概率的基本概念和计算电子教案.doc

课程经济数学执行日期星期检查签字记录班级节次课题概率的基本概念和计算课程类型 理论 实测教学目的1 正确理解随机事件与概率、条件概率的基本概念。2 熟练掌握计算事件概率的基本方法。教学重点古典概型、全概率公式及事件的独立性。教学难点古典概型、全概率公式及事件的独立性。主要教学方法教学挂图教学环节时间分配1.组织教学时间5分钟2.讲授新课时间60分钟3.复习导入时间10分钟4.归纳小结时间10分钟5作业布置时间5分钟教学后记作业练习湖南工程职业技术学院备课纸 湖南工程职业技术学院备课纸概率的基本概念和计算一、教学目的与要求；1 正确理解随机事件与概率、条件概率的基本概念。2 熟练掌握计算事件概率的基本方法。二、重点与难点重点：古典概型、全概率公式及事件的独立性。难点：古典概型、全概率公式及事件的独立性。三、课时分配：8 学时四、教学过程：概率论是研究大量随机现象所成呈现的规律性的一门数学学科.由于随机现象的普遍性，使得概率论具有广泛的应用.概率论是近代数学的重要组成部分，同时也是研究数理统计的基础.（一） 随机事件1 随机现象在生产活动和日常生活中发生的各种现象中，有一类现象，它们在一定条件下必然发生（或必然不发生），这类现象叫做确定性现象.例如，向上抛一石子，由于受到地心引力的作用必然落下.又如，在标准大气压下，将水加热到80必然不沸腾.过去我们学过的代数、几何等学科都是研究确定性现象的数学学科.然而，在生产活动和日常生活中还存在着另一类现象，它们在相同的条件下，具有多种可能的结果，哪一种结果将会发生，事先不能确定，这类现象叫做随机现象.例如，向上抛一枚硬币，落下后可能正面向上，也可能正面向下，事先是不能确定的.随机现象的特点是：（1） 事先不能预言其结果，这说明随机现象具有偶然性；（2） 在相同的条件下进行大量的重复试验，会呈现某种规律性.这种规律性通常叫做统计规律性.例如：在相同的条件下，多次抛掷质量均匀的同一枚硬币，则出现正面向上的次数约占总抛掷次数的一半；对含有不合格品的一批产品，进行多次重复抽查，可以观察到它的不合格品率；某战士在相同的条件下，进行多次重复射击，可以看出他的命中率.随机现象的规律性是客观存在的，是在相同的条件下，进行大量重复试验时呈现出来的，重复的次数越多，客观规律性会表现得越明显.我们把对随机现象的一次观察叫做一次试验.一次试验一般满足下列条件：（1）可以在相同的情况下重复进行；（2）实验的所有可能的结果是已知，并且不止一个；（3）每次试验出现这些可能的结果中的一个，但在一次试验之前，不能确定会出现哪一个结果.我们就把这样的试验叫做随机试验，通常简称为试验.2 随机事件在一定条件下，对随机现象进行试验的每一个可能结果，叫做一个随机事件，简称事件，通常用字母，表示.例如，向上抛掷一枚硬币，落下后出现“正面向上”就是一个事件；出现“正面向下”也是一个事件，记作 正面向上， 正面向下.又如，从一批含有不合格品的产品中任意抽取三件进行质量检验，则可能有下列一些事件出现： 全是合格品， 恰有一件不合格品， 恰有二件不合格品， 恰有三件不合格品， 至少有一件不合格品， 不合格品不多于两件.随机事件在一次试验中可能发生也可能不发生，因此具有随机性.但在进行大量重复试验时，随机事件出现的可能性的大小是客观存在的.在一定条件下，必然要发生的事件叫做必然事件，记作.例如，在标准大气压下，纯水加热到100时，事件“水沸腾”就是一个必然事件.在一定条件下，必然不发生的事件叫做不可能事件，记作.例如，在全是合格品的产品中，任取两件，则事件“全是次品”就是不可能事件.今后为了研究问题方便起见，我们把必然事件和不可能事件都看成是随机事件的特殊情况.3 事件间的关系事件之间的关系常常是错综复杂的，这就需要研究它们之间的相互关系.事件的包含关系定义 如果事件发生必然导致事件发生，就叫做事件包含事件，记作或.例如，一个盒子中有十个完全相同的球，分别标有号码1，2，3，10，从中任取一球，设事件 球的标号是偶数， 球的标号是4.因为摸到标号为4的球就意味着标号为偶数的球出现了，所以事件的发生就导致事件发生.也就是包含了，即或.