c2”看成一个方程，只要依据问题的条件把它转化为会解的方程，就把解决实际问题转化为解方程来求解了.第三章勾股定理第5课时课题：勾股定理本章复习教学目标：1、会用勾股定理解决简单问题，会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.2、在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”的思想.重、难点：勾股定理及其逆定理的判定与应用。教学过程：一、基础训练1、分别以下列四组数为一个三角形的边长：6、8、10；5、12、13；8、5、17；4、5、6.其中能构成直角三角形的有（ ）A、4组 B、3组 C、2组 D、1组2、等腰三角形腰长为10cm，底边长16cm，则面积为（）A、96cm2B、48cm2C、24cm2D、32cm23、直角三角形的斜边比一直角边长2cm，另一直角边长为6cm，则它的斜边长为（）A、4cmB、8cmC、10cmD、12cm40064A4、如图,64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形面积是 _5、一个长方形的长为12cm，对角线长为13cm，则该长方形的周长为 .7、如图，有一块直角三角形纸片，ACB90，AC4cm，BC3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（）A、1cmB、1.5cmC、2cmD、3cm6、如图是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标,它取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形的拼成的大正方形,如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短边为，较长边为，那么（+）2的值是 二、要点梳理：三、例题解析例1、如图，已知AD是BC边上的中线，如果BC10，AC4，AD3，求ABC的面积例2、如图，在一棵树的10m高的B处有两只猴子，其