2020届县第一中学高三月考数学（文）试题 PDF版含答案

1 数学 文科 试题 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 2 作答时 务必将答案写在答题卡上 写在本试卷及草稿纸上无效 3 考试结束后 只将答题卡上交 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 满分 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合 题目要求的 1 下列函数中 既是偶函数又在 0 上单调递增的是 A xyln B 2 xy C x ey D xycos 2 已知复数z满足 i i z z 则z A 11 i 22 B 11 i 22 C 11 i 22 D 11 i 22 3 已知向量 4 3 2 xba 若 baa 则x A 3 B 2 C 1 D 2 1 4 设 a b是两条直线 是两个平面 则 ab 的一个充分条件是 A ab B ab C ab D ab 5 已知双曲线离心率2 e 与椭圆1 824 22 yx 有相同的焦点 则该双曲线渐近线方程是 A xy32 B xy3 C xy 3 3 D xy 3 1 6 已知曲线xxxxf3cos 在点 0 0 f处的切线与直线014 yax垂直 则实数a的值为 A 4 B 1 C 1 D 4 7 如图 三棱锥ABCD 的所有顶点都在球O的表面上 平面ABD 平面BCD 1BCCDAD 2BD 3AB 则球O的表面积为 A 3 B 6 C 8 D 12 8 在ABC 中 a b c分别是角 A B C的对边 若sin3 cos0bAaB 且 2 bac 则 ac b 的值为 2 A 4 B 2 2 C 2 D 2 9 已知函数 sin 0 0 0 f xAxA 的图象如图所示 则下列说法正确的是 A 函数 f x的周期为 B 函数 f x在 4 上单调递增 C 函数 yf x 为偶函数 D 函数 f x的图象关于点 3 0 4 对称 10 已知抛物线y 2 2px p 0 的焦点 F恰好是双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2 1 a 0 b 0 的右焦点 且两曲线的交点连 线过点F 则该双曲线的离心率为 A 2 B 3 C 1 2 D 1 3 11 设 E F 分别是正方体 1111 ABCDA BC D 的棱DC上两点 且 1 2 EFAB 给出下列四个命题 三棱锥 11 DB EF 的体积为定值 异面直线 11 D B与 EF 所成的角为 45 11 D B 平面 1 B EF 直线 11 D B与平面 1 D EF所成的角为 60 其中正确的命题为 A B C D 12 若 x a b均为任意实数 且 22 2 3 1ab 则 22 ln xaxb 的最小值为 A 3 2 B 18 C 3 2 1 D 19 6 2 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 在数列 n a 中 1 1 nn aa n S为 n a 的前n项和 若 7 35S 则 3 a 14 设实数 yx 满足约束条件 0 0 82 1223 y x yx yx 则yxz43 的最大值为 15 若圆C 22 1 xyn 的圆心为椭圆M 22 1xmy 的一个焦点 且圆C经过M的另一个焦 点 且 n m 3 16 设函数 2 2 1 log1 x x f x x x 2g xf xxa 若 g x存在两个零点 则a的取值范围 是 三 解答题 本题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知等差数列 n a的前n项和为 n S 等比数列 n b的前n项和为 n T 且1 11 ba 4 22 ba 1 若7 33 ba 求 n b的通项公式 2 若13 3 T 求 5 S 18 本小题满分 12 分 已知圆 C 经过点 2 1A 且与直线1xy 相切 圆心 C 在直线2yx 上 1 求圆 C 的方程 2 过原点的直线l截圆 C 所得的弦长为 2 求直线l的方程 19 本小题满分 12 分 四棱锥SABCD 的底面ABCD为直角梯形 ABCD ABBC 222ABBCCD SAD 为正三角形 1 点M为棱AB上一点 若 BC平面SDM AM AB 求实数 的值 2 若BCSD 求点B到平面SAD的距离 20 本小题满分 12 分 已知椭圆C 22 22 1 0 xy ab ab 的长轴长是短轴长的2倍 且经过点 2 1 1 求C的标准方程 4 2 已知C的右顶点为A 过C右焦点的直线l与C交于不同的两点M N 求AMN 面积的最大 值 21 本小题满分 12 分 已知函数 ln1f xaxxa a为实数常数 1 当0a 时 求函数 fx在 1 上的单调区间 2 当1x 时 2 f xax 成立 求证 2 1 a e 请考生在第 22 23 两题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题记分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 本小题满分 10 分 在平面直角坐标系xOy中 曲线C的参数方程为 3cos 1sin xr yr 0r 为参数 以坐标原 点O为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 直线l的极坐标方程为sin 1 3 若直线l与曲线C 相切 1 求曲线C的极坐标方程 2 在曲线C上取两点M N与原点O构成MON 且满足 6 MON 求MON 面积的最 大值 23 选修 4 5 不等式选讲 本小题满分 10 分 已知函数 23f xxxm 的定义域为R 1 求实数m的取值范围 2 设实数t为m的最大值 若实数a b c满足 2222 