事件的并定义 在一次试验中，“事件与事件至少有一个发生”，这一事件叫做事件与事件的并（或和），记作（或）.它的几何表示如图（略）图中阴影部分就表示.在上例中，若 球的标号为偶数， 球的标号， 球的标号为1，2，3，4，5，6，8，10.则容易看出， ， . 同样地，“事件，中至少有一个发生”这一事件叫做事件，的并，记作 .事件的交定义 在一次试验中，“事件与事件同时发生”这一事件，叫做事件与事件的交（或积），记作（或）.事件的交的几何表示如图（略）的阴影部分.在前面的例子里，若 球的标号是偶数， 球的标号4， 球的标号为4，6，8，10.则容易看出， ， . 类似地，“事件，同时发生”这一事件叫做事件，的交，记作 .互不相容事件定义 如果在同一试验中，事件与事件不可能同时发生，那么事件与事件叫做互不相容（或互斥），记作（或）.图3表示事件与事件是不可能同时发生的，因为一次试验的结果表示一个点，但一个点是不可能同时落在、之内的，所以说与是互不相容的，即（或）.在前面的例子中，若 球的标号为偶数， 球的标号为5，则显然与不可能同时发生，即有.对立事件定义 事件“不发生”叫做事件“发生”的对立事件（或逆事件），记作.在前面的例子中，若 球的标号为偶数，则球的标号为奇数就是事件的对立事件.图4中的阴影部分即表示事件的对立事件.从图10-4中还容易看出对立事件的几个性质：；.事件的运算律事件的运算满足以下规律：（1）交换律；.（2）结合律；.（3）分配律 ；.（4）反演律 ； .这些运算律和集合的运算律是一致的.例 甲、乙、丙三人同时进行射击，设、三个事件为甲中靶，乙中靶，丙中靶.试用事件、的关系式表示下列事件：（1） 三人都中靶；（2） 至少有两人中靶；（3） 恰有两人中靶；（4） 最多有两人中靶.解 （1）“三人都中靶”这一事件表示、这三个事件同时发生，所以三人都中靶.（2）“至少有两人中靶”这一事件说明，“有两人中靶”和“三人都中靶”这两个事件至少有一个发生.而有两人中靶这一事件说明，甲、乙中靶或甲、丙中靶或乙、丙中靶这三种情形至少有一种要发生，但因为题中给出的条件是甲、乙、丙三人同时射击，所以甲、乙中靶的同时必有丙未中靶，即“甲中靶”、“乙中靶”、“丙未中靶”这三个事件是同时发生的，其余两种情况也是如此.因此至少有两人中靶.根据事件“并”的定义，这一事件也可表示为至少有两人中靶.（3）“恰有两人中靶”这一事件说明，有两人中靶而第三人未中靶，因此这一事件可表示为恰有两人中靶.（4）“最多有两人中靶”这一事件说明，“有两人中靶”、“有一人中靶”，或“无人中靶”这三个事件至少有一个要发生，因此这一事件可表示为最多有两人中靶.这个问题的另外一种解法，可以这样来考虑，“最多有两人中靶”是“三人都中靶”的对立事件，所以最多有两人中靶.2 掷一颗骰子，观察出现的点数，事件表示“奇数点”，表示“点数小于5”，表示“小于5的偶数点”.试用列举的方法表示下列事件： ， ， ，.解 1，2，3，4，5，6，1，3，5，1，2，3，4，2，4， 1，2，3，4，5， 1，3， 1，2，3，4，5， ，1，2，3，4，6，5.（二） 概率的概念在研究随机事件的规律性时，首先就需要对随机事件发生的可能性大小给以定量分析.1 概率的统计定义为了研究随机事件发生的规律性，就需要在同样条件下进行多次的重复试验.我们把在一定条件下的次试验中，事件发生的次数叫做事件发生的频数，频数与试验次数的比值叫做事件发生的频率，记作 ，即.例如，在投掷硬币的试验中，有如下的记录：投掷次数（）正面向上次数（频数）频率（）20484040120002400030000720881061204860191201214984360690.51810.50690.50160.50050.49960.5003从以上的表中可以看出，事件“正面向上”发生的频率虽然具有偶然性，但却呈现出一定的规律，即频率随着投掷的次数的增大，逐渐稳定于0.5左右.我们把这种从大量的观察中得到的规律性叫做随机事件的统计规律性.当试验次数逐渐增大时，频率常稳定在一个常数附近，这一规律通常叫做频率的相对稳定性，频率的稳定值也就是某事件发生的可能性的大小.它是概率这一概念的经验基础.从而给出以下定义.定义 在同样的条件下，重复进行次试验，当充分大时，如果事件发生的频率稳定在某一常数附近，则数值叫做随机事件的概率，记作.由于上述定义是在大量统计的基础上，通过频率的稳定性来描述事件的概率，所以叫做概率的统计定义.例如，在投掷硬币的试验中，事件正面向上的频率稳定在0.5附近，所以0.5就是事件的概率，即0.5. 虽然频率的稳定性是概率的经验基础，但一个事件发生的概率并不决定于试验，而完全取决于事件本身，是客观存在的. 在一般情况下，概率值是不可能用统计方法精确得到的，因此在充分大时，通常可以用频率作为概率的近似值，即. 由频率和概率的概念，可以得到概率的下列性质：（1） 对任一事件，有01； （2） 必然事件的概率等于1，即；（3） 不可能事件的概率等于0，即.2 概率的古典定义用频率的稳定值来描述事件的概率，需要通过大量的试验才能得到，这是比较困难的；但在某些情况下，可以根据事件的特点，对事件进行分析对比，就可以得出其概率值.例如，在投掷硬币的试验中，每次试验发生的结果只有两种“正面向上”和“正面向下”，如果硬币是均匀的，投掷是任意的，显然这两种实验结果发生的可能性是相等的，即各占二分之一，所以可以认为事件“正面向上”和“正面向下”的概率都等于.在给出概率的古典定义之前，我们先介绍基本事件的概念.在随机事件中，有的事件是由其他一些事件组合而成，叫做复合事件，而有些事件则不能分解为其他事件的组合，这种不能分解成其他事件组合的最简单的事件叫做基本事件.例如，对一个有十环的靶子射击中，若事件 击中8环以上， 击中环1，2，10，则事件，都是随机事件，其中，中的每一个事件都不可能再分解为其他事件，它们中的每一个事件都是一个基本事件.而事件是由事件，组合而成，即 ，事件，有一个发生，事件就发生.所以事件不是基本事件，而是一个复合事件.显然，在每一次射击中，事件（1，2，10）中必有一个而且只有一个发生，为此给出以下定义： 定义 如果，是个互不相容的等可能事件，且每次试验必有一个而且只有一个事件发生，则，中每一个事件叫做一个基本事件，为基本事件总数，叫做等可能完备事件组. 例如，抛掷硬币落下后，“正面向上”和“正面向下”就是两个基本事件，基本事件总数为2. 例 盒中有五个球（三个白球，二个红球），标有顺序号，从中任取一个，试写出每一个基本事件，基本事件的总数是多少？ 解 设事件 取到第一个白球， 取到第二个白球， 取到第三个白球， 取到第一个红球， 取到第二个红球. 这些事件具有以下的特点： （1）有个互不相容的事件； （2）每一事件发生的可能性都相等； （3）每次抽取必有一个而且只有一个事件发生. 根据定义，每一个事件都是一个基本事件；，构成等可能完备事件组，基本事件总数. 下面给出概率的古典定义： 定义 如果基本事件总数为，每一个基本事件在一次试验中发生的可能性是相同的，事件包含其中个基本事件，那么事件发生的概率为. 概率的古典定义同样具有统计定义中所述的三个性质. 例 将一枚硬币连续抛三次，求恰好出现一次正面向上的概率与恰好出现两次正面向上的概率. 解 设用“正”表示“正面向上”，“反”表示“正面向下”连续抛三次硬币为一次试验，则所有可能出现的基本事件为正，正，正，正，正，反，正，反，正，反，正，正，正，反，反，反，正，反，反，反，正，反，反，反.基本事件总数.从基本事件中可以看出，事件恰好出现一次正面向上包含有个基本事件，故；事件恰好出现二次正面向上也包含有个基本事件，故.利用概率的古典定义来讨论事件概率的模型，又叫古典概型.古典概型应满足以下两个条件：（1） 全部基本事件的个数是有限的；（2） 每一个基本事件发生的可能性是相等的.概率的古典定义是从实践中总结出来的，在许多情形下，根据古典定义来计算概率需要一定的技巧，这要在实践中逐步去掌握.是不是在用古典定义计算概率时，都需要把所有结果排列出来呢？不必，在大多数情况下可以利用排列组合等方法，通过分析而得到.例 在100件产品中有98件正品和2件次品，从中任取5件，求下列事件的概率：（1） 5件全是正品；（2） 恰有一件次品.解 从100件产品中任取5件，则基本事件总数为.（1）事件包含的基本事件个数为 ，故有0.902.