abct 求 222 111 123abc 的 最小值 5 数学 文科 答案 一 选择题 本题共 10 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目 要求的 ABDCB CADBC AD 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 4 14 18 15 8 16 4 2 三 解答题 本题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 解析 18 18 解 1 因为圆心 C 在直线2yx 上 所以可设 2C aa 半径为r 0r 则圆 C 的方程为 222 2 xayar 又圆 C 经过点 2 1A 且与直线1xy 相切 所以 222 2 1 2 21 1 1 aar aa r 解得 1 2 a r 所以圆 C 的方程为 22 1 2 2xy 6 分 2 当直线l的斜率不存在时 直线l的方程为 0 x 7 分 6 此时直线l截圆 C 所得的弦长 22 212r 满足题意 当直线l的斜率存在时 设直线l的方程为y kx 则圆心到直线l的距离为 2 2 1 k d k 又直线l截圆 C 所得的弦长为 2 所以有 22 22rd 解得 3 4 k 此时直线方程为 340 xy 故所求直线方程为 0 x 或340 xy 12 分 19 解析 19 1 因为 BC平面 SDM BC 平面 ABCD 平面 SDM 平面 ABCD DM 所以DMBC 因为DCAB 所以四边形 BCDM 为平行四边形 又CDAB2 所以 M 为 AB 的中点 因为 ABAM 1 2 2 因为BC SD BC CD 所以BC 平面SCD 又因为BC 平面ABCD 所以平面SCD 平面ABCD 平面SCD平面ABCDCD 在平面SCD内过点S作SE 直线CD于点E 则SE 平面ABCD 在 Rt SEA 和 Rt SED 中 因为SASD 所以 2222 AESASESDSEDE 又由题知45EDA 所以AEED 由已知求得 2AD 所以1AEEDSE 7 连接 BD 则 11 1 1 33 S ABD V 三棱锥 又求得 SAD 的面积为 3 2 所以由 B ASDS ABD VV 三棱锥三棱锥 点 B 到平面SAD的距离为 2 3 3 20 答案 1 22 1 42 xy 2 22 解析 1 利用已知条件 结合椭圆方程求出 a b 即可得到椭圆方程 2 设出直线方程 联立椭圆与直线方程 利用韦达定理 弦长公式 列出三角形的面积 再利用基本不 等式转化求解即可 详解 1 解 由题意 22 2 21 1 ab ab 解得2a 2b 所以椭圆的标准方程为 22 1 42 xy 2 点 2 0 A 右焦点 2 0F 由题意知直线l的斜率不为 0 故设l的方程为2xmy 11 M x y 22 N xy 联立方程得 22 1 42 2 xy xmy 消去x 整理得 22 2 2 220mymy 2 16 1 0m 12 2 2 2 2 m yy m 12 2 2 2 y y m 2 12121 2 2 22 2 2 2 22 2 22 4 2 81mm yyyyy y mm m 16 2 12 2 41 2 m yy m 12 1 22 2 AMN Syy 2 2 1 2 22 2 m m 2 2 1 2 2222 1 1 1 m m 当且仅当0m 时等号成立 此时l 2x 所以AMN面积的最大值为2 2 21 答案 1 单调递增区间是 1 a e 单调递减区间是 a e 2 证明见解析 8 解析 1 先求出函数 fx的导函数 lnfxaxa 再解不等式 0fx 与 0fx 从 而求出函数的单调区间 2 当1x 时 由 2 f xax 等价于 ln10axaxa 恒成立 再分别讨论 当0a 时 当1a 时 当01a 时 利用导数研究函数的单调性及最值从而得解 详解 解 1 因为 ln1f xaxxa 所以 1 ln1lnfxaxaxaxa x 当0a 时 由 0fx 得ln0 xa 解得1 a xe 由 0fx 得ln0 xa 解得 a xe 所以函数 fx在 1 的单调递增区间是 1 a e 单调递减区间是 a e 2 当1x 时 由 2 f xax 得 ln10axxaxa 即 ln10axaxa 恒成立 设 ln11g xxaxax 则 1 1gxa x x 由题可知0a 当0a 时 0gx 所以 g x在 1 上单调递增 11g xg 可知 0 1x 且 0 1x 时 0 0g x 使得 00 0axg x 可知 式不成立 则0a 不符合条件 当1a 时 0gx 所以 g x在 1 上单调递减 110g xg 可知 式成立 则1a 符合条件 所以 2 1 a e 成立 当01a 时 由 0gx 得 1 1x a 由 0gx 得 1 x a 所以 g x在 1 1 a 上单调递增 可知 g x在 1 a 上单调递减 所以 max 1 ln2g xgaa a 由 式得ln20aa 设 ln2h aaa 则 1 10h a a 所以 h a在 0 1上单调递减 而 22 11 220h ee 0h a 可知 2 1 a e 9 综上所述 2 1 a e 点睛 本题考查了利用导数求函数的单调区间及由不等式恒成立求参数的范围 重点考查了不等式与函数的相互 转化 属中档题 22 解 1 由题意可知直线l的直角坐标方程为32yx 曲线C是圆心为 3 1 半径为r的圆 直线l与曲线C相切 可得 3312 2 2 r 可知 曲线 C 的方程为 22 3 1 4xy 所以曲线 C 的极坐标方程为 2 2 3 cos2 sin0 即 4sin 3 2 由 1 不妨设 M 1 6 2 N 12 0 0 6 sin 2 1 ONOMS MON 当 12 时 32 MON S 所以 MON 面积的最大值为2 3 23 1 由题意可知32xxm 恒成立 令3 2xg xx 去绝对值可得 3 6 3 263 03