（2）事件包含的基本事件个数为，故有0.096.例8 保险箱的号码锁若由四位数字组成，问一次能打开保险箱的概率是多少？ 解 四位数字共可编出可有重复数字的号码为个，即基本事件总数为.设事件一次打开保险箱，则0.0001.所以，一次能打开保险箱的概率为万分之一. 元素可以重复选取的抽样方法，在经济、管理问题中叫做有放回抽样；如果抽取后不放回，第二次从剩下的元素中抽取，就叫做无放回抽样.有放回抽样和无放回抽样的抽取方法是不同的，因而计算方法也不一样.如在例3中，如果要求编出没有重复数字的四位号码数，则（个）.这相当于第一次从0，1，2，9十个数码中任取一个作为第四位数，取出的号码不放回，第二次从剩余的9个数码中任取一个作为第三位数，余类推.因此它是一种无放回的抽取.例8 有一元、五角、二角、一角、五分、二分、一分的纸币各一张，试求由它们所组成的所有可能的币值中，其币值不足一元的概率. 解 由题中的纸币所组成的币值，可以是单独一张纸币，也可以是二张、三张、七张纸币，而且组成的币值是和顺序无关的，所以，所有可能的不同币值总数，即基本事件总数为.设事件币值不足一元，则事件包含的基本事件.只要把一元纸币排除在外，所以币值不足一元的基本事件数为.于是事件的概率为0.4961.（三） 概率的加法公式 逆事件的概率 以下几节我们将介绍一些概率的运算法则，这对于一些较复杂的概率计算问题是很必要的.1 概率的加法公式1如果事件、互不相容，那么.我们可以用图示来加以说明.在图中，若用的面积表示事件发生的概率，的面积表示事件发生的概率，由于事件、互不相容，显然有.表达了概率的一个很重要的特性-可加性.公式可以推广如下：如果有限个事件，互不相容，则有.例 某人在射击中，若“命中10环”的概率时0.45，“命中9环”的概率是0.35，求“至少命中9环的概率.解 设命中10环， 命中9环， 至少命中9环，由于，且，则根据概率的可加性公式（8-6），可得.即该人在射击中至少命中9环的概率为0.8. 例 一批产品有50件，其中45件合格，5件不合格，从这批产品中任取3件，求其中至少有一件不合格品的概率.解 设至少有一件不合格品， =有一件不合格品， =有二件不合格品， =有三件不合格品.则.由于、互不相容，所以 0.25250.02300.0005.即任取3件至少有1件不合格品的概率为27.6%.公式成立的条件是事件、互不相容，如果事件、不一定互不相容，则有以下公式.2对于任意两个事件、，有.我们仍用图示来加以说明.在图6中，由于事件、是相容的，所以的面积不等于的面积加的面积，其中有一部分面积即AB的面积是重叠的，显然有的面积应等于的面积加的面积再减去一个的面积，故有 .当、互不相容时，所以有.公式（8-8）可以推广如下：对于任意三个事件、，有. （8-9）2 逆事件的概率根据加法公式和逆事件的概念可以推出逆事件概率的计算公式：.这是因为事件及其逆事件有，所以.又因为和互不相容，即，根据加法公式（8-6），可得，故有，即 . 例 一批产品共有50件，其中45件合格，5件不合格，从这批产品中任取3件，求其中至少有一件不合格品的概率.解 事件至少有一件不合格品的逆事件是=没有不合格品.根据逆事件的计算公式（8-10），可得，即至少有一件不合格品的概率为0.2760.逆事件的计算公式常会给概率的计算带来一些方便.在此例中，如果直接计算“至少有一件不合格品“的概率就比较繁琐.计算如下：设=有一件不合格品， =有二件不合格品， =有三件不合格品. 至少有一件不合格品，则.由于、互不相容，所以 0.25250.02300.0005 =0.2760.计算结果与用逆事件计算结果相同，但较为繁琐.（四） 条件概率 乘法公式 独立性1 条件概率在有些问题中，除了要计算一个事件发生的概率外，有时还需要计算在某一事件发生的条件下另一事件发生的概率.例如，10件产品中有两件次品，任取其中一件，则抽到次品的概率为.若第一次取出一件为次品，不再放回，则第二次取出一件仍为次品的概率应为.这就是在“第一次取出一件为次品”的条件下，“第二次取出为次品”的概率.这类概率问题就是条件概率问题.定义 如果事件、是同一试验下的两个随机事件，那么在事件发生的条件下事件发生的概率叫做事件发生下，事件的条件概率，记作.在上例中，设事件 第一次取到次品， 第二次取到次品.若抽取后不放回，则在事件发生的条件下，事件发生的概率记作，即事件发生下，事件的条件概率.因此有.例 五个球中有三个白球，二个红球，每次任取一个，无放回地抽取两次，试求在第一次取到红球的条件下，第二次取到白球的概率.解 设事件 第一次取到红球， 第二次取到白球.由于事件已经发生，而且取出的球不放回，所以5个球中只剩下4个，其中白球仍有3个，于是由古典概型可知.在这个问题中，除原有的条件“每次任取一个，无放回地抽取”外，“第二次取到白球”是在“第一次取到红球”的条件下发生的，所以是条件概率.条件概率有以下的计算公式： ，或， 公式可以用概率的古典定义来证明.设某试验的基本事件总数为，事件包含的基本事件有个，事件包含的有个，事件包含的有个图中每一个点代表一个基本事件，于是在事件发生的条件下，事件发生的概率为，所以当时，有.同理，当时，有.例8-14 某地居民活到60岁的概率为0.8，活到70岁的概率为0.65，试求现年60岁的人能活到70岁的概率是多少？解 设活到60岁， 活到70岁.则，.因为活到60岁的人中包含活到70岁的人，所以.根据事件交的关系有.所以，活到60岁的人中，能活到70岁的概率，即在“活到60岁”的条件下，“活到70岁”的条件概率为.2 乘法公式由条件概率公式（8-11）可直接得出概率的乘法公式.即两事件积的概率等于其中一事件的概率与另一事件在前一事件发生条件下的条件概率的乘积.例8-15 100台电视机中有3台次品，其余都是正品，无放回地从中连续取出2台.试求：（1）两次都取得正品的概率；（2）第二次才取得正品的概率.解 设事件 第一次取得正品， 第二次取得正品.（1）两次都取得正品，意味着、同时发生.因为，.所以由公式（8-12）可得0.94； （2）第二次才取得正品，意味着第一次取得的是次品，第二次取得的是正品，即事件、同时发生.因为，所以0.029.3 事件的独立性在有些情况下，两事件之间有一定的关联，但在有些情况下，两事件的发生并不相互影响.例如，两人在同一条件下打靶，一般说来，各人中靶与否并不相互影响；又如，在一批含有不合格品的产品中，有放回的连续抽取，则每次抽到什么样的产品也并不相互影响.定义 如果事件的发生不影响事件发生的概率，即，（），则称事件对事件是独立的，否则就是不独立的.两个事件的独立性是“相互的”，即当事件对事件是独立时，事件对事件也是独立的.例8-16 抛甲、乙两枚硬币，事件表示“甲币正面向上”，事件表示“乙币正面向上”.试用独立性的定义验证事件和事件是相互独立的.解 在这个试验中，出现的基本事件有：甲正，乙正，甲正，乙反，甲反，乙正，甲反，乙反.基本事件总数为4，事件包含的基本事件数为2，事件包含的基本事件数也是2，所以有，.而“甲币正面向上”的条件下，“乙币正面向上”的概率为，故有.“乙币正面向上”的条件下，“甲币正面向上”的概率为，故又有.即事件对事件是独立的，同时事件对事件也是独立的，它们是相互独立的.在实际问题中，两事件是否独立，并不总是需要通过公式的计算来验证，而可以根据具体情况来分析、判断，只要事件之间没有明显的联系或者联系甚微，我们就可以认为它们是相互独立的.例如，两个射手在相同的条件下射击，一般说来，相互之间的影响是很微小的，所以可以看作是相互独立的.对于两个相互独立的事件有如下的乘法公式：定理 如果两个事件相互独立，那么两个事件乘积的概率等于此两个事件概率的乘积，即.反之，若上式成立，则、相互独立.证明 根据乘法公式，因为，故有.反之，若，又由乘法公式，必有，即对是独立的.关于两个事件独立的概念，可以推广到有限个事件的情形：如果事件，中任一事件（1，2，）发生的概率不受其他事件发生的影响，那么事件，叫做是相互独立的，并且有 . （8-15）例8-17 在图8-9所示的线路中，各元件能否正常工作是相互独立的.已知元件、能正常工作的概率分别是0.9、0.95、0.7、0.8、0.85，求线路畅通的概率.解 设、分别是元件、能正常工作的事件，中间的三个元件、组成的线路，是